專題08角度中的動態(tài)模型角度的動態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。【模型解讀】1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉(zhuǎn)模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度?？傊还苓@個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。模型1、旋轉(zhuǎn)中的求值模型例1．（2023?高新區(qū)七年級期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運動，設旋轉(zhuǎn)t分鐘，計算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。?．（2023·重慶八中七年級期末）一副三角板按如圖1所示放置，邊在直線上，．(1)求圖1中的度數(shù)；(2)如圖2，將三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時將三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，當旋轉(zhuǎn)到射線上時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．設轉(zhuǎn)動時間為．①在范圍內(nèi)，當時，求t的值；②如圖3，旋轉(zhuǎn)過程中，作的角平分線，當時．直接寫出時間的值．模型2、旋轉(zhuǎn)中的定值模型例1．（2023·成都市石室聯(lián)合中學七年級月考）已知，，平分，平分.（1）如圖，當、重合時，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒（），在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.例2．（2023?碑林區(qū)七年級月考）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結論：直線ON（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．（直接寫出結果）（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄?，當ON始終在∠AOC的內(nèi)部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．模型3、旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關系）例1．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．例2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關系，請說明理由．模型4、旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型例1．（2023·四川·成都七中七年級階段練習）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且，，，以點O為端點作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，（射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)、（旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)時間）。（1）當射線OP平分時，求它旋轉(zhuǎn)的時間．（2）若射線OQ的轉(zhuǎn)速為，請求出當時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間．（3）若當時，射線OQ旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將分成度數(shù)比為1：2的兩個角，求此時射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度．例2．（2022·成都市七中育才學校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當三角板繞點旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當?shù)亩葦?shù)為時，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）課后專項訓練1．（2022·廣西欽州·期末）如圖，直線與相交于點，一直角三角尺的直角頂點與點重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線也以每秒的速度繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設運動時間為秒（），當平分時，的值為（）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）線段的計算和角的計算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學習片段，請完成探索過程：(1)課上，老師提出問題：如圖①，點O是線段上一點，C、D分別是線段、的中點，當時，求線段的長度．下面是小澤根據(jù)老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：未知線段

已知線段……因為C，D分別是線段、的中點，所以，________，________，因為，所以________，

線段中點的定義線段的和、差等式的性質(zhì)(2)小澤舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計算也可以用相似的方法進行轉(zhuǎn)化如圖②，已知，是角內(nèi)部的一條射線，，分別是，的平分線．求的度數(shù)．請同學們嘗試解決該問題．

(3)同組的小麗同學很善于思考，她提出新的問題：如果（2）中其他條件不變，將射線繞點O旋轉(zhuǎn)到的外部，則的度數(shù)是________．4．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）已知，．平分，平分．(1)如圖1，當重合時，求的值；(2)如圖2，當從圖1所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒時（），在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會因t的變化而變化？若不發(fā)生變化，請求出該定值：若發(fā)生變化，請說明理由．(3)在（2）的條件下，當時，求t的值．5．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，從的頂點O引出一條射線，射線在的內(nèi)部，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)形成．(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；(2)作射線，射線為的平分線，設．①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數(shù)；②當時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關系．6．（2023·江蘇·七年級專題練習）如圖1，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個角：、、，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個角的平分線_________這個角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當PQ與PN成90°時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒；同時射線PM繞點P以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當PQ是的“定分線”時，求t的值．7．（2023秋·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．(1)如圖，當、重合時，求的度數(shù)；(2)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，且時，直接寫出n的取值范圍．(3)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．8．（2023春·重慶沙坪壩·七年級?？奸_學考試）平面上順時針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現(xiàn)的角均小于）．(1)如圖1，若，則___________，___________；(2)如圖2，探究與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，將繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時將繞點O以每秒逆時針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當時，直接寫出t的值．9．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且．(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關系；②若，當，求t的值．

10．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，直接寫出結論．11．（2022·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數(shù)學火花呢？福山區(qū)某學校兩個數(shù)學興趣小組對一副三角板進行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點記為點O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點O旋轉(zhuǎn)時，∠EOF的度數(shù)如何變化．【A組研究】在同一平面內(nèi)，將這副三角板的的兩個銳角頂點重合（圖中點O），此時∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點O轉(zhuǎn)動．（1）如圖①，當射線OB與OC重合時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（2）如圖②，將∠COD繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，設，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖②求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．【B組研究】在同一平面內(nèi)，將這副直角三角板中的一個直角頂點和一個銳角頂點重合(圖中點O)，此時∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點O轉(zhuǎn)動．（3）如圖③，當三角板OCD擺放在三角板AOB內(nèi)部時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（4）如圖④，當三角板OCD轉(zhuǎn)動到三角板AOB外部，設∠BOC=β，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖④求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．12．（2022·貴州遵義·七年級期末）【閱讀理解】在學習《角的比較與運算》內(nèi)容時，教材設置這樣的一個探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通過一副三角尺可以拼出一些特殊度數(shù)的角．(1)【實踐】在度數(shù)分別為①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同學利用一副三角尺拼不出來的是__________．（填序號）(2)【操作】七（1）班數(shù)學學習小組用一副三角尺進行拼角．如圖1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如圖2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他們兩人各自所拼的兩個角均在公共邊OC的異側(cè)，并在各自所拼的圖形中分別作出的平分線OE和的平分線OF．【探究】通過上述操作，巧巧計算出圖1中的，請你直接寫出圖2中的__________°．(3)【發(fā)現(xiàn)】當有公共頂點的兩個角和有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的異側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．(4)【拓展】巧巧把圖1中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖3的位置，使O，D，B三點在同一條直線上，并求出了的度數(shù)為．嘉琪把圖2中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖4的位置，使O，D，B三點在同一條直線上．請你仿照巧巧的做法，求出圖4中的度數(shù)．(5)【歸納】根據(jù)上述探究，可以歸納出：當有公共頂點的兩個角和有（其中）有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的同側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．13．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．14．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數(shù)；(2)如圖2，當OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；(3)當∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．15．（2022·廣東茂名·七年級期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD．（1）如圖1，OC在∠AOB內(nèi)部時，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如圖2，OC在∠AOB內(nèi)部時，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上，將∠AOB繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)直至OB邊第一次與OD邊重合為止，整個運動過程時間記為t秒．若∠MON＝5∠BOC時，求出對應的t值及∠AOD的度數(shù)．16．（2022·安徽·宿城第一初級中學七年級期中）以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在處，即．(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；(2)如圖2，將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，①若恰好平分，則______；②若在內(nèi)部，請直接寫出與的數(shù)量關系為______；(3)將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動（與重合時為停止）的過程中，恰好有，求此時的度數(shù)．17．（2022秋·遼寧大連·七年級?？计谀╅喿x材料：（1）【特例感知】如圖1，已知線段cm，cm，點C和點D分別是，的中點．若cm，則______cm；（2）【知識遷