高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1重慶市七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.，，若，則實(shí)數(shù)為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.2.復(fù)數(shù)，則為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C．3.下列函數(shù)中，最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的周期，故B不符題意；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的周期，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D符合題意.故選：D.4.在中，，則最大角余弦值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，.，即，，∴角即為的最大角.由正弦定理可得，不妨設(shè)，，，，再由余弦定理可得.故選：A.5.向量、滿足：，，，則在上的投影向量的模為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，即，所以，所以在上的投影向量的模為.故選：C.6.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，某測(cè)量隊(duì)選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)量得米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】設(shè)該塔的高度為米，則．在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.7.如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線分別為，且相交于點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，∴，，，∴.故選：A.8.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)使函數(shù)最得大值，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋傻脠A周的半徑，又旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒，所以周期，從而，所以，又點(diǎn)時(shí)，在函數(shù)圖像上，所以，且，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，由題意知，函數(shù)在恰有3個(gè)最大值，所以，解得，即取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.復(fù)數(shù)，，的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】A，若為純虛數(shù)，則且，則，故A錯(cuò)誤；B，由題意可知且，則，故B正確；C，若，則，，則，故C錯(cuò)誤；D，若，則，，則，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，，則（

）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】ABD【解析】由已知，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，故正確；因?yàn)?，正切函?shù)的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心為，故正確；因?yàn)?，設(shè)，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以值域?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤；，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，，因?dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，即在上是減函數(shù)，故正確.故選：.11.在中，，，為邊上及內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.若為的重心，則B.若為的外心，則C.若為的內(nèi)心，，則D.若為的垂心，為銳角三角形，則與共線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為，由重心可得，由中線向量可得：，所以有，又因?yàn)椋?，則，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，分別作中垂線，交于外心，由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為的內(nèi)心，延長(zhǎng)交于，根據(jù)角平分線定理有：，利用等比性質(zhì)有：，所以有，又由角平分線定理得：，則，所以，又因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由，所以，又由為垂心得：，所以，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將函數(shù)的圖象向左或者向右平移個(gè)單位，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值_________.【答案】【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得，由題意可得，解得，因?yàn)椋宰钚≈?，函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得，由題意可得，解得，因?yàn)?，所以的最小值，綜上所述，的最小值為.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，已知且，則外接圓面積為_________.【答案】【解析】在中，由及余弦定理可得：，∴.，.設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可知：，即.∴外接圓面積為.14.正方形的邊長(zhǎng)為3，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【解析】如圖，，且，即不共線，故其可以作為基底，設(shè)，由題意可得，由向量的線性運(yùn)算法則可得，，故，這是關(guān)于的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，即與重合時(shí)，取得最小值.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.其中15題13分，16，17題分別15分，18，19題分別17分，解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸；（2）判斷函數(shù)在的單調(diào)性.解：（1）最小正周期；令，得，所以的對(duì)稱軸：.（2），則，令，解得，則在單調(diào)遞增；令，解得，則在單調(diào)遞減；綜上：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.16.已知向量滿足，且.（1）求，；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所?（2），由題意知且向量與不共線，所以，且，解得，且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是且．（1）求角的大??；（2）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，由余弦定理可得，即，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍是．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域；（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰好有二個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題設(shè)，所以，則，故，由，則，即，又，當(dāng)時(shí)，則，故.（2）由題意，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，所以；，則，由在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)值域?yàn)椋辉谏蠁握{(diào)遞減，對(duì)應(yīng)值域?yàn)?；所以，所以函?shù)在上的值域：.（3），則，由在上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)值域?yàn)椋辉谏蠁握{(diào)遞減，對(duì)應(yīng)值域?yàn)?；函?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上只有兩個(gè)解，有圖可知.19.古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為海倫公式，其中，．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為“三斜求積”公式．請(qǐng)你結(jié)合閱讀材料解答下面的問(wèn)題：（1）已知的三條邊分別為，分別利用海倫公式和“三斜求積”公式求的面積；（2）中，，，的對(duì)邊分別為，，，已知的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，，，求，；（3）在中，，求面積的最大值.解：（1）依題意，，所以的面積，是相等的.（2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?，代入，，，可得，，又，由海倫公式，可得，整理可得，代入可得，，?lián)立，，又因?yàn)?，可得，．?），，，由正弦定理，可得，由，由“三斜求積”公式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值.重慶市七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.，，若，則實(shí)數(shù)為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)，則為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C．3.下列函數(shù)中，最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)的周期，故B不符題意；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的周期，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D符合題意.故選：D.4.在中，，則最大角余弦值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，.，即，，∴角即為的最大角.由正弦定理可得，不妨設(shè)，，，，再由余弦定理可得.故選：A.5.向量、滿足：，，，則在上的投影向量的模為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，即，所以，所以在上的投影向量的模為.故選：C.6.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，某測(cè)量隊(duì)選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)量得米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】設(shè)該塔的高度為米，則．在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.7.如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線分別為，且相交于點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，∴，，，∴.故選：A.8.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)使函數(shù)最得大值，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，可得圓周的半徑，又旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒，所以周期，從而，所以，又點(diǎn)時(shí)，在函數(shù)圖像上，所以，且，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，由題意知，函數(shù)在恰有3個(gè)最大值，所以，解得，即取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.復(fù)數(shù)，，的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】A，若為純虛數(shù)，則且，則，故A錯(cuò)誤；B，由題意可知且，則，故B正確；C，若，則，，則，故C錯(cuò)誤；D，若，則，，則，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，，則（

）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】ABD【解析】由已知，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，故正確；因?yàn)?，正切函?shù)的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心為，故正確；因?yàn)?，設(shè)，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以值域?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，故錯(cuò)誤；，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，，因?dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，即在上是減函數(shù)，故正確.故選：.11.在中，，，為邊上及內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.若為的重心，則B.若為的外心，則C.若為的內(nèi)心，，則D.若為的垂心，為銳角三角形，則與共線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為，由重心可得，由中線向量可得：，所以有，又因?yàn)?，所以，則，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，分別作中垂線，交于外心，由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為的內(nèi)心，延長(zhǎng)交于，根據(jù)角平分線定理有：，利用等比性質(zhì)有：，所以有，又由角平分線定理得：，則，所以，又因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由，所以，又由為垂心得：，所以，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將函數(shù)的圖象向左或者向右平移個(gè)單位，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值_________.【答案】【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得，由題意可得，解得，因?yàn)?，所以最小值，函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得，由題意可得，解得，因?yàn)?，所以的最小值，綜上所述，的最小值為.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，已知且，則外接圓面積為_________.【答案】【解析】在中，由及余弦定理可得：，∴.，.設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可知：，即.∴外接圓面積為.14.正方形的邊長(zhǎng)為3，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【解析】如圖，，且，即不共線，故其可以作為基底，設(shè)，由題意可得，由向量的線性運(yùn)算法則可得，，故，這是關(guān)于的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，即與重合時(shí)，取得最小值.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.其中15題13分，16，17題分別15分，18，19題分別17分，解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸；（2）判斷函數(shù)在的單調(diào)性.解：（1）最小正周期；令，得，所以的對(duì)稱軸：.（2），則，令，解得，則在單調(diào)遞增；令，解得，則在單調(diào)遞減；綜上：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.16.已知向量滿足，且.（1）求，；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，即，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所?（2），由題意知且向量與不共線，所以，且，解得，且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是且．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，由余弦定理可得，即，所?因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍是．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示