第1頁/共1頁2025北京平谷五中高一（下）期中數(shù)學一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共4分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.下列關(guān)于向量的命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則3.已知圓柱的底面半徑是3，高是4，那么圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.4.向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A. B.C. D.5.在中，若，則的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形6.已知點A（1，2），B（3，7），向量，則A.，且與方向相同 B.，且與方向相同C.，且與方向相反 D.，且與方向相反7.若，則（）A. B. C. D.8.已知P為所在平面內(nèi)一點，，則（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.如圖所示，一個大風車的半徑為，每旋轉(zhuǎn)一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉(zhuǎn)，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.若直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是______．12.已知復(fù)數(shù)，則______．13.設(shè)，復(fù)數(shù).若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則_________；若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則_____________.14.平面向量與的夾角為60°，，，則等于______.15.已知菱形的對角線長為3，則______．16.若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=_________；的取值范圍是_________.三、解答題17.如圖，在中，，點D在邊BC上，且．（1）求；（2）求線段的長．18.如圖，在正方體中，棱長為2，E是棱的中點．（1）證明：平面BDE；（2）求三棱錐的體積．19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.20.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期，對稱軸；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．21.在中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）在①，②，③這三個條件中，選出其中的兩個條件，使得唯一確定．并解答之．若___________，___________，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．22.定義向量的“相伴函數(shù)”為，函數(shù)的“相伴向量”為，其中O為坐標原點，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．（1）設(shè)函數(shù)，求證：；（2）記向量的相伴函數(shù)為，當且時，求的值．

參考答案一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共4分）1.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可得共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，則，所以z的共軛復(fù)數(shù).故選：A.2.【答案】C【分析】利用平面向量的知識對每一個選項逐一分析判斷得解．【詳解】選項A，向量的長度相等，方向不一定相同，從而得不出，即該選項錯誤；選項B，長度相等,向量可能不平行，該選項錯誤；選項C，顯然可得出，該選項正確；選項D，得不出，比如不共線，且，該選項錯誤.故選：C.3.【答案】C【分析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】由題意設(shè)底面半徑為，母線為，圓柱的側(cè)面積為.故選：C.4.【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】設(shè)小正方形的邊長為，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，因為，所以.故選：D5.【答案】D【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項.【詳解】因為，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形，故選：D.6.【答案】D【詳解】因為，所以，，可得，解得，與方向相反，故選：D.7.【答案】B【分析】對兩邊平方，再結(jié)合正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】兩邊平方得：，解得：故選：B8.【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運算即可得到答案.【詳解】由題意作出圖形，如圖所示，所以，故選：A.9.【答案】B【分析】以為整體結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進而根據(jù)充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為且，則，若在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，則，解得，又因為，所以“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.【答案】D【分析】由題意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再將點代入函數(shù)解析式求出的值，由此可得出與之間的函數(shù)關(guān)系式.【詳解】由題意可得，，，，，，，當時，，得，，可取，所以，故選D.二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.【答案】平行或異面.【分析】利用空間中兩直線的位置關(guān)系及其性質(zhì)直接得出結(jié)果.【詳解】空間中兩條直線的位置關(guān)系有3種：相交，有且只有一個公共點；平行，沒有公共點；異面，沒有公共點.所以直線a和直線b沒有公共點，則它們的位置關(guān)系是平行或異面.故答案為：平行或異面.12.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得，即可得模長.【詳解】因為，所以.故答案為：.13.【答案】①.-1②.1【分析】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)或?qū)崝?shù)的充要條件即可列式求解.【詳解】，對于第一空：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得；對于第二空：若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則，解得.故答案為：-1；1.14.【答案】【分析】先求向量，再根據(jù)向量模的運算求.【詳解】因為，所以，又因為與的夾角為，，所以；所以.故答案為：.15.【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得到．

在菱形中，，為對角線，所以是等腰三角形，邊上的高也是的中線．則表示在方向上的投影，其值等于．

已知，將代入可得：．

故答案為：16.【答案】①.②.【分析】根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問題.【詳解】，，即，，則，為鈍角，，，故.故答案為，.三、解答題17.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；（2）先利用同角關(guān)系求，在中利用正弦定理即可求解．【小問1詳解】在中，由余弦定理可得，又，；【小問2詳解】因為，所以，，由，可得，在中根據(jù)正弦定理得：，又，，，所以．18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）做輔助線，可得∥，由線面平行判定定理證明即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合錐體的體積直接求三棱錐體積即可.【小問1詳解】連接AC交BD于點O，連接OE，因為點O，E分別是，AC的中點，則∥，且平面BDE，平面BDE，所以∥平面BDE.【小問2詳解】由正方體的性質(zhì)可知三棱錐的高為，所以三棱錐的體積.19.【答案】（1），（2）.【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關(guān)鍵點可得解析式；（2）根據(jù)圖象的變換得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得其在區(qū)間上最值.【小問1詳解】由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；又∴，將點代入，∴，∵∴故答案為：，.【小問2詳解】由的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)∵∴∴當時，即，；當時，即，.20.【答案】（1）最小正周期；對稱軸為（2）【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求周期和對稱軸；（2）以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間運算求解即可.【小問1詳解】因為向量，，則，可得，即，則的最小正周期；令，解得，所以的對稱軸為.【小問2詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.21.【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，即可求解.（2）根據(jù)正余弦定理結(jié)合可求，然后根據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，得，整理得，即，又，所以．【小問2詳解】方案一：選①和②．由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以的面積．方案二：選①和③．由余弦定理，得，解