2025年高考第三次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）01注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，則.故選D.2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?所以由數(shù)軸得.即的取值范圍為.故選：D.

3．已知向量和的夾角為，且，，則（

）A．3 B． C． D．13【答案】A【解析】由題意可得，故選：A4．“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”.已知某運(yùn)動(dòng)員在2024年籃球聯(lián)賽中連續(xù)10場(chǎng)的得分?jǐn)?shù)據(jù)為：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，則這組數(shù)據(jù)的（

）A．第85百分位數(shù)為18 B．眾數(shù)為12C．中位數(shù)為17 D．平均成績(jī)?yōu)?4【答案】A【解析】將得分?jǐn)?shù)據(jù)按升序排列為：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，對(duì)于A：因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第9位數(shù)，即為18，故A正確；對(duì)于B：眾數(shù)為17，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：平均數(shù)，故D錯(cuò)誤；故答案為：A.5．已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由于，那么，，則，故選：C．6．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以，即.又雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以，即，解得或（舍）.故選：A.7．已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是上的偶函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是奇函數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，合乎題意，所以，則，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則.故選：A.8．如圖所示，直三棱柱是一塊石材，測(cè)量得，，，．若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為（

）A．，4 B．，3 C．，4 D．，3【答案】D【解析】中，，，.則斜邊的長(zhǎng)度為.當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知，設(shè)健身手球的半徑為，則，解得．則健身手球的最大直徑為4．一個(gè)健身手球的最大體積.直三棱柱的高，則由，說(shuō)明直三棱柱的高最多能容納個(gè)球的直徑長(zhǎng)度，故加工成的健身手球的個(gè)數(shù)為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．沿著下面左圖紙帶寬的三等分線（虛線）剪開(kāi)，不能得到的剪開(kāi)圖是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榧垘怯梢粋€(gè)長(zhǎng)方形紙條一端扭曲180°后粘貼而成封閉環(huán)，沿著三等分線剪開(kāi)時(shí)，會(huì)一次性剪完紙帶的所有三等分線．所以剪開(kāi)圖是兩個(gè)套在一起的環(huán)，并且兩個(gè)環(huán)的寬度是原紙帶環(huán)寬度的.正確剪開(kāi)圖是B．故選：ACD10．函數(shù)，則（

）A． B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．最大值為 D．有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因的定義域?yàn)椋瑒t，故A正確；對(duì)于B，由可得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；對(duì)于C，由上分析，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上分析，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理，可知函數(shù)在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，是的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則直線的斜率為B．C．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）D．當(dāng)取最小值時(shí)，【答案】ABD【解析】依題意得，設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，則，解得或，則，或，則直線的斜率，故A項(xiàng)正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確.因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，則，由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知的展開(kāi)式中的第2項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為198，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】60【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以展開(kāi)式中第2項(xiàng)的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，解得．令，得，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.13．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關(guān).若茶水原來(lái)的溫度是，經(jīng)過(guò)分鐘后的溫度是，滿足，其中表示室溫，是由物體和空氣接觸狀況而定的常數(shù).在室溫恒為的房間中，已知一杯的茶水，測(cè)得溫度降到50℃需要10分鐘，則這杯茶水還需要繼續(xù)放置分鐘，茶水溫度才降至35℃達(dá)到最佳飲用口感.【答案】10【解析】由題意溫度降到50℃時(shí)，溫度降到35℃時(shí)，，所以，所以，,14．對(duì)于函數(shù)，若存在使，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”，已知．若曲線存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】若函數(shù)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，將其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所得圖象的解析式為．所以只要射線與的圖象有公共點(diǎn)即可，由得，所以有解.由基本不等式可得時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)或時(shí)，,所以的值域是.所以，即．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，，求的取值范圍.【解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，故，………?分可得，…………3分在中，，，所以，，則，…………5分所以.…………6分（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，，…………7分因?yàn)椋瑒t，，所以，…9分因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，………11分則，，故.…………13分16．（本小題滿分15分）已知定義在上的函數(shù).(1)若，判斷是否存在極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解】（1）依題意可得，，故，…………1分設(shè)，則，…………2分，在上單調(diào)遞增，…………4分，在上單調(diào)遞增，無(wú)極小值點(diǎn)；…………6分（2）令，可得，所以與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，…………7分設(shè)，則，…………8分令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增…………11分，…………13分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，…………14分的取值范圍是…………15分17．（本小題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，.(1)證明：；(2)當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求三棱臺(tái)的體積.【解】（1）在三棱臺(tái)中，取的中點(diǎn)，連接，…………1分由，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，…………3分又，則四邊形是菱形，，…………4分而平面，因此平面，又平面，所以.…………5分（2）取中點(diǎn)，則，由平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，……6分以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，…………7分設(shè)平面的法向量，則，取，得，…………9分設(shè)直線與平面所成的角為，，…12分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以三棱臺(tái)的體積.…………15分18．（本小題滿分17分）已知橢圓的焦距為，以橢圓短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，過(guò)點(diǎn)的直線分別交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)始終在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線分別交軸于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)證明：．【解】（1）由橢圓短軸一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，得，則，………2分所以橢圓的方程為.…………3分（2）設(shè)直線方程為，，，…4分由點(diǎn)在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，由消去得，則，，………6分直線方程為，…………7分令，得，……10分所以點(diǎn).…………11分（3）由（2）知，，，…………13分由，得，…………15分因此，所以.…………17分19．（本小題滿分17分）在數(shù)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)放置一個(gè)機(jī)器人，它每過(guò)1秒都將以的概率向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，機(jī)器人每次經(jīng)過(guò)或3時(shí)都會(huì)向雷達(dá)發(fā)送一次信息，且雷達(dá)會(huì)瞬間收到.設(shè)事件表示“機(jī)器人的前次移動(dòng)均未向雷達(dá)發(fā)送信息”.(1)求，(2)已知①②兩個(gè)結(jié)論：①；②設(shè)是一列無(wú)窮個(gè)事件，若存在正數(shù)，對(duì)于任意的均有，則“中只有有限個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率為1.（i）證明：事件；“雷達(dá)會(huì)收到信息”的概率為1；（ii）求機(jī)器人首次發(fā)送信息時(shí)所在位置為3的概率.【解】（1）由題意，前2次移動(dòng)向雷達(dá)發(fā)送信息，則需要連續(xù)向左移動(dòng)2次，則，…………1分若機(jī)器人經(jīng)過(guò)，則必不經(jīng)過(guò)3，包括：前兩次都向左移動(dòng)1個(gè)單位；先向左移動(dòng)1個(gè)單位，再向右移1個(gè)單位，再向左移動(dòng)2個(gè)單位；先向右移動(dòng)1個(gè)單位，再向左移動(dòng)3個(gè)單位，則其概率，…………3分若機(jī)器人經(jīng)過(guò)3，則必不經(jīng)過(guò)，包括：前3次連續(xù)向右移動(dòng)，則其概率，故；…………5分（2）（i），因此，…………7分，，對(duì)于一系列無(wú)窮事件，存在正數(shù)，對(duì)于任意的n都有，，…………9分則“中只有有限個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率為1，即“中有事件不發(fā)生”的概率為1，即“雷達(dá)會(huì)收到信息”的概率為………10分（ii）設(shè)事件機(jī)器人從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)至3首次發(fā)送信息，根據(jù)（i），機(jī)器人發(fā)信息的概率為1，即它會(huì)從0運(yùn)動(dòng)至或3的概率為1，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，機(jī)器人初始位置為0，首次發(fā)信息在的概率與初始位置在1，首次發(fā)信息在3的概率相等，即