(1)掌握計(jì)算中常用的計(jì)算結(jié)論；

(2)能快速準(zhǔn)確的觀察出計(jì)算中的數(shù)字規(guī)律并運(yùn)用換元法計(jì)算。

【特殊多位數(shù)的實(shí)用結(jié)論】

【其他常用結(jié)論】

1、HL..lxllll=123'.n321[n<9]

“個(gè)?〃個(gè)i

2、抉8數(shù)乘以9的倍數(shù)可以得到“清一色〃：

a)12345679x9=111111111

b)I2345679X18=222222222

c)12345679x27=333333333

d)12345679x36=444444444

e)12345679x45=555555555

f)12345679x54=666666666

g)12345679x63=777777777

h)12345679x72=888888888

i)12345679x81=999999999

4、特殊平方數(shù)：

=999999999x999999999

1..9

5、-=().142857-=0.285714....

77

如右圖所示：?-----------

換元法一一解數(shù)學(xué)題時(shí)，杷某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)曷去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫

換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn).

-ffl渭筋

(1)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想利用特殊規(guī)律解題簡(jiǎn)化解題過程;

(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察數(shù)字規(guī)律及特點(diǎn)，運(yùn)用換元法簡(jiǎn)化解題過程。

〃工初題溺楨

一、重要結(jié)論應(yīng)用

【例1】2007x20062006-2006x20072007=.

【穩(wěn)固】計(jì)算：2011x201220122()122012—2012x2011201120112011

2000個(gè)人2000

一…―2000+20002000+???20002000-??2000

［穩(wěn)固】計(jì)算：---------------------------------------

2001+20012001+…20012001…2001

2001個(gè)2001

［例2］■!■化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2007位上的數(shù)字為

7

【穩(wěn)固】巳化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后假設(shè)干位數(shù)字和為1992,問戶.

7

［例3］X(l+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+D的結(jié)果等于自然數(shù)的平方.

112I3I4I5卜6+5!4I3I211

【穩(wěn)固】計(jì)算:

6666x6666

二、換元法

［例5］計(jì)算:(1+1%(>%》一(1+梟嗎+》

【穩(wěn)固】W：(1+l+l+l)x(i+l+l+l)-(l+l+l+-L4)x(i+l+l)

23423452345234

【例6】計(jì)算:

1

992349910023499

【穩(wěn)固】計(jì)算：(0.1+0.21+0.321+0.4321)x(0.21+0.3214-0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

i+L+-L1

【例7】計(jì)算:

220072(X)822008

1±U±___11

【穩(wěn)固】計(jì)算：—+—+—+++++—+—+—

11213141J(21314151213141

【例8】計(jì)算

12391239

-+—+-+???+----+—+—+—+?0?+----"+2+..Jx

234102341023103410；

(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=—

【穩(wěn)固】。

[例9]計(jì)算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

621739458739458378)621739458378、，739458

【穩(wěn)固】計(jì)算:-----1-----H-----X----H------1----------------------------F----------1-----------X----H-----

126358947358947207)126358947207J358947

1993x1994-1

?例1()1計(jì)算：1993+1992x1994

20102

【穩(wěn)固】計(jì)算:

2009x2011+1

1、計(jì)算:9999x20072007-2008x88888888

66x6666x3232-32x6666x6666

2、計(jì)算:

2011

llll)x(14ll)-(lllll)x(ill)

3、計(jì)算:(+++++++++++

5791179111357911137911

11111,111111111

4、計(jì)算:14444―+-+—+一+一1+-4--+-4--+-X

234523456234562345

2008+2009x2007

5、計(jì)算:

2008x2009-1

SIS??

1、計(jì)算下面的算式:(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

73473

2、計(jì)算:-+—+-X32+17

12321732171312321713J

111x2323-101x2553

3、計(jì)算:

201『+20122

4、計(jì)算:11111111xllllllll-(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)

20112x2010+2x2012

計(jì)算:

20113+2-2011x2009

生初題需圖

一、整數(shù)裂項(xiàng)

【例1】計(jì)算：1X3+2X4+3X5+4X6+---+99X101

【穩(wěn)固】計(jì)算：3x5+5x74-7x9+.-+97x99+99x101

【例2】計(jì)算10x16x22+16x22x28+,+70x76x82+76x82x88

【例3】計(jì)算1x1+2x2+3x34-.......4-99x99+100x100

【用棗固】3x3x3+4x4x4+???+79x79x79

【例4】計(jì)算：1x1x1+2x2x2+3x3x34-.■?+99x99x99+l(X)xl(X)xl(X)

【木急固】3+(3+6)+(3+6+9)++(3+6+—+300)

二、分?jǐn)?shù)裂和

［例5］填空：-=-+(),—=-+(),—=-+()

62'，1232()4'，

U」+()，U,+()，3、()

305426567

_52__±11.11L5-IZ19

【穩(wěn)固】計(jì)算:-6+T2-2()+30-42+56-72+96

365791113

【穩(wěn)固】—+—+—+-4--+—+

57612203042

1325721011+收=

【例6】計(jì)算:+++++++

3457820212435

2379111725

【穩(wěn)固】-+-+—+—+—+—

3571220283042

35496377911051

【穩(wěn)固】q—

61220304256’8

I212+2212+22+3212+22+32+42124-224-,,,+262

【穩(wěn)固】----------------+......................------------------------

I313+2313+23+3313+23+33+4313+23+...4-263

1、1x4+4x7+7x10++49x52=

。”行?579II13151719

仃鼻：1—+----------+----------+-----------+—

612203042567290

GL成今

叵皚襁盥糜

(1)掌握循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的根本方法與規(guī)律；

(2)在計(jì)算中能靈活運(yùn)用循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。

物閡跟胸隨

【根本概念】

純小數(shù)一一整數(shù)局部是零的小數(shù)。

循環(huán)小數(shù)一一從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不斷地重復(fù)出現(xiàn)前一個(gè)或一節(jié)數(shù)字的十進(jìn)制無限小數(shù)。

循環(huán)小數(shù)有以下兩類類：混循環(huán)小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)。

混循環(huán)小數(shù)一一循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)局部第一位開始的循環(huán)小數(shù)。

純循環(huán)小數(shù)一一循環(huán)節(jié)從小數(shù)局部第一位開始的循環(huán)小數(shù)。

【根本方法】

(1)純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)，分母由9構(gòu)成，9的個(gè)數(shù)等

于一個(gè)循環(huán)節(jié)中的位數(shù)。

(2)混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù):這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)局部組成的數(shù)與小數(shù)局部

中不循環(huán)局部組成的數(shù)的差；分母的頭幾位數(shù)是9,末幾位是0,9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)中的

位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)局部的位數(shù)相同。

重點(diǎn)：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的根本方法與規(guī)律：

苑點(diǎn)：靈活運(yùn)用循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

〃二MS?

一、分?jǐn)?shù)拆分

1111111

1r4/c9r1l1llI—10=(-----)------0----------0----=(-------I--1---0-----(--1---)-----

【穩(wěn)固】在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立.

【例2】如果—L.=_L—A8均為正整數(shù)，那么8最大是多少？

2009AB

【穩(wěn)固】假設(shè)」一=■!"+■!"，其中a、b都是四位數(shù)，且avb,那么滿足上述條件的所有數(shù)對(duì)(a,b)是哪

2004ab

些？

二、純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

［例3】把純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

(1)0.6(2)3.i02

【穩(wěn)固】把純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)

(1)0.216(2)4.i23

三、混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

［例4】把混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)。

⑴0.2i5(2)6.353

【穩(wěn)固】把混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。

(I)0.276(2)7.42

四、循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算與周期運(yùn)算

循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算就可以按分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算法那么進(jìn)行。從這種意義上

來講，循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算和有限小數(shù)四那么運(yùn)算一樣，也是分?jǐn)?shù)的四那么運(yùn)算。

［例5］計(jì)算下面各題：

.(1)2.45+3.13(2)2.609-1.32⑶43x2.4(4)1.244-0.3

【穩(wěn)固】⑴0.54+036=；

(2)(2006年第四屆“希望杯”六年級(jí)第1試)1.2x1.24+蘭=

27。

【例6】計(jì)算下面各題。

(I)0.6+------!------(2)1.25x0.3+1.25x1+1.25x0.6

八之，13

⑶0.14+0.25+0.36+0.47+0.58

【穩(wěn)固】(1)(0.15+0.218)X0.3XU；⑵(2.234—0.98)+11(結(jié)果表示成循環(huán)小數(shù))。

［例7】將循環(huán)小數(shù)0.027與017967。相乘，取近似值，要求保存一百位小數(shù)，那么該近似值的最后

一位小數(shù)是多少？

【穩(wěn)固】計(jì)算(32-3”bU(結(jié)果表示為循環(huán)小數(shù))。

V9990099990)9901

【例8】其分?jǐn)?shù)一化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開始連續(xù)假設(shè)干個(gè)數(shù)字之和是1992,那

7

么a是多少？

【穩(wěn)固】期和」一化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是。

2009287

【例9】某學(xué)生將1.28乘以一個(gè)數(shù)。時(shí)，把1.23誤看成1.23,使乘積比正確結(jié)果減少0.3.那么正確結(jié)果

該是多少？

【例10】設(shè)a,b,c是0?9的數(shù)字1允許相同)，將循環(huán)小數(shù)0/a?化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后，分子有多少種不

同情況？

【穩(wěn)固】分母為1996的所有最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)之和是o

[例11]將純循環(huán)小數(shù)0."化為最簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)時(shí)，分子與分母之和為19,求。和〃(。和〃上面都帶小

數(shù)點(diǎn)的)。

【穩(wěn)固】純循環(huán)小數(shù)0c寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，分子和分母的和是58,那么三位數(shù)次=

1、計(jì)算(1)0.29i-0.192+0.375+0.526(2)0.330x0.186

??25.2413

2、有8個(gè)數(shù)，0.51,—二,0.51是其中6個(gè),如果按從小到大的順序排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是0.51,

394725

那么按從大到小排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)？

3、計(jì)算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

4、真分?jǐn)?shù)幺化成小數(shù)后，如果小數(shù)點(diǎn)后連續(xù)2004個(gè)數(shù)字之和是8684,那么?？赡艿扔诙嗌?？

27

(

1、在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立.

⑴_(tái)LJ+_LJ+-LJ+-L--L；

>02020()()I；)()()()()()

io()()

2、計(jì)算：0.1+0.125+0.3+0.16(結(jié)果保存三位小數(shù))。

3、計(jì)算：o.oi+0.12+0.28+0.34+???+0.7*+???+0.89

4、算式i+_L+_L+L+_L+_L+_L+_L+_L+_L的計(jì)算結(jié)果，小數(shù)點(diǎn)后第2023位是數(shù)字幾?

2345678910

5、真分?jǐn)?shù)0化成循環(huán)小數(shù)之后，從小數(shù)點(diǎn)后第1位起假設(shè)千位數(shù)字之和是9039,那么a是多少？

7

6、所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加，和是。

(1)靈活運(yùn)用平方和、立方和公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)了解等比數(shù)列：

(3)靈活運(yùn)用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算。

物闔既給幼

【根本概念】

等比數(shù)列一一如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)

列就叫做等比數(shù)列(geometrieprogression)?這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(commonratio),

公比通常用字母4表示SHO)。注：片1時(shí)，a〃為常數(shù)列。

【常用公式】

1、產(chǎn)+2?+3?+...+/型12；

6

2、13+23+33+.-?+/?-=(1+2+34-..+”1Jx(〃+D-；

3、1+3+5+7++(2〃-1)=1+2+3+?+(〃-+〃+1)++3+2+1=〃？；

4、等比數(shù)列求和公式：〔I〕S,=%q°++…+的—=一D(初)；

q-i

〔2〕S.=%g°++…+aqa="用").1)。

i-q

5、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)：

6、完全平方公式：(〃+/?『=〃'+2H?+〃，=a--2ab+b2；

用文字表述為：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，

兩條公式也可以合寫在一起：(〃土力了=/±2a》+/.為便于記憶，可形象的表達(dá)為：“首平方，尾

平方.2倍灰積在中央〃.

(1)平方和、立方和公式的靈活運(yùn)用；

(2)等比數(shù)列公式的靈活運(yùn)用。

恒俊)題溺楨

【例11](1)(31415926)2-31415925x31415927=；

(2)12342+87662+2468x8766=.

【木惠固】2009x2009-2008x2(X)8=

【例12】有一串?dāng)?shù)1,4,9,16,25,36……它們是按一定規(guī)律排列的，那么其中第199。個(gè)數(shù)與第

1991個(gè)數(shù)相差多少？

【穩(wěn)固】a、〃代表任意數(shù)字，假設(shè)3+勿x(〃-8)=axa-"x〃，這個(gè)公式在數(shù)學(xué)上稱為平萬差公式.根

據(jù)公式，你來巧算以下各題吧.

(1)98x102(2)67x73(3)64x28(4)2x29x3x31

【例13】計(jì)算：(31415926『-31415925x31415927=

【穩(wěn)固】1234?+87662+2468x8766=.

【例14】計(jì)算：2004x2003-2003x2002+2002x2001-2001x2000++2x1=。

【，急固】計(jì)算：2012x201l—20Ux2010+2010x2009—2009x2008+--+2xl

【例15】計(jì)算：2,+26x3+25x3?+24x3,+23x3,+22x35+2x36+3’的值。(3,=2187,38=6561,

3°=19683,3,0=59C49,27=128,2s=256,29=512,2|0=1024)

【不急固】計(jì)算：37+4x36+42x35+43x34+44x33+45x32+46x3+47

【例16】對(duì)自然數(shù)a和〃,規(guī)定=例如3X72=32+3=12,那么:

(1)1V2+2V2+3V2++99V2=:

(2)2V1+2V2+2V3+...+2V99=.

【穩(wěn)固】看規(guī)律13=12,13+23=32,13+23+33=62……,試求6，+73,++143

【例17】計(jì)算：1x3+2x44-3x5+9x11

【穩(wěn)固】計(jì)算：1x3+3x5+5x7+7x9+9x11+11x13+13x15

【例18]計(jì)算：11x29+12x28++19x21=.

【穩(wěn)固】計(jì)算：1x99+2x98+3x97++49x51=.

【例19】計(jì)算：1x99+2x97+3x95++50x1

【矛總固】計(jì)算：1x49+2x47+3x45++25x1=.

【例20】計(jì)算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5+--+8x9x10

【矛急固】計(jì)算：1x3x54-3x5x7+5x7x9+.--+21x23x25

【例10】計(jì)算：100x100—99x99+98x98—97x97+…+2x2—1x1

【穩(wěn)固】計(jì)算：50x50-49x49+48x48-47x47+??-+2x2-lxl

■

、32014x503-503x2010+2006x501-501x2002+---+6x1-1x2

1、計(jì)算：-----------------------------------------------------------------

4

2、計(jì)算：I3-23+33-43+53-63+73-83+93-103+113

3、計(jì)算：50x504-49x51+48x52+47x53+46x54=

4、計(jì)算：2X4X6+4X6X8+6X8X10H--1-50x52x54

5、計(jì)算5^76+5^75+5^74+5^73+5,^72+5,1x7

I

I、37x37+2x63x37+63x63=。

2、計(jì)算：2x4+4x6+6x8+8x10+…+24x26

3、計(jì)算：20x20-19x19+18x18-17x17++2x2-1x1.

4、計(jì)算：1x69+2x67+3x65+…+35x1

5、計(jì)算：56x36+57x38+58x3,°+59x312+510x314

(1)靈活運(yùn)用平方和、立方和公式進(jìn)行計(jì)算;

(2)了解等比數(shù)列；

(3)靈活運(yùn)用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算。

朝澳繪曲

【根本概念】

等比數(shù)列一一如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)

列就叫做等比數(shù)列（geometricprogression）。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（commonratio）,

公比通常用字母g表示SW（））。注：干1時(shí)，a〃為常數(shù)列。

［常用公式】

(1)12+22+32+..+〃2=江上也@刊

6

n2x(〃+1)2

13+23+33+.+/=(1+2+3++〃『=

4

(3)1+3+5+7++(2〃—I)=1+2+3+-+("—1)+/?+(〃—1)++3+2+1=〃~；

(4)等比數(shù)列求和公式：（1）S”=牝。+“+.?.+@T）31）：

。一1

⑵5一"+%"..+〃小=^2(利。

(5)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

(6)完全平方公式：（a+〃）~=/+2a〃+。2,（a-b）2=a~-2ab+b1；

用文字表述為：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，力口上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2

倍,兩條公式也可以合寫在一起：（?！馈ǎ?=/±2岫+/.為便于記憶，可形象的表達(dá)為：“首平

方，尾平方，2倍乘積在中央”.

IS83箴

(1)平方和、立方和公式的靈活運(yùn)用;

等比數(shù)列公式的靈活運(yùn)用。

【例21】計(jì)算：12+22+32+--+1002

【穩(wěn)固】計(jì)算：12+22+32+--+502

【例22】計(jì)算：13+23+33+---+505

【穩(wěn)固】計(jì)算：13+23+33+-+100

【例23］計(jì)算：22+42+62+---+202

【穩(wěn)固】計(jì)算：32+6z+92+…+8/

【例24】計(jì)算：23+43+63+83+.--+20

【穩(wěn)固】計(jì)算：33+63+93+--+813

【例25】計(jì)算；I2+32+52+---+291

【穩(wěn)固】計(jì)算：13+33+53+73+...+493

【例26］計(jì)算：1+2+4+8+16+32+64+???+1024

【穩(wěn)固】計(jì)算：3+6+12