4.1角平分線的性質(zhì)與判定第一章三角形的證明北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)習(xí)&目標(biāo)1.要求大家掌握角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，會(huì)用這兩個(gè)定理解決一些簡單問題.2.理解角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的證明.3.進(jìn)一步發(fā)展大家的推理證明意識(shí)和能力.情境&導(dǎo)入1.什么叫角平分線？如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫角的平分線.2.還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?你是怎樣得到的?角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

探索&交流角平分線的性質(zhì)1—角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．

求證：PD=PE．CB1A2PDEO探索&交流證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.CB1A2PDEO探索&交流1.定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2.書寫格式：如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,∴PD＝PE.3

定理應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.例題&解析

例題欣賞?例1.如圖，AM

是∠BAC

的平分線，點(diǎn)

P

在

AM

上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是

D、E，PD

=

4

cm，則

PE

=

____cm.BACPMDE4探索&交流議一議你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上．簡寫

這個(gè)命題是假命題．角平分線是角內(nèi)部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上探索&交流已知：如圖，點(diǎn)P為是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.∴

OP平分∠AOB.∵PD=PE

，OP=OP，證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).BADOPEC12探索&交流定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.書寫格式：如圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)例題&解析

例題欣賞?例3.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)

D

在

BC

上，AD

=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn)，且DE

=DF，求

DE

的長.ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且

DE

=DF，∴AD

平分∠BAC

(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED

=

90°，AD=

10，ABCDEF∴DE

=

AD

=

×10=5

(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).例題&解析探索&交流圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)練習(xí)&鞏固1.如圖，OP是∠AOB的平分線，點(diǎn)C，D分別在角的兩邊OA，OB上，添加下列條件，不能判定△POC≌△POD的選項(xiàng)是(

)A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPDD．PC＝PDD練習(xí)&鞏固2.如圖，若∠ABC

的平分線與△ABC

的外角∠ACD

的平分線相交于點(diǎn)P，若∠BAC=62°，∠PAC

等于____°.59BACDP練習(xí)&鞏固3.如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∴Rt△DEB≌