PAGEPAGE102函數(shù)的圖象與函數(shù)的應用1.函數(shù)y=13|log解析?當x≥1時,y=13|log3x|=13log3∴y=13|log答案?A2.函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點所在的區(qū)間為()A.0,12C.(1,2) D.(2,3)解析?函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).∵f12=log212-112=-1-2f(1)=log21-11=0-1<f(2)=log22-12=1-12=1f(3)=log23-13>1-13=2∴f(1)·f(2)<0,∴函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點在區(qū)間(1,2)內,故選C答案?C3.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x,x≤2,A.[-1,0) B.(1,2]C.(1,+∞) D.(2,+∞)解析?當x≤2時,由-x2+4x=0,得x=0;當x>2時,令f(x)=log2x-a=0,得x=2a.又函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,∴2a>2,解得a>1,故選C.答案?C4.某企業(yè)為節(jié)能減排,用9萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn),第一年需運營費用2萬元,從其次年起,每年運營費用均比上一年增加3萬元,該設備每年生產(chǎn)的收入均為21萬元,設該設備運用了n(n∈N*)年后,盈利總額達到最大值(盈利額等于收入減去成本),則n等于().A.6 B.7C.8 D.7或8解析?盈利總額為21n-9-2n+12×n(n-由于對稱軸為直線n=416,所以當n=7時,盈利總額取最大值,故選B答案?B實力1?會識別函數(shù)的圖象【例1】函數(shù)y=sinx+ln|x|在區(qū)間[-3,3]上的圖象大致為().解析?設f(x)=sinx+ln|x|,當x>0時,f(x)=sinx+lnx,則f'(x)=cosx+1x當x∈(0,1)時,f'(x)>0,即函數(shù)f(x)在(0,1)上為單調遞增函數(shù),解除B;當x=1時,f(1)=sin1>0,解除D;因為f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sinx+ln|x|,所以f(-x)≠±f(x),所以函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),解除C.故選A.答案?A【例2】函數(shù)y=sinx(1+cos2x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象大致為().解析?函數(shù)y=sinx(1+cos2x)的定義域為[-2,2],其關于原點對稱,且f(-x)=sin(-x)(1+cos2x)=-sinx(1+cos2x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,解除D;當0<x<1時,y=sinx(1+cos2x)=2sinxcos2x>0,解除C;又2sinxcos2x=0,可得x=π2或x=-π2或x=0,解除答案?B函數(shù)圖象的辨識主要從以下幾個方面入手:(1)函數(shù)圖象的對稱性;(2)函數(shù)圖象的單調性;(3)特別點.1.函數(shù)f(x)=2x-1,解析?當x≥0時,f(x)=2x-1,依據(jù)指數(shù)函數(shù)g(x)=2x的圖象向下平移一個單位,即可得到函數(shù)f(x)的圖象.當x<0時,f(x)=-x2-2x,依據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質,可得到相應的圖象.綜上,函數(shù)f(x)的圖象為選項D中的圖象.答案?D2.函數(shù)f(x)=1-x2e解析?因為f(-x)=1-x2e-x與f(x)=1-x2ex不相等,所以函數(shù)f(x)=1-x2ex不是偶函數(shù),其圖象不關于y軸對稱,所以可解除答案?D實力2?會利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的零點問題【例3】已知函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函數(shù),當x∈[-1,0]時,f(x)=x2,若在區(qū)間[-1,3]內,函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+2)有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍是().A.(1,5) B.(1,5]C.(5,+∞) D.[5,+∞)解析?由題意可知函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù),結合當x∈[-1,0]時,f(x)=x2,繪制函數(shù)圖象如圖所示,函數(shù)g(x)有4個零點,則函數(shù)f(x)與函數(shù)y=loga(x+2)的圖象在區(qū)間[-1,3]內有4個交點,結合函數(shù)圖象可得,loga(3+2)≤1,解得a≥5,即實數(shù)a的取值范圍是[5,+∞).答案?D【例4】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x≥0時,f(x)=1-2x,x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1,A.2a-1 B.1-2-aC.-log2(1+a) D.log2(1-a)解析?當x≥0時,f(x)=1又f(x)是奇函數(shù),畫出函數(shù)f(x)的圖象,由函數(shù)f(x)圖象和F(x)=0?f(x)=a(0<a<1),可知F(x)有五個零點,其中有兩個零點關于直線x=-3對稱,還有兩個零點關于直線x=3對稱,所以這四個零點的和為零,第五個零點是直線x=a與函數(shù)y=12x-1,x∈(-1,0]交點的橫坐標,即方程a=12x-1的解,解得x=-log2答案?C函數(shù)零點的求解與推斷方法:(1)干脆求零點:令f(x)=0,假如能求出解,那么有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線,且f(a)·f(b)<0,還必需結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用圖象交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫出這兩個函數(shù)的圖象,看其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點.1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=-2x+1,設函數(shù)g(x)=12|x-1|(-1<x<3),則函數(shù)f(x)與g(xA.2 B.4 C.6 D.8解析?因為f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期為2.函數(shù)g(x)=12|x-1|關于直線x=1對稱,作圖可得四個交點的橫坐標關于直線x=答案?B2.函數(shù)f(x)=ln(-x-1),x<-1,2x+1,x≥-1A.[0,+∞) B.[0,1]C.(-1,0] D.[-1,+∞)解析?設t=f(x),則a=f(t),在同一坐標系內作y=a與y=f(t)的圖象(如圖),當a≥-1時,兩個圖象有兩個交點,設交點的橫坐標分別為t1,t2,且t1<-1,t2≥-1.當t1<-1時,t1=f(x)有一個解;當t2≥-1時,t2=f(x)有兩個解.綜上可知,當a≥-1時,g(x)=f(f(x))-a有三個不同的零點.故選D.答案?D實力3?會解答函數(shù)的實際應用問題【例5】某高校為提升科研實力,安排逐年加大科研經(jīng)費投入.若該高校2024年全年投入科研經(jīng)費1300萬元,在此基礎上,每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費起先超過2000萬元的年份是().(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2024年 B.2024年C.2024年 D.2024年解析?若2024年是第1年,則第n年科研經(jīng)費為1300×1.12n.由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2024年科研經(jīng)費超過2000萬元,故選B.答案?B與實際應用相結合的問題題型是高考命題的一個方向,解決此類問題的一般程序:讀題文字語言?建模數(shù)學語言?求解數(shù)學應用在標準狀況下,人體血液中氫離子的物質的量濃度(單位:mol/L,記作c(H+))和氫氧根離子的物質的量濃度(單位:mol/L,記作c(OH-))的乘積等于常數(shù)10-14.已知pH的定義為pH=-lgc(H+),健康人體血液的pH保持在7.35~7.45之間,那么健康人體血液中的c(H+)c(OH-A.12 B.13 C.16解析?∵cH(+)·cOH(-)=10-14,∴c(H+)c(OH-∵7.35<-lgc(H+)<7.45,∴10-7.45<c(H+)<10-7.35,∴10-0.9<c(H+)c(OH-)=1014·c2(H+)<10-0.7,10-0.∵0.7>lg3>lg2,∴100.7>3>2,10-0.7<13<12,∴解除A、B項.答案?C一、選擇題1.已知方程x2-3x+1=0的兩個根為x1,x2,則2x1·2x2=A.3 B.6 C.8 D.2解析?由題意得x1+x2=3,∴2x1·2x2=2x1答案?C2.函數(shù)f(x)=2x+2x的零點所在的區(qū)間是().A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]解析?因為f(x)是增函數(shù)且f(-2)=2-2+2×(-2)<0,f(-1)=2-1+2×(-1)<0,f(0)=20+0>0,所以由零點存在性定理知,函數(shù)f(x)的零點在[-1,0]內,故選B.答案?B3.函數(shù)f(x)=ln(|x|-1)+x的大致圖象為().解析?由題意知,|x|-1>0,則x>1或x<-1.當x>1時,f(x)=ln(x-1)+x為單調遞增函數(shù),解除B,C;當x=-2時,f(-2)=ln(|-2|-1)-2=-2<0,解除D.故選A.答案?A4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調遞增.若實數(shù)a滿意f(32a-1)≥f(-3),則a的最大值是().A.1 B.12 C.14 D解析?由題意可知,-3≤32a-1≤3,解得a≤34.故選D答案?D5.已知f(x)=e|x-1|,設a=f35,b=f54,c=f(2),則a,b,c的大小關系是(A.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.c>b>a解析?f(x)e=|x-1|的圖象關于直線x=1對稱,且f(x)在(1,+∞)上單調遞增,又1<54<75∴f54<f75又f75=f3∴f54<f35<f答案?B6.設函數(shù)f(x)=(x-a)2-1,x≤1,lnxA.[1,2] B.[0,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)解析?∵f(x)=(x-a)2-1,x≤1,lnx,x由二次函數(shù)性質可得a≥1,由分段函數(shù)性質得(1-a)2-1≤ln1,解得0≤a≤2.綜上,a的取值范圍為[1,2],故選A.答案?A7.已知函數(shù)f(x)=-xx+1,x∈(-1,0),x,A.0,12C.0,13解析?在同一坐標系內畫出y=f(x),y=mx+m在(-1,1]上的圖象,動直線y=mx+m過定點(-1,0),視察圖象可知,當0<m≤12時,兩圖象有兩個不同的交點,從而方程f(x)-mx-m=0有兩個不同的實根,故選D答案?D8.已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,規(guī)定:當|f(x)|≥g(x)時,h(x)=|f(x)|;當|f(x)|<g(x)時,h(x)=-g(x).則h(x)().A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,無最小值C.有最小值-1,無最大值D.有最大值-1,無最小值解析?畫出y=|f(x)|=|2x-1|與y=g(x)=1-x2的圖象,它們交于A,B兩點.視察圖象,在點A左側,點B右側(含A,B兩點),|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之間,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).綜上可知,y=h(x)的圖象是圖中的實線部分,因此h(x)有最小值-1,無最大值,故選C.答案?C9.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲存溫度x(單位:℃)滿意函數(shù)關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)),若該食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33℃的保鮮時間是()小時.A.22 B.23 C.33 D.24解析?由題意可得,當x=0時,y=192,當x=22時,y=48.將其代入y=ekx+b可得eb=192,e22k+b=48,即有e11k=12,eb=則當x=33時,y=e33k+b=18×192=24.故選D答案?D二、填空題10.若函數(shù)f(x)=(m+2)xa是冪函數(shù),且其圖象過點(2,4),則函數(shù)g(x)=loga(x+m)的單調遞增區(qū)間為.

解析?由題設知m=-1,所以f(x)=xa,又2a=4,所以a=2,故g(x)=log2(x-1),其單調遞增區(qū)間為(1,+∞).答案?(1,+∞)11.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,tmin