奧數(shù)專題：溶液濃度問(wèn)題

一、引題

熊喝豆?jié){：

黑熊領(lǐng)著三個(gè)弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過(guò)了狐貍開(kāi)的豆?jié){店。

只見(jiàn)店門(mén)口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元?！ê谛鼙阏泻舻艿軅冃_，一起來(lái)喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接

過(guò)一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，，加滿水后給老三喝掉了，X，X，=0.1（元）；

6363

X，=0.15（元）。兄弟一共付了0.45元。

2

兄弟們很驚異，不是說(shuō)，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.45—0.3=0.15元？確定是黑熊再敲詐我們。

不服氣的黑熊嚷起來(lái)：“多收我們堅(jiān)決不干。〃“不給，休想離開(kāi)。〃現(xiàn)在，K家說(shuō)說(shuō)為什么會(huì)這樣呢？

二、學(xué)同體系及常規(guī)解法

我們把被溶解的物質(zhì)稱為“溶質(zhì)〃，把被溶解物質(zhì)成為“溶劑〃。如在，酒中，酒精是溶質(zhì)，水是溶劑。

我們現(xiàn)在所說(shuō)的濃度為質(zhì)量濃度；

溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；

溶液濃戶=潛質(zhì)質(zhì)量=＞質(zhì)質(zhì)量=溶油質(zhì)量-溶劑質(zhì)量

''一溶液質(zhì)量-溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量溶液質(zhì)量

當(dāng)我們用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示濃度時(shí)，我們將溶液濃度的數(shù)字乘以100%。

當(dāng)多種不同濃度的溶液混合，混合后溶液濃度等于混合后忌溶劑質(zhì)量除以混合后忌溶液質(zhì)量。

—第一份潛質(zhì)質(zhì)量+第二價(jià)潛質(zhì)質(zhì)量+……+最后一份潛質(zhì)質(zhì)量

第一份溶液質(zhì)量+第二份溶液質(zhì)量+……+最后一份溶液質(zhì)量

第一份溶液質(zhì)量X第一份溶液濃度+第二份溶液質(zhì)量X第二價(jià)溶液濃度+……+反后一價(jià)溶質(zhì)質(zhì)量X最后一份溶液濃度

第一份溶液質(zhì)量+第二份溶淞質(zhì)量+……+最后一份溶液質(zhì)量

即為各濃度的加權(quán)平均。

兩種重要方法

1、“濃度三角〃法〔改“十字穿插"法?！?/p>

【解法范例】用濃度為45%和5%的兩種鹽水配制成濃度為30%的鹽水4千克，須要這兩種鹽水各多少千克？

港合后濃度

解:我們畫(huà)出三角，在頂上標(biāo)出混合后的濃度數(shù)，在兩個(gè)下角

標(biāo)出兩種被混合溶液的濃度數(shù),求A

出上角與兩個(gè)下角的濃度差，標(biāo)在對(duì)應(yīng)邊上，然后將乙邊的差人"/\

寫(xiě)到道甲旁邊，把寫(xiě)在甲邊的差寫(xiě)[25%）—乙與混合后

到乙旁邊。

求出它們的比，即甲、乙兩種溶液所需的重量（嚴(yán)格說(shuō)是質(zhì)量）

比。

酒混合的（5-^j）被餛合的

中濃度求出濃度差的比，乙濃度

我們，知道，“濃度三角"實(shí)際是十字穿插法

甲邊的寫(xiě)到Z旁邊

的變形；而十字穿插法原理即為加權(quán)平均。乙邊的寫(xiě)主|甲旁邊

2、權(quán)重法

我們把，每份溶液所占全部溶液的份數(shù)稱為權(quán)重，記為qi,q2,q3,....,qn,我們知道qF-----------------------------

/n

/?1+7772+3++"〃+......+mn

N叫

/=1

那么混合后，溶液的濃度等于，各自溶液的濃度乘以它的權(quán)重的和，即:

一

混合后濃度=mxxq、+m2xq?+m3xq3+......+mnxqn=叫x%

i=\

我們可以將純?nèi)苜|(zhì)看成濃度為100%,將純?nèi)軇┛闯?%。

【解法范例】我們把50%的鹽水1千克與20%的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度？

我們嘗試用權(quán)重法來(lái)解決：

方法一、一般方法

求出第一份溶液中溶質(zhì)（即食鹽）質(zhì)量，50%X1=0.5千克；

其次份溶液中溶質(zhì)質(zhì)量，20%X4=0.8千克；

那么總?cè)苜|(zhì)質(zhì)量為0.5+0.8=1.3千克；

總?cè)軇┵|(zhì)量為1+4=5千克。

于是，混合后溶液的濃度為：—xlO（J^=26%o

5

方法二、加權(quán)平均法

我們算出，兩種溶液的權(quán)重，

第一種溶液權(quán)重=—!—='；其次種溶液權(quán)重=—L=±

1+451+45

1A

于是，混合后溶液的濃度為L(zhǎng)X50%+￡X20%=26%O

55

我們看出，加權(quán)平均法還是很簡(jiǎn)潔的。

此講的特點(diǎn)是要理清■溶液、溶質(zhì)、溶劑質(zhì)量的關(guān)系。

對(duì)于方法，我們可以采納方程法更好的解決問(wèn)題。

例1配制硫酸含量為20%的硫酸溶液1000克，須要用硫酸含量為18%和23%的硫酸溶液各多少克？

例2有酒精含量為36%的酒精溶液假設(shè)干，參與確定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為30%的溶液，假如再稀釋到24%,

那么還須要加水的數(shù)量是上次加的水的幾倍？

例3現(xiàn)在有溶液兩種，甲為50%的溶液，乙為30%的溶液，各900克，現(xiàn)在從甲、乙兩溶液中各取300克，分別

放到乙、甲溶液中，混合后，再?gòu)募?、乙兩溶液中各?00克，分別放到乙、甲溶液中，……，

問(wèn)1）、第一次混合后，甲、乙溶液的濃度？

2）、第四次混合后，甲、乙溶液的濃度？

3）、揣測(cè)，假如這樣無(wú)窮反復(fù)下去，甲、乙溶液的濃度。

濃度問(wèn)題

專題簡(jiǎn)析：

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問(wèn)題，即濃度問(wèn)題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，

水叫溶劑，糖水叫溶液。假如水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)糖水甜的程度是由糖〔溶質(zhì)〕與

糖水〔溶液=掂+水〕二者質(zhì)量的比值確定的。這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或禱含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精

與酒精溶液二者質(zhì)量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即，

溶質(zhì)質(zhì)量、-，溶質(zhì)質(zhì)量……

濃度一溶液質(zhì)量10°%―溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量100%

解答濃度問(wèn)題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問(wèn)題時(shí)，依據(jù)題意列方程解答比擬簡(jiǎn)潔，在列方程時(shí)，要留

意找尋題目中數(shù)量問(wèn)題的相等關(guān)系。

濃度問(wèn)題變更多，有些題目難度較大，計(jì)算也較困難。要依據(jù)題目的條件和問(wèn)題逐一分析，也可以分步解答。

例題1。

有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,須要再參與多少克糖？

【思路導(dǎo)航】依據(jù)邈意，在7%的糖水中加糖就變更了原來(lái)糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水

的質(zhì)量并沒(méi)有變更。因此，可以先依據(jù)原來(lái)糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再依據(jù)后來(lái)糖水中的濃度求出

現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來(lái)糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。

原來(lái)糖水中水的質(zhì)量：600X（1-7%）=558〔克〕

現(xiàn)在糖水的質(zhì)量：5584-〔1一10%〕=620〔克〕

參與糖的質(zhì)量：620—600=20〔克〕

答：須要參與20克糖。

練習(xí)1

1、現(xiàn)在有濃度為20%的糖水300克，要把它變成濃度為40%的糖水，須要加糖多少克？

2、有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20%,需加鹽多少千克？

3、有甲、乙兩個(gè)瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入

甲瓶，其次次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？

例題2。

一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成

1.75%的農(nóng)藥800千克？

【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^(guò)程稱為稀釋。在這種稀釋過(guò)程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變

的。這是解這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

2、濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？

3、在20%的鹽水中參與10千克水，濃度為15%。再參與多少千克鹽，濃度為25%?

例題4。

將2。％的鹽水與5%的鹽水混合，配成15%的鹽水600克，須要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克？

【思路導(dǎo)航】依據(jù)題意，將20%的鹽水與5%的鹽水混合配成15%的鹽水，說(shuō)明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合

后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的。可依據(jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。

解：設(shè)20%的鹽水需x克，那么5%的鹽水為600—x克，那么

20%x+[600-x]X5%=600X15%

X=400

600-400=200〔克〕

答：須要20%的鹽水400克，5%的鹽水200克。

練習(xí)4

1、兩種鋼分別含銀5%和40%,要得到140噸含鍍30%的鋼，須要含鍍5%的鋼和含鍥40%的鈉各多少噸？

2、甲、乙兩種酒各含酒精75%和55%,要配制含酒精65%的酒3000克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克？

3、甲、乙兩只裝糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率為40%；乙桶有糖水40千克，含糖率為20%。要使兩桶

糖水的含糖率相等，需把兩桶的糖水相互交換多少千克？

例題5。

甲、乙、丙3個(gè)試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克

倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5%。最早倒入甲管中的鹽

水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？

【思路導(dǎo)航】混合后甲、乙、丙3個(gè)試管中應(yīng)有的鹽水分別是20克、30克、40克。依據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽

的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉?lái)只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管

里30克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽

水中鹽的質(zhì)量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管內(nèi)鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

丙管中鹽的質(zhì)量：(30+10)X0.5%=02〔克〕

X[[20+10）4-10]=0.6〔克〕

X[[10+10]4-10]=1.2〔克〕

+10=12%

答：最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12%。

練習(xí)5

1、從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將

杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

2、甲容器中又8%的鹽水300克，乙容器中有12.5%的鹽水120克。往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)

容器中鹽水的濃度一樣。每個(gè)容器應(yīng)倒入多少克水？

3、甲種酒含純酒精40%,乙種酒含的酒精36%,丙種酒含純酒精35%。將三種酒混在一起得到含酒精38.5%的酒

11千克。乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？

答案：

練1

1、300X（1-20%）+〔1一40%〕-300=100克

2、20X（1-15%）4-

3、第一次把20毫升的純酒精倒入甲瓶，那么甲瓶的濃度為：204-(200+20),其次次把甲瓶中20毫升溶液

12001200

倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶中含酒精200Xyy=—毫升，乙瓶中含水20X[1--〕=—毫升，即兩者相等。

練2

1、30X〔16%—0.15%〕(0.15%=3170千克

2、100X(1-90%]+(1-80%)=50千克

255

3、10X(1--〕X(1-—〕+10=37.5%

練3

1、100X〔50%—25%〕+〔25%—5%〕=125千克

2、(500X70%+300X50%)+(500+300)X100%=62.5%

3、原有濃度為20%的鹽水的質(zhì)量為：10X15%：〔20%—15%〕=30千克

其次次參與鹽后，溶液濃度為25%的質(zhì)量為：

136

[30X(1-20%)+10]-?〔1一25%〕=—千克

參與鹽的質(zhì)量：—[30+10]千克

O*5

練4

1、解：設(shè)需含集5%的鋼x噸，那么含銀40%的銅140-x噸，

5%x+(140-x)X40%=140X30%

X=40

140-40=100噸

2、[3000X75%-3000X65%〕4-[