專題7圓錐曲線中的定值問題一、考情分析求定值是圓錐曲線中頗有難度的一類問題,也是備受高考關(guān)注的一類問題,由于它在解題之前不知道定值的結(jié)果,因而更增添了題目的神秘色彩.解決這類問題時,要善于運用辯證的觀點去思考分析,在動點的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值,揭開神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題,從而找到解決問題的突破口.同時有許多定值問題,通過特殊探索法不但能夠確定出定值,還可以為我們提供解題的線索.二、解題秘籍(一)定值問題解題思路與策略定值問題肯定含有參數(shù),若要證明一個式子是定值,則意味著參數(shù)是不影響結(jié)果的,也就是說參數(shù)在解式子的過程中都可以消掉,因此解決定值問題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)：

(1)在解析幾何中參數(shù)可能是點（注意如果設(shè)點是兩個參數(shù)時,注意橫坐標(biāo)要滿足圓錐曲線方程）

(2)可能是角（這里的角常常是將圓錐曲線上的點設(shè)為三角函數(shù)角的形式）,

(3)也可能是斜率（這個是最常用的,但是既然設(shè)斜率了,就要考慮斜率是否存在的情況）

常用的參數(shù)就是以上三種,但是注意我們設(shè)參數(shù)時要遵循一個原則：參數(shù)越少越好.

因此定值問題的解題思路是：

(1)設(shè)參數(shù)；

(2)用參數(shù)來表示要求定值的式子；

(3)消參數(shù).

2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．【例1】（2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體高三上學(xué)期9月大聯(lián)考）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關(guān)于x軸的對稱點S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點Q．(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．【解析】（1）設(shè)，線段的中點M坐標(biāo)為，聯(lián)立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因為Q為三條中垂線的交點，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點，故．（2）設(shè)，中點M坐標(biāo)為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當(dāng)t變化時，為定值．【例2】（2023屆河南省濮陽市高三上學(xué)期測試）已知橢圓：的右焦點為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.(1)求的方程；(2)過圓上一點（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，則.①設(shè)過點與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得.又因為，所以，所以為定值．(二)與線段長度有關(guān)的定值問題與線段長度有關(guān)的定值問題通常是先引入?yún)?shù),利用距離公式或弦長公式得到長度解析式,再對解析式化簡,得出結(jié)果為定值【例3】（2023屆遼寧省朝陽市高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點，點在直線上，若坐標(biāo)原點為線段的中點，，證明：存在定點，使得為定值.【解析】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意知，直線的的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，設(shè)，則，直線的方程為，令，可得，即,同理可得，因為為的中點，所以，即，可得，即，所以或，若，則直線方程為，即，此時直線過點，不合題意；若時，則直線方程為，恒過定點，所以為定值，又由為直角三角形，且為斜邊，所以當(dāng)為的中點時，.(三)與面積有關(guān)的定值問題與面積有關(guān)的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達(dá)式,再利用題中條件化簡.【例4】（2023屆河南省部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點或右頂點重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.(四)與斜率有關(guān)的定值問題與斜率有關(guān)的定值問題常見類型是斜率之積商或斜率之和差為定值,求解時一般先利用斜率公式寫出表達(dá)式,再利用題中條件或韋達(dá)定理化簡.【例5】（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）因為，故可設(shè)，因為，故，即，解得.又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.（2）因為橢圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.聯(lián)立可得，設(shè)，則.故故定值為(五)與向量有關(guān)的定值問題與向量有關(guān)的定值問題常見類型一是求數(shù)量積有關(guān)的定值問題，二是根據(jù)向量共線,寫出向量系數(shù)的表達(dá)式,再通過計算得出與向量系數(shù)有關(guān)的定值結(jié)論.【例6】（2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，化簡得.將點的坐標(biāo)代入，可得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設(shè)存在符合條件的定點，則，所以.所以，化簡得.因為為常數(shù)，所以，解得.此時該常數(shù)的值為，所以，在軸上存在點，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.【例7】（2022屆上海市金山區(qū)高三上學(xué)期一模）已知為橢圓C：內(nèi)一定點,Q為直線l：上一動點,直線PQ與橢圓C交于A?B兩點（點B位于P?Q兩點之間）,O為坐標(biāo)原點.（1）當(dāng)直線PQ的傾斜角為時,求直線OQ的斜率；（2）當(dāng)AOB的面積為時,求點Q的橫坐標(biāo)；（3）設(shè),,試問是否為定值？若是,請求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）因為直線PQ的傾斜角為,且,所以直線PQ的方程為：,由,得,所以直線OQ的斜率是；（2）易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為,由,得,設(shè),則,所以,所以,解得,即,所以直線PQ的方程為或,由,得；由,得；（3）易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為,由,得,設(shè),則,所以,因為,,所以,所以,.(六)與代數(shù)式有關(guān)的定值問題與代數(shù)式有關(guān)的定值問題．一般是依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值【例8】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線分別交橢圓及直線于點，如圖，當(dāng)兩點分別是橢圓的右頂點及上頂點時，點的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是的等比中項，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請說明理由．【解析】（1）橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動直線交橢圓于兩點，當(dāng)零點分別是橢圓的有頂點和上頂點時，則，因為線段的中點為，射線分別角橢圓及直線與兩點，所以，由三點共線，可得，解得，因為，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因為是的等比中項，所以，可得，又由，解得，所以，此時滿足，所以為常數(shù).(六)與定值有關(guān)的結(jié)論1.若點A,B是橢圓C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；2.若點A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.3.設(shè)點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則直線AB斜率為定值；4.設(shè)點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值；5.設(shè)點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值.6.設(shè)是橢圓上不同3點,B,C關(guān)于x軸對稱,直線AC,BC與x軸分別交于點,則.7.點A,B是橢圓C：上動點,O為坐標(biāo)原點,若,則=（即點O到直線AB為定值）8.經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線,與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2,則.9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.10.點為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點,過引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記與的面積為,則：.【例9】（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設(shè)常數(shù)且,橢圓：,點是上的動點．（1）若點的坐標(biāo)為,求的焦點坐標(biāo)；（2）設(shè),若定點的坐標(biāo)為,求的最大值與最小值；（3）設(shè),若上的另一動點滿足（為坐標(biāo)原點）,求證：到直線PQ的距離是定值．【解析】（1）∵橢圓：,點的坐標(biāo)為,∴,,∴的焦點坐標(biāo)為；（2）設(shè),又,由題知,即,∴,又,∴當(dāng)時,取得最大值為25；當(dāng)時,取得最小值為；∴的最大值為5,最小值為.（3）當(dāng)時,橢圓：,設(shè),當(dāng)直線PQ斜率存在時設(shè)其方程為,則由,得,∴,由可知,即,∴,即,∴,可得,滿足,∴到直線PQ的距離為為定值；當(dāng)直線PQ斜率不存在時,,可得直線方程為,到直線PQ的距離為.綜上,到直線PQ的距離是定值．三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）由橢圓：的離心率為，短軸長為2，可知，則，故的方程為；（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得，，則，所以，又，所以，解得，從而，故，即為定值.2．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點，且于，證明：存在定點，使為定值.【解析】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點坐標(biāo)，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立與雙曲線，化簡得，，即，則有，又，因為，所以，所以，化簡，得，即，所以，且均滿足，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，當(dāng)時，直線的方程為，過定點（ii）當(dāng)直線斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線DE：，與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時也過點，綜上，直線過定點.由于，所以點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點，使為定值.3．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當(dāng)l經(jīng)過點F時，點A恰好為線段PF中點．(1)求p的值；(2)是否存在定點T，使得為常數(shù)？若存在，求出點T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在拋物線上，所以，即，解得（2）設(shè)，可知直線l斜率存在；設(shè)l：，聯(lián)立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此時4．（2023屆重慶市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知拋物線的焦點為F，斜率不為0的直線l與拋物線C相切，切點為A，當(dāng)l的斜率為2時，.(1)求p的值；(2)平行于l的直線交拋物線C于B，D兩點，且，點F到直線BD與到直線l的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；否則，請說明理由.【解析】（1）由，得，則，令，則，即點的橫坐標(biāo)為，所以其縱坐標(biāo)也為，故，所以；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，，由得，即，即，由（1）知，聯(lián)立，消得，則，所以，所以，，設(shè)到直線和直線的距離分別為，則由得，，所以點F到直線BD與到直線l的距離之比是定值，為定值3.5．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期考試）設(shè)為橢圓：的右焦點，過點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點.(1)當(dāng)時，求；(2)在軸上是否存在異于的定點，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，又因為，所以，解得，，所以，即.（2）假設(shè)在軸上存在異于點的定點，使得為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，所以.所以.要使為定值，則，解得或（舍去），此時.故在軸上存在異于的定點，使得為定值.6．（2022屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高三下學(xué)期5月模擬）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓的長軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，交拋物線于兩點，請問是否存在實常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）因為拋物線的焦點為，所以，又，則，故橢圓的方程為：；（2）設(shè)???，設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，∴，，∴，設(shè)直線的方程，與拋物線G的方程聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，要使為常數(shù)，則，解得，故存在，使得為定值．7．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期數(shù)學(xué)大練）已知點B是圓C:上的任意一點，點F（，0），線段BF的垂直平分線交BC于點P.(1)求動點Р的軌跡E的方程;(2)設(shè)曲線E與x軸的兩個交點分別為A1，A2，Q為直線x=4上的動點，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個交點為M，QA2與E的另一個交點為N，證明:△FMN的周長為定值.【解析】（1）因為點P在BF垂直平分線上，所以有，所以：，即PF+PC為定值4，所以軌跡E為橢圓，且，所以，所以軌跡E的方程為：.（2）由題知：，設(shè)則，，所以QA1方程為：，QA2方程為：，聯(lián)立方程：，可以得出M：同理可以計算出點N坐標(biāo)：，當(dāng)存在，即，即時，所以直線MN的方程為：即：，所以直線過定點，即過橢圓的右焦點，所以△FMN的周長為4a=8.當(dāng)不存在，即，即時，可以計算出，周長也等于8.所以△FMN的周長為定值8.8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標(biāo)為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.【解析】（1）因為左焦點坐標(biāo)為，所以，當(dāng)點在上?下頂點時，最大，又的最大值為.所以，由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，直線與橢圓沒有交點，與條件矛盾，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得，，化簡可得，所以，由已知方程的判別式，又直線過點，所以，所以，所以，設(shè)，則，，因為所以，所以方法二：設(shè)直線的方程為，由橢圓的方程，得.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，得，即，，所以.因為直線過定點，所以，代入，得.9．（2023屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期考試）已知橢圓的長軸的兩個端點分別為離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點，直線交直線于點N，點O為坐標(biāo)原點，過點O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點P，交直線l于點Q，求證：為定值．【解析】（1）由已知，又，，所以，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，則，，直線的方程為，令得，即，,,，直線的方程是，直線的方程為，令得，即，由，因為，故解得，即，所以10．（2023屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知，直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若直線的斜率之積為，證明:的面積為定值.【解析】（1）設(shè)，則直線的斜率，直線的斜率，由題意，化簡得；（2）直線的斜率存在時，可設(shè)其方程為，聯(lián)立化簡得，設(shè)，則，，所以化簡得則，又到的距離，所以，為定值.當(dāng)直線的斜率不存在時，可設(shè)，則，且，解得，此時，綜上，的面積為定值.11．（2023屆貴州省遵義市新高考協(xié)作體高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）已知點是橢圓的左焦點，是橢圓上的任意一點，．(1)求的最大值；(2)過點的直線與橢圓相交于兩點，與軸相交于點．若，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）由橢圓方程知：，，，則，，由橢圓定義知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，即與圖中點重合時取等號），又，的最大值為.（2）由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，則，由得：，，；，即，則；同理可得：，，是定值.12．（2023屆江蘇省鹽城市響水中學(xué)高三上學(xué)期測試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）①當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)、、，，則應(yīng)用點差法：，兩式聯(lián)立作差得：，∴，又∵，∴，化簡得（），②當(dāng)直線不存在斜率時，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；（2）①當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立并化簡得：，∴恒成立，∴，，又，，，，∴，，若使為定值，只需，即，其定值為，②當(dāng)直線不存在斜率時，直線的方程為：，則有、，又，，，，∴，當(dāng)時，也為定值，綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個常數(shù)，使為定值.13．（2023屆云南