1.4基本不等式考點基本不等式1.基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號成立的條件

≤

a>0,b>0a=b其中

為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),

為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù),基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.幾個重要不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)

+

≥2(a,b同號).(3)ab≤

(a,b∈R).(4)

≥

≥

≥

(a,b為正實數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立).3.基本不等式與最值已知x>0,y>0,(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有最小值2

(簡記:積定和最小).(2)如果x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值

(簡記:和定積最大).注意

求最值時要注意三點:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指兩數(shù)(式)均為正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指必須滿足等號成立的條件.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)不等式a2+b2≥2ab與

≥

成立的條件相同.

(

)(2)當(dāng)a>0,b>0時,ab≤

.

(

)(3)函數(shù)y=x+

的最小值是2.

(

)(4)x2+2+

(x∈R)的最小值是2.

(

)×√××2.若m>0,n>0,mn=81,則m+n的最小值是

(

)A.4

B.4

C.9

D.183.(人教A版必修第一冊P49·T5改編)已知x>0,則2+3x+

的最小值等于

.B2+4

題型利用基本不等式求最值角度1直接法典例1

(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,則

+

+b的最小值為

.2

解析

解法一:(兩次利用基本不等式,先消去a,再消去b)因為a>0,b>0,所以

+

+b≥2

+b=

+b≥2

=2

.當(dāng)且僅當(dāng)

即a=b=

時等號成立,故

+

+b的最小值為2

.解法二:(基本不等式,拆項)∵a>0,b>0,∴

+

+b=

+

+

+

≥4

=2

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

=

,即a=b=

時等號成立.故

+

+b的最小值為2

.技巧歸納

n元均值不等式為

≥

,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時等號成立.易錯警示

一個題目中如果多次運用基本不等式求最值,必須保證取等的條件一致.角度2配湊法典例2若x<

,則f(x)=3x+1+

有

(

)A.最大值0

B.最小值9C.最大值-3

D.最小值-3C解析

∵x<

,∴3x-2<0.f(x)=3x-2+

+3=-

+3≤-2

+3=-3,當(dāng)且僅當(dāng)2-3x=

,即x=-

時取“=”.故f(x)=3x+1+

有最大值-3.故選C.名師點睛配湊是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形,通過添項、拆項等方法湊成和為定值或

積為定值的形式.角度3常數(shù)代換法典例3

(2024四川成都石室中學(xué)開學(xué)考,9)若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+3b),則a+b的最小

值為

(

)A.4

B.4+2

C.6

D.3+3

B解析

解法一:lga+lgb=lg(a+3b)?lg(ab)=lg(a+3b)?ab=a+3b,兩邊同除以ab,得

+

=1,(構(gòu)造常數(shù)“1”)∴a+b=(a+b)·

=

+1+

+3=

+

+4≥2

+4=2

+4.當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即a=

b時,取“=”,故a+b的最小值為4+2

.解法二:消元,配湊法由lga+lgb=lg(a+3b)?lg(ab)=lg(a+3b)?ab=a+3b?a=

,因為a>0,b>0,所以b-1>0,即b>1,(利用a的限制條件求出b的取值范圍)所以a+b=

+b=

+(b-1)+4≥2

+4=4+2

,(湊出積是定值)當(dāng)且僅當(dāng)

=b-1,即b=

+1時取等號,故a+b的最小值為4+2

.故選B.歸納