第20頁(yè)（共20頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之排列與組合（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?深圳校級(jí)月考）用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．652 B．648 C．504 D．5622．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）高一某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物、地理7節(jié)課的課程表，要求生物課排在上午第四節(jié)，化學(xué)課排在下午，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，則不同的排法種數(shù)共有（）種．A．144 B．256 C．264 D．2883．（2025?重慶校級(jí)模擬）某學(xué)校擬派2名語(yǔ)文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個(gè)支教分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)支教，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有語(yǔ)文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師，則不同的分配方案有（）A．72種 B．36種 C．24種 D．18種4．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）“四書(shū)五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱(chēng)．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A．A66A53C．A66A75．（2025春?深圳校級(jí)月考）若Cn13=A．380 B．190 C．188 D．2406．（2025?湖北模擬）甲、乙、丙等八個(gè)人圍成一圈，要求甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，則不同的排列方法有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種7．（2025春?萊州市校級(jí)月考）已知C12x-A．2 B．6 C．12 D．2或8．（2024秋?重慶校級(jí)期末）某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中挑選3人，分別擔(dān)任2025年元旦晚會(huì)的主持人、記分員和秩序員，每個(gè)職務(wù)最多一人擔(dān)任且每個(gè)職務(wù)必須有一人擔(dān)任，已知甲同學(xué)不能擔(dān)任主持人，則不同的安排方法有（）種．A．18 B．24 C．27 D．64二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱(chēng)美最為直觀和顯著．回文數(shù)是對(duì)稱(chēng)美的一種體現(xiàn)，它是按照從左到右與從右到左兩種順序讀法都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等．下列說(shuō)法正確的是（）A．末尾為1的五位回文數(shù)有100個(gè) B．十位大于個(gè)位的六位回文數(shù)有360個(gè) C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個(gè) D．2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)（多選）10．（2025春?荔灣區(qū)校級(jí)月考）將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中（）A．有240種放法 B．每盒至多一球，有24種放法 C．恰有一個(gè)空盒，有144種放法 D．把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有12種放法（多選）11．（2025春?南京月考）五一假期即將來(lái)臨，小張，小李，小王，小趙，小孫五名同學(xué)決定到南京的著名景點(diǎn)“夫子廟”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)景點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．所有可能的方法有125種 B．若小張同學(xué)必須去“夫子廟”，則不同的安排方法有81種 C．若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有150種 D．若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且小張和小李不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的安排方法有114種（多選）12．（2025春?萊州市校級(jí)月考）下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的是（）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次?B．平面上有2020個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四個(gè)元素的子集有多少個(gè)？ D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？三．填空題（共4小題）13．（2025?海南模擬）將標(biāo)號(hào)為1～10的10個(gè)小球裝入兩個(gè)不同的盒子，使得每個(gè)盒子都有球，有種不同的裝法；當(dāng)兩個(gè)盒子的球數(shù)相等時(shí)，從兩個(gè)盒子中不放回地各取一球，記下兩球球號(hào)之積，重復(fù)上述操作，直至取完，則所有積之和的最小值為．14．（2025春?歷城區(qū)校級(jí)月考）已知直線方程Ax+By＝0，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則Ax+By＝0可表示條不同的直線．15．（2025春?上海校級(jí)月考）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒(méi)有并列名次）．甲、乙、丙三人向老師詢(xún)問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”．從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為．16．（2025春?集美區(qū)校級(jí)月考）若C16x=C162x+1(四．解答題（共4小題）17．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）某次學(xué)校文藝晚會(huì)上計(jì)劃演出7個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，需要制作節(jié)目單：（1）若3個(gè)舞蹈節(jié)目相鄰，且不排開(kāi)頭和結(jié)尾，則有多少種不同的排法？（2）若2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰，3個(gè)舞蹈節(jié)目也相鄰，且兩個(gè)小品節(jié)目不相鄰，則有多少種不同的排法？（3）由于同學(xué)們參與積極，需要在確定好的節(jié)目單上新增兩個(gè)節(jié)目：一個(gè)詩(shī)歌朗誦和一個(gè)快板節(jié)目，但是不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，共有多少種不同的排法？18．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）求解下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：2A（2）求證：An（3）解關(guān)于x的不等式：A819．（2025春?廣州校級(jí)月考）某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．（1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？20．（2025春?歷城區(qū)校級(jí)月考）有0，1，2，3四個(gè)數(shù)字，（Ⅰ）可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（Ⅱ）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（Ⅲ）若將由這四個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)從小到大排列，則第10個(gè)四位數(shù)是多少？

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之排列與組合（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BCBDBBDA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ABDBCDBCDABC一．選擇題（共8小題）1．（2025春?深圳校級(jí)月考）用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．652 B．648 C．504 D．562【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】應(yīng)用乘法原理計(jì)算求解．【解答】解：先取百位數(shù)有9種情況，再取十位數(shù)有9種情況，最后個(gè)位數(shù)字有8種情況．所以可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）高一某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物、地理7節(jié)課的課程表，要求生物課排在上午第四節(jié)，化學(xué)課排在下午，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，則不同的排法種數(shù)共有（）種．A．144 B．256 C．264 D．288【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)要求，生物固定在上午第四節(jié)，化學(xué)固定在下午，數(shù)學(xué)和物理不相鄰，則可分成數(shù)學(xué)和物理都排在上午或下午、數(shù)學(xué)和物理一個(gè)在上午一個(gè)在下午，四種情況，結(jié)合排列和組合分類(lèi)求解即可．【解答】解：若數(shù)學(xué)和物理都排在下午，則有A3若數(shù)學(xué)和物理都排在上午，則有C3若數(shù)學(xué)排在上午，物理排在下午，則有C3若數(shù)學(xué)排在下午，物理排在上午，則有C3綜上，不同的排法共有36+12+108+108＝264種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．3．（2025?重慶校級(jí)模擬）某學(xué)校擬派2名語(yǔ)文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個(gè)支教分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)支教，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有語(yǔ)文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師，則不同的分配方案有（）A．72種 B．36種 C．24種 D．18種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先分配語(yǔ)文老師，再把數(shù)學(xué)體育老師按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；【解答】解：學(xué)校擬派2名語(yǔ)文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個(gè)支教分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)支教，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有語(yǔ)文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師，兩名語(yǔ)文老師由A22數(shù)學(xué)老師按1，2分，則體育老師按2，1分，或數(shù)學(xué)老師按2，1分，則體育老師按1，2分，共有C3所以不同的分配方案有2×18＝36．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．4．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）“四書(shū)五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱(chēng)．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A．A66A53C．A66A7【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次講座，再將《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》這3次講座插空，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得答案．【解答】解：先排《中庸》《孟子》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有A6再?gòu)?個(gè)空位中選3個(gè)，排《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》這3次講座，有A7故總共有A6故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．5．（2025春?深圳校級(jí)月考）若Cn13=A．380 B．190 C．188 D．240【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求出n，再求出答案．【解答】解：由題意，n＝20，則Cn故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025?湖北模擬）甲、乙、丙等八個(gè)人圍成一圈，要求甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，則不同的排列方法有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】依題意環(huán)排問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線排問(wèn)題，再根據(jù)插空法求解．【解答】解：環(huán)排問(wèn)題線排策略，增加一個(gè)凳子，九個(gè)凳子排一排，甲放一號(hào)和九號(hào)，中間剩余七個(gè)位置可選，再將其他五人放入中間有A5因?yàn)榧住⒁?、丙兩兩不相鄰，所以乙、丙只能放中間四空中共有A4由分步計(jì)數(shù)原理可得不同的排列方法有120×12＝1440種．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于中檔題．7．（2025春?萊州市校級(jí)月考）已知C12x-A．2 B．6 C．12 D．2或【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式的性質(zhì)可得x﹣2＝2x﹣4或（x﹣2）+（2x﹣4）＝12，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若C12x-2=C122x-4，則x﹣2＝2x﹣4或（x﹣解可得x＝2或x＝6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)公式的計(jì)算，注意組合數(shù)公式的形式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024秋?重慶校級(jí)期末）某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中挑選3人，分別擔(dān)任2025年元旦晚會(huì)的主持人、記分員和秩序員，每個(gè)職務(wù)最多一人擔(dān)任且每個(gè)職務(wù)必須有一人擔(dān)任，已知甲同學(xué)不能擔(dān)任主持人，則不同的安排方法有（）種．A．18 B．24 C．27 D．64【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】應(yīng)用分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理及排列組合數(shù)求不同的安排方法數(shù)．【解答】解：從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中挑選3人，分別擔(dān)任2025年元旦晚會(huì)的主持人、記分員和秩序員，每個(gè)職務(wù)最多一人擔(dān)任且每個(gè)職務(wù)必須有一人擔(dān)任，若甲被選出，從其它3位同學(xué)選2位有C3將甲安排為記分員或秩序員有C21=2種，另2所以共有3×2×2＝12種；若甲不被選出，只需將選出的3人作全排列有A3綜上，共有12+6＝18種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱(chēng)美最為直觀和顯著．回文數(shù)是對(duì)稱(chēng)美的一種體現(xiàn)，它是按照從左到右與從右到左兩種順序讀法都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等．下列說(shuō)法正確的是（）A．末尾為1的五位回文數(shù)有100個(gè) B．十位大于個(gè)位的六位回文數(shù)有360個(gè) C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個(gè) D．2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)回文數(shù)的定義，結(jié)合排列組合即可求解AB；再用分步計(jì)數(shù)原理分析2n（n∈N*）和2n+1（n∈N*）位回文數(shù)的數(shù)目，即可判斷CD．【解答】解：已知回文數(shù)是對(duì)稱(chēng)美的一種體現(xiàn)，它是按照從左到右與從右到左兩種順序讀法都一樣的正整數(shù)，對(duì)于A，末尾為1的五位回文數(shù)，則首位也是1，此時(shí)第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，第三位有10種選法，故總的個(gè)數(shù)為10×10＝100個(gè)，A正確；對(duì)于，十位大于個(gè)位，有C92種方法，此時(shí)第一位和第二位的數(shù)字被確定，第三四位的數(shù)字相同，故有10種選擇，因此符合條件的六位回文數(shù)C92×10=360對(duì)于C，對(duì)于2n位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n﹣1種選法，故C錯(cuò)；對(duì)于D，對(duì)于2n+1位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n+1個(gè)數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)，所以D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?荔灣區(qū)校級(jí)月考）將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中（）A．有240種放法 B．每盒至多一球，有24種放法 C．恰有一個(gè)空盒，有144種放法 D．把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有12種放法【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)分步乘法原理分析求解，對(duì)于B，由題意可知每盒恰好一個(gè)球，相當(dāng)于對(duì)4個(gè)球進(jìn)行全排列，對(duì)于C，先選出一個(gè)空盒，然后將4個(gè)球分成3份放入剩下的3個(gè)盒子即可，對(duì)于D，方先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)．【解答】解：對(duì)于A，每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256種放法，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知每盒恰好一個(gè)球，所以共有A44=24對(duì)于C，先選出一個(gè)空盒，然后將4個(gè)球分成3份放入剩下的3個(gè)盒子，所以共有4C42對(duì)于D，先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)．由于球是相同的即沒(méi)有順序，所以屬于組合問(wèn)題，故共有C43C故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?南京月考）五一假期即將來(lái)臨，小張，小李，小王，小趙，小孫五名同學(xué)決定到南京的著名景點(diǎn)“夫子廟”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)景點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．所有可能的方法有125種 B．若小張同學(xué)必須去“夫子廟”，則不同的安排方法有81種 C．若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有150種 D．若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且小張和小李不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的安排方法有114種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】對(duì)于AB：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理分析判斷；對(duì)于C：利用間接法，討論這5人去的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；對(duì)于D：利用間接法，討論這個(gè)景點(diǎn)去的人數(shù)，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解．【解答】解：小張，小李，小王，小趙，小孫五名同學(xué)決定到南京的著名景點(diǎn)“夫子廟”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)景點(diǎn)，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槊總€(gè)人均有3個(gè)景點(diǎn)可以選擇，所以所有可能的方法有35＝243種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若小張同學(xué)必須去“夫子廟”，即小張的選擇已經(jīng)確定，不需要考慮，所以不同的安排方法有34＝81種，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若5個(gè)人都去一個(gè)景點(diǎn)，不同的安排方法有C3若5個(gè)人都去其中2個(gè)景點(diǎn)（每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去），不同的安排方法有C3所以若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有243﹣（3+90）＝150種，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且小張和小李去同一個(gè)景點(diǎn)，則有：若這個(gè)景點(diǎn)僅有2人去，不同的安排方法有C3若這個(gè)景點(diǎn)有3人去，不同的安排方法有C3所以若每個(gè)景點(diǎn)必須有同學(xué)去，且小張和小李不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的安排方法有150﹣18﹣18＝114種，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）12．（2025春?萊州市校級(jí)月考）下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的是（）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次?B．平面上有2020個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四個(gè)元素的子集有多少個(gè)？ D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)排列組合相關(guān)定義可解．【解答】解：對(duì)于A，10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，與順序無(wú)關(guān)，則為組合問(wèn)題；對(duì)于B，平面上有2020個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)，與順序無(wú)關(guān)，則為組合問(wèn)題；對(duì)于C，集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四個(gè)元素的子集，與順序無(wú)關(guān)，則為組合問(wèn)題；對(duì)于D，從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，與順序有關(guān)，則為排列問(wèn)題．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025?海南模擬）將標(biāo)號(hào)為1～10的10個(gè)小球裝入兩個(gè)不同的盒子，使得每個(gè)盒子都有球，有1022種不同的裝法；當(dāng)兩個(gè)盒子的球數(shù)相等時(shí)，從兩個(gè)盒子中不放回地各取一球，記下兩球球號(hào)之積，重復(fù)上述操作，直至取完，則所有積之和的最小值為110．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；運(yùn)算求解．【答案】1022；110．【分析】對(duì)于第一空：有分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算10個(gè)小球放入兩個(gè)盒子的放法，排除其中有空盒的情況，即可得答案；對(duì)于第二空：設(shè)第一個(gè)盒子里5個(gè)球的標(biāo)號(hào)為a1、a2、a3、a4、a5，第二個(gè)盒子里5個(gè)球的標(biāo)號(hào)為b1、b2、b3、b4、b5，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，b1＜b2＜b3＜b4＜b5，結(jié)合排序不等式分析可得a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1最小，進(jìn)而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，標(biāo)號(hào)為1～10的10個(gè)小球裝入兩個(gè)不同的盒子，每個(gè)球有2種放法，則有210＝1024放法，其中有1個(gè)空盒的放法有2種，若使得每個(gè)盒子都有球，有1024﹣2＝1022種不同的裝法；當(dāng)兩個(gè)盒子的球數(shù)相等時(shí)，則每個(gè)盒子里都是5個(gè)球，設(shè)第一個(gè)盒子里5個(gè)球的標(biāo)號(hào)為a1、a2、a3、a4、a5，第二個(gè)盒子里5個(gè)球的標(biāo)號(hào)為b1、b2、b3、b4、b5，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，b1＜b2＜b3＜b4＜b5，由排序不等式，反序和最小，即a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1最小，故當(dāng)兩個(gè)盒子的小球標(biāo)號(hào)分別為1、3、5、7、9和2、4、6、8、10時(shí)，所有積之和最小，其最小值為1×10+3×8+5×6+7×4+9×2＝110．故答案為：1022；110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025春?歷城區(qū)校級(jí)月考）已知直線方程Ax+By＝0，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則Ax+By＝0可表示22條不同的直線．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】22．【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，分情況計(jì)算可得答案．【解答】解：當(dāng)A＝0時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)B＝0時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)AB≠0時(shí)，A有5種選法，B有4種選法，可表示5×4＝20條不同的直線．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示1+1+20＝22條不同的直線．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．15．（2025春?上海校級(jí)月考）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒(méi)有并列名次）．甲、乙、丙三人向老師詢(xún)問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”．從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為8．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】8．【分析】由題意可得丙不是第1名，甲、乙相鄰，先排丙，再排甲乙和丁即可．【解答】解：當(dāng)丙是第2名時(shí)，甲、乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時(shí)共有2種情況，當(dāng)丙是第4名時(shí)，甲、乙有可能是第1，2名或2，3名，當(dāng)丙為第3名時(shí)，甲、乙是第1，2名時(shí)，丁為第4名，此時(shí)共有2種情況，若甲、乙是第1，2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共有2種情況，若甲、乙是第2，3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共有2種情況，綜上所述：4人的名次排列情況種數(shù)為2+2+2+2＝8種情況．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．16．（2025春?集美區(qū)校級(jí)月考）若C16x=C162x+1(【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解x的值．【解答】解：由題意可得，x＝2x+1或x+（2x+1）＝16．當(dāng)x＝2x+1時(shí)，解得x＝﹣1，舍去；當(dāng)x+（2x+1）＝16時(shí)，解得x＝5，則C165=C1611故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?金水區(qū)校級(jí)月考）某次學(xué)校文藝晚會(huì)上計(jì)劃演出7個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，需要制作節(jié)目單：（1）若3個(gè)舞蹈節(jié)目相鄰，且不排開(kāi)頭和結(jié)尾，則有多少種不同的排法？（2）若2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰，3個(gè)舞蹈節(jié)目也相鄰，且兩個(gè)小品節(jié)目不相鄰，則有多少種不同的排法？（3）由于同學(xué)們參與積極，需要在確定好的節(jié)目單上新增兩個(gè)節(jié)目：一個(gè)詩(shī)歌朗誦和一個(gè)快板節(jié)目，但是不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，共有多少種不同的排法？【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）432；（2）144；（3）72．【分析】（1）利用捆綁法和特殊元素優(yōu)先法即可求解；（2）利用捆綁法和插空法即可求解；（3）利用插空法和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解．【解答】解：學(xué)校文藝晚會(huì)上計(jì)劃演出7個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，（1）將3個(gè)舞蹈節(jié)目看成整體，優(yōu)先排布，有A3再將剩下4個(gè)節(jié)目全排列，有A4最后，將舞蹈節(jié)目整體放入剩下4個(gè)節(jié)目排布時(shí)產(chǎn)生的不含兩端的3個(gè)空中，有3種排法，故共有3A（2）將舞蹈，歌曲看成整體并優(yōu)先安排，有2A再將小品分放入排布舞蹈，歌曲時(shí)產(chǎn)生的三個(gè)空中，有A3則共有2A（3）將新增兩個(gè)節(jié)目放入7個(gè)節(jié)目排布產(chǎn)生的8個(gè)空中．若兩個(gè)節(jié)目不放入同一個(gè)空，有A8若兩個(gè)節(jié)目放入同一個(gè)空，有8A故共有16+56＝72種排法．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．18．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）求解下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：2A（2）求證：An（3）解關(guān)于x的不等式：A8【考點(diǎn)】排列及排列數(shù)公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）{8}．【分析】（1）（2）（3）應(yīng)用排列數(shù)公式化簡(jiǎn)求值、證明恒等關(guān)系及解不等式；【解答】解：（1）2A（2）證明：Anm=n!(n（3）A8則0≤x≤80≤x-由A8得8!(8-x)!整理得x2﹣19x+84＜0，解得7＜x≤8，又x∈N*，得x＝8，所以A8x＜【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2025春?廣州校級(jí)月考）某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．（1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）561種；（2）2100種；（3）2555．【分析】（1）問(wèn)題等價(jià)于34種商品選擇2種，即可求解；（2）由20種真選1，15種假選2，再由乘法原理即可求解；（3）分2假1真，或3假結(jié)合加法原理即可求解．【解答】解：某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種，（1）從余下的34種商品中，選取2種有C34∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．（2）從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有C20∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．（3）恰好2種假貨有C201C152種選法，恰好因此，選取方式共有C20∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．20．（2025春?歷城區(qū)校級(jí)月考）有0，1，2，3四個(gè)數(shù)字，（Ⅰ）可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（Ⅱ）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（Ⅲ）若將由這四個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)從小到大排列，則第10個(gè)四位數(shù)是多少？【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）192；（Ⅱ）10；（Ⅲ）2130．【分析】（Ⅰ）結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（Ⅱ）結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)求解；（Ⅲ）結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：（Ⅰ）由0，1，2，3四個(gè)數(shù)字，可以組成C31（Ⅱ）由0，1，2，3四個(gè)數(shù)字，可以組成A33（Ⅲ）若將由這四個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)從小到大排列，則千位上數(shù)字為1時(shí)，有A33當(dāng)千位上數(shù)字為2時(shí)，將由這四個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)從小到大排列，前4個(gè)數(shù)分別為2013，2031，2103，2130，則第10個(gè)四位數(shù)是2130．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．排列及排列數(shù)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計(jì)算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝2．簡(jiǎn)單排列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡(jiǎn)單排列問(wèn)題通常涉及無(wú)任何限制條件的排列情況．n個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類(lèi)問(wèn)題通常是排列問(wèn)題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用排列公式進(jìn)行計(jì)算．對(duì)于全排列問(wèn)題，計(jì)算階乘即可得到排列數(shù)．﹣在計(jì)算過(guò)程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排列的意義．﹣對(duì)于涉及排列的實(shí)際問(wèn)題，可以通過(guò)具體化問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為排列數(shù)計(jì)算．【命題方向】﹣基本排列問(wèn)題的命題常見(jiàn)于簡(jiǎn)單元素排列的計(jì)算，如全排列數(shù)的求解、特定位置的排列數(shù)計(jì)算．﹣可能涉及對(duì)排列數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對(duì)排列問(wèn)題的基礎(chǔ)性理解與操作．3．部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問(wèn)題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問(wèn)題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先對(duì)有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對(duì)剩余元素進(jìn)行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．﹣對(duì)于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類(lèi)討論，并對(duì)每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算．【命題方向】﹣常考察在特定位置或區(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問(wèn)題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式．4．部分元素不相鄰的排列問(wèn)題