［摘"要］研究者以教學(xué)“角的再認識”一課為例，通過“教材研讀，明晰概念本質(zhì)；學(xué)情分析，聚焦教學(xué)難點；單元整合，重構(gòu)教學(xué)路徑；課堂實踐，深化概念教學(xué)”等策略開展教學(xué)實踐，以動靜視角整體構(gòu)建角的概念，創(chuàng)設(shè)深度有序的教學(xué)活動。［關(guān)鍵詞］概念教學(xué)；角的概念；動靜視角；單元視域《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)表述為“三會”：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的外顯形式，是事物本質(zhì)的語言表達，是形成新課標中“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）的核心。概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程中的重要手段，是學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維解決問題的重要工具。因此，新課標更關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，強調(diào)關(guān)注概念形成和發(fā)展的過程。然而在概念教學(xué)過程中，部分教師常常忽略概念的形成過程，沒有凸顯概念本質(zhì)，缺乏概念的結(jié)構(gòu)性教學(xué)。比如在教學(xué)“角的認識”時，部分教師常常出現(xiàn)如下問題：只關(guān)注角的結(jié)構(gòu)特征進行淺層教學(xué)，忽視角的概念的作用與價值的深度教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對角的認知片面化；對教材中的兩種靜態(tài)、動態(tài)定義理解不深，導(dǎo)致學(xué)生對角的認識不夠全面，從而在量角、畫角環(huán)節(jié)出現(xiàn)偏差。教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生準確理解“角的概念”？筆者以“角的度量”單元為例開展單元整體教學(xué)研究，以“角的概念”為單元主線，明晰單元知識脈絡(luò)。一、教材研讀，明晰概念本質(zhì)1.教材橫向?qū)Ρ取敖堑亩攘俊睂儆凇翱臻g與圖形”板塊中“測量”的內(nèi)容。人教版教材分四個階段對角的概念進行建構(gòu)：第一階段為“整體認知”階段，二年級上冊學(xué)生對角的認知屬于整體認識，教材沒有對角的概念給出明確定義，讓學(xué)生通過觀察、操作對角進行識別，從生活中的角抽象出數(shù)學(xué)中的角。第二階段為“元素刻畫”階段，四年級上冊是角的概念的正式呈現(xiàn)，靜態(tài)定義出現(xiàn)在“線段、射線、直線”之后。借助靜態(tài)角的定義“由一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角”，就能解釋“為什么角的大小跟兩邊的長度無關(guān)”。可見，角的大小立足于結(jié)合點線元素的靜態(tài)角的概念，符合學(xué)生的認知發(fā)展邏輯。動態(tài)定義出現(xiàn)在“角的分類”一課中，此定義打破了靜態(tài)定義的局限，是立足點線元素高度抽象角的概念。第三階段為“動靜關(guān)聯(lián)”階段，七年級學(xué)生對角的認識進一步拓展到圖形元素的動靜關(guān)聯(lián)。第四階段為“動態(tài)刻畫”階段，到了高中，學(xué)生則通過深入的動態(tài)刻畫達成對角的概念的深化認識。由此可見，學(xué)生對角的認知經(jīng)歷了從感性到理性、從靜態(tài)到動態(tài)的遞進過程。2.教材縱向梳理如圖1所示，以動靜結(jié)合的視角看本單元的序列，可以發(fā)現(xiàn)：第一課時認識線段、直線、射線，指向線的特征與關(guān)聯(lián)；第二課時指向認識單位角與角的靜態(tài)累加；第三課時指向射線旋轉(zhuǎn)中生成不同類型的角；第四課時指向應(yīng)用角的概念來畫角?？梢钥吹剑堑母拍畋椴加谒膫€課例中，人教版對本單元的教學(xué)設(shè)計更偏向靜態(tài)角的教學(xué)，然而這些知識點要以動態(tài)的眼光去審視。比如，角的分類是對動態(tài)識角的再運用，畫角是對運用角的概念的動態(tài)刻畫。因此，教師要基于“角的概念”研究“角的教學(xué)”，用數(shù)學(xué)概念指導(dǎo)后續(xù)的“量角”“畫角”等教學(xué)活動，使教學(xué)活動更有結(jié)構(gòu)性。3.不同教材對比北師大版數(shù)學(xué)教材編排的是在旋轉(zhuǎn)中認識角，且在旋轉(zhuǎn)中形成不同類的角。對比兩版教材的素材形式，人教版教材指向角的靜態(tài)結(jié)構(gòu)——射線組成的結(jié)果；北師大版教材指向角的動態(tài)結(jié)構(gòu)——射線旋轉(zhuǎn)的過程；兩者都跟元素射線有關(guān)。值得教師思考的是：靜態(tài)角或動態(tài)角切入，哪個更能建構(gòu)角的概念，更能確保學(xué)生全面、深入地掌握角的概念？教材雖然呈現(xiàn)了本單元角的概念教學(xué)的必要性，但是存在動態(tài)角的教學(xué)環(huán)節(jié)不夠扎實的問題。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生以動靜結(jié)合的視角對角的概念進行深度認知，為后續(xù)學(xué)習(xí)畫角、量角等知識打下基礎(chǔ)；要引導(dǎo)學(xué)生從小學(xué)階段的靜態(tài)角順利過渡到中學(xué)的動態(tài)角；要從動靜結(jié)合的視角對教材的單元序列進行重構(gòu)。二、學(xué)情分析，聚焦教學(xué)難點在遵循學(xué)科邏輯的基礎(chǔ)上，筆者為了精準把握學(xué)生對角的認知起點，基于角的概念的生長點和抑制點，設(shè)計了兩類問題：對未學(xué)過本單元內(nèi)容的學(xué)生設(shè)置了角的認知前測題，對學(xué)過本單元的四年級學(xué)生設(shè)置了操作類后測題。前測訪談題：如圖2所示，圖中有角嗎？你判斷的依據(jù)是什么？結(jié)果顯示：約11%的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，即能基于射線的旋轉(zhuǎn)動態(tài)建構(gòu)角，能與靜態(tài)角的元素產(chǎn)生關(guān)聯(lián)；約23%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，即能基于射線的旋轉(zhuǎn)動態(tài)建構(gòu)角，但不能與靜態(tài)角的元素產(chǎn)生關(guān)聯(lián)；約54%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，即能基于角的表象整體靜態(tài)識別，能分解角的元素；約12%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，只能基于角的表象整體識別，無法分解角的元素。由此可見，多數(shù)學(xué)生處于認知靜態(tài)角的層面，無法識別由射線通過旋轉(zhuǎn)所形成的動態(tài)角，如平角、周角等。操作應(yīng)用題：如圖3所示，用量角器度量角的大小。結(jié)果顯示：量角錯誤率約29%，錯因在于學(xué)生停留于對角的片面認識，如“射線與0刻度未重合”“角度數(shù)的反向讀取”，這些錯誤都是由于學(xué)生缺乏對角的元素的動態(tài)感知。在教學(xué)過程中，教師要利用靜態(tài)角和動態(tài)角的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生形成角的整體概念，這是為后續(xù)“量角”“畫角”等內(nèi)容提供正遷移的關(guān)鍵要點。從教材解讀和學(xué)情分析中可以得到啟示：教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點和線的元素，以動靜結(jié)合的視角對角的概念進行建構(gòu)。三、單元整合，重構(gòu)教學(xué)路徑1.單元核心概念提煉核心概念指向數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分，能反映學(xué)科對象本質(zhì)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。本單元內(nèi)容筆者以元素的運動為核心概念，以“在元素點、線的運動中認識不同的線，形成不同的角，并會度量和應(yīng)用”為單元目標，以“點動成線、線動成角、旋轉(zhuǎn)測量、動靜關(guān)聯(lián)、拼畫實踐”為整合路徑重新編排教學(xué)內(nèi)容（如圖4所示），并達成如下教學(xué)目標：（1）認識線的特征與關(guān)系；（2）建立角的動、靜概念；（3）掌握用單位角度量；（4）在旋轉(zhuǎn)中畫出不同類的角。教師引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)角的認識、度量，對概念達成深度理解。2.單元核心內(nèi)容重構(gòu)整合后的教學(xué)課時安排保證了教學(xué)的板塊和結(jié)構(gòu)不變，凸顯了動靜視角和整體感知的特點（如圖5所示）。比如，第二課時補充了角的再認識這節(jié)課例，遷移點動成線到線動成角，建立角的動靜概念；第三課時以主題活動“智創(chuàng)量角器”驅(qū)動課堂，讓學(xué)生在創(chuàng)造量角器活動中體驗單位角，學(xué)會度量角；第四課時整合畫角和分類，讓學(xué)生在畫不同的角中，掌握角的分類與畫法。四、課堂實踐，深化概念教學(xué)基于上述分析，筆者圍繞單元重構(gòu)后的關(guān)鍵課例“角的再認識”進行例證。1.喚醒經(jīng)驗（1）回顧經(jīng)驗教師請學(xué)生回憶“角”長什么樣子，并用手比畫出樣態(tài)。教師出示若干個角，提問：什么是角？預(yù)設(shè)：有一個頂點、兩條邊。小結(jié)：由一個頂點、兩條邊組成的圖形是角。（2）概念重構(gòu)請學(xué)生思考：這兩條邊是什么線？預(yù)設(shè)：射線。請學(xué)生說：什么是角？教師出示靜態(tài)角的概念：由一個點引出的兩條射線組成的圖形是角。2.豐富概念（1）任務(wù)啟動教師出示由一個點引出的一條射線，讓學(xué)生思考：如果把這條射線繞著點動起來，這里有角嗎？活動1：動靜關(guān)聯(lián)——在動態(tài)中識角活動要求：如果沒角，請說明你的理由；如果有角，請用你喜歡的方法把看到的角都畫出來。（2）學(xué)情反饋①層次1：辨析有無角預(yù)設(shè)（沒角）：只有一條射線。預(yù)設(shè)（有角）：射線旋轉(zhuǎn)過去會形成角。學(xué)生分成沒角和有角兩大陣營，進行辯論。教師追問：明明只有一條射線，另外一條射線怎么來的？預(yù)設(shè)：射線旋轉(zhuǎn)過去就產(chǎn)生了另一條射線，兩條射線就形成了角。教師再次追問認為沒角的學(xué)生：現(xiàn)在你看到兩條射線了嗎？總結(jié)：一條射線通過旋轉(zhuǎn)到另一個位置，可以得到另一條射線，由此產(chǎn)生了角。②層次2：理解射線在不同位置形成的不同的角如圖6所示，教師展示作品1（多個分開的角），讓學(xué)生思考：他也認為有角，怎么看到了這么多角？小結(jié)：射線通過旋轉(zhuǎn)，能得到不同位置的第二條射線，就有了不一樣的角。如圖7所示，教師展示作品2（刺猬圖），讓學(xué)生思考：你覺得有多少個角？這個角的兩條射線在哪里？小結(jié)：在旋轉(zhuǎn)過程中，起始射線在不同位置，轉(zhuǎn)到另一個位置得到射線，可以旋轉(zhuǎn)出不同大小的角。如圖8所示，教師展示作品3（箭頭圖），讓學(xué)生思考：你能看懂這個角的意思嗎？箭頭是什么意思？小結(jié)：可以用這樣的符號表示這條射線在旋轉(zhuǎn)的過程中產(chǎn)生的所有角。（3）對比概念①層次1：形成動態(tài)概念教師提問：現(xiàn)在你們對角有什么新的認識？預(yù)設(shè)：一條射線旋轉(zhuǎn)的過程也能形成角（請學(xué)生演示一條射線旋轉(zhuǎn)形成角的過程）。小結(jié)動態(tài)角的概念：角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。②層次2：關(guān)注相同本質(zhì)教師提問：我們對角進行了兩次描述，這兩次描述有什么相同的地方？預(yù)設(shè)：第二次描述中射線的一個位置到另一個位置就是第一次描述中的兩條射線。教師板書：溝通靜態(tài)角的概念和動態(tài)角的概念的聯(lián)系——兩條射線的位置。③層次3：尋找不同視角教師提問：兩種描述哪里不同？小結(jié)：以前我們是用靜的眼光看角，現(xiàn)在是從動的視角去看角，今后我們也可以學(xué)會用動的視角看世界。今天我們就從動靜結(jié)合的視角對角進行再認識。3.深化概念（1）任務(wù)啟動教師提問：剛才通過旋轉(zhuǎn)這條射線到另一個位置，出現(xiàn)另一條射線，形成了角。如果繼續(xù)繞這個點旋轉(zhuǎn)，還會出現(xiàn)怎樣的角？你能轉(zhuǎn)出一個與眾不同的角嗎？活動二：動中取靜——在特殊中辨角活動要求：畫一個與眾不同的角，說一說它哪里與眾不同。（2）學(xué)情反饋①層次1：銳角、直角、鈍角概念判斷：如圖9所示，它們是角嗎？怎么得到的？預(yù)設(shè)（靜態(tài)角視角）：都有一個頂點和兩條射線。教師追問：從靜態(tài)的視角看是有兩條射線，從動態(tài)的視角看是怎么得到的？預(yù)設(shè)：一條射線從起始位置轉(zhuǎn)到這里為止（手勢）。預(yù)設(shè)（動態(tài)角視角）：這條射線從一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置，得到了兩條射線。教師追問：（個性判斷）它們不同在哪里？預(yù)設(shè)：旋轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)過的程度不一樣。轉(zhuǎn)過程度比較小的是銳角，第二個是直角，比直角大的是鈍角。②層次2：平角概念判斷：如圖10所示，它是角嗎？學(xué)生分成兩個陣營進行辨析。預(yù)設(shè)（不是角）：不是，只有一條線。預(yù)設(shè)（是角）：是，一條射線轉(zhuǎn)到對面。教師提問：它的第二條射線是怎么得到的？生：通過旋轉(zhuǎn)射線到相對位置，形成平平的樣子。對比作品：如圖11所示，這兩種畫法你更喜歡哪一種？預(yù)設(shè)：第二種，能讓人一眼看清楚這條射線是怎么旋轉(zhuǎn)后得到第二條射線的。教師提問：（個性判斷）這個角與眾不同在哪里？預(yù)設(shè)：這條射線轉(zhuǎn)到和它相反的位置，形成了這個角。小結(jié)：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)到與它相反位置形成的角是平角。③層次3：周角概念判斷：如圖12所示，它是角嗎？預(yù)設(shè)（不是角）：不是，只有一條射線。預(yù)設(shè)（是角）：是角，這條射線轉(zhuǎn)一圈得到另一條射線，兩條射線重合了。教師提問：如何讓人看出射線旋轉(zhuǎn)一周的過程？預(yù)設(shè)：如圖13所示，加箭頭表示旋轉(zhuǎn)了一周。教師提問：（個性判斷）它的與眾不同在哪里？預(yù)設(shè)：它是兩條重合的射線形成的角。小結(jié)：只要是一條射線由一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置，得到了另一條射線，形成的圖形就是角。我們把射線旋轉(zhuǎn)一周形成的角叫作周角。教師提問：射線旋轉(zhuǎn)一周后還能繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去形成角嗎？以后我們還會學(xué)習(xí)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去形成的更多與眾不同的角。4.量感延伸一起回顧：這條射線通過旋轉(zhuǎn)到不同位置，可以轉(zhuǎn)出不同大小的角。（如圖14所示，動態(tài)展示）教師提問：想象一下，還可以轉(zhuǎn)到哪些位置？能轉(zhuǎn)出什么樣的角呢？（如圖15所示，依次出現(xiàn)“位置點”）活動三：以靜“智”動——在旋轉(zhuǎn)中定角（1）感受旋轉(zhuǎn)量如圖16所示，剛剛我們轉(zhuǎn)出了這樣一個銳角，我們給它取一個名字，叫作∠1?；顒右螅耗隳苷业綆讉€和∠1大小一樣的角呢？請你畫一畫。學(xué)情反饋，如圖17所示。學(xué)生點評作品①：∠1轉(zhuǎn)過的是3個點，這里畫的一些角只轉(zhuǎn)過了2個點。學(xué)生點評作品②：找的都正確，都是旋轉(zhuǎn)了3個點。小結(jié)：你們所說的轉(zhuǎn)過3個點就是轉(zhuǎn)過了3格。教師提問：如圖18所示，如果旋轉(zhuǎn)射線的一個位置在這里，另外一個位置在哪里？（學(xué)生指出）教師追問：第二個位置不一樣，為什么角的大小一樣？預(yù)設(shè)：旋轉(zhuǎn)的量一樣，都是3格。（2）滲透單位角教師提問：如果∠1的大小用“3”表示，那大小是“1”的角長什么樣的？預(yù)設(shè)：射線轉(zhuǎn)過一格。教師提問：如果∠1用“6”“12”“30”等表示，那么大小是“1”的角長什么樣？下節(jié)課我們繼續(xù)研究。小結(jié)：今天我們對角進行了再認識，你們有什么收獲？五、小結(jié)反思筆者通過對教材的橫向、縱向梳理來明晰教材，通過學(xué)情的前、后測來聚焦學(xué)習(xí)重難點，并設(shè)計了關(guān)鍵問題和學(xué)習(xí)活動深度進行角的概念教學(xué)，有效提升學(xué)生的量感、推理意識等核心素養(yǎng)。1.從元素到整體：以解構(gòu)的眼光看數(shù)學(xué)不管是從“一個頂點兩條邊組成的圖形”，還是“由一條射線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的結(jié)果”，角的整體認知都需要聚焦點線元素。本節(jié)課教師采用了從元素（射線）到整體（角）的視角進行教學(xué)，即通過分解基本元素來理解復(fù)雜數(shù)學(xué)概念的方法。這種以解構(gòu)的眼光看待數(shù)