8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計題型一最小二乘法1．對成對數(shù)據(jù)、、…、用最小二乘法求回歸方程是為了使()A. B.C.最小 D.最小答案：D解析：根據(jù)最小二乘法的求解可知：回歸方程是為了使得每個數(shù)據(jù)與估計值之間的差的平方和最小，故選：D2．為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗,得到5組數(shù)據(jù).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知,由最小二乘法求得回歸直線方程為,則的值為()

A.75 B.155.4 C.375 D.466.2答案：C解析：由題意可得:,線性回歸方程過樣本中心點,則:,據(jù)此可知:.選擇C選項.3．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)時，y的估計值為()x24568y2040607080A.211.5 B.210.5 C.210 D.212.5答案：A.解析：由表中數(shù)據(jù)可得，，，最小二乘法得到回歸直線方程，，當(dāng)時，故選：A.4．（多選題）某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，則下列說法錯誤的是()x23456y1925★3844A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為34B.回歸直線必經(jīng)過點（4，★）C.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸D.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為7噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約為50.9噸答案：BC解析：設(shè)看不清的數(shù)字為a，由題表可知，，，將代入回歸直線方程中，得，解得，所以.所以看不清的數(shù)據(jù)★的值為34，A正確；又回歸直線過樣本點的中心，B錯誤；回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗預(yù)計增加6.3噸，C錯誤；當(dāng)時，，所以據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為7噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約為50.9噸，D正確.故選BC.5．植物社團的同學(xué)觀察一株植物的生長情況,為了解植物高度y（單位:厘米）與生長期x（單位:天）之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的植物高度,并制作了如下對照表:生長期x391117植物高度y2.43.43.85.2由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中,試預(yù)測生長期是30天時,植物高度約為________厘米.答案：7.7解析：由題意可得,,所以所以回歸方程為,所以預(yù)測生長期是30天時,植物高度約為厘米.故答案為:7.7.題型二殘差分析人工智能技術(shù)（簡稱AI技術(shù)）已成為引領(lǐng)世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)改革的戰(zhàn)略性技術(shù),AI技術(shù)加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為M市統(tǒng)計的2024年11月至2025年3月這5個月該市AI電腦的月銷量,其中x為月份代號,y（單位:萬臺）為AI電腦的月銷量.月份2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月月份代號x12345月銷量y0.50.911.21.4經(jīng)過分析,y與x線性相關(guān),且其線性回歸方程為,則2025年3月的殘差為()A. B. C.0.02 D.0.04答案：B解析：因為,,所以,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為,2025年3月對應(yīng)的,故此時殘差為.故選:B.2．兩個變量x和y之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系,且y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為,由它計算出成對樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差為0.12（殘差=觀測值預(yù)測值）,則()A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48答案：B解析：因為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為,所以預(yù)測值為,又因為殘差=觀測值預(yù)測值,所以,所以.故選：B.3．（多選題）已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，去除這兩點后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，則()A.變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系B.去除后的回歸方程為C.重新求得的回歸直線必過點D.去除后相應(yīng)于樣本點的殘差為0.05答案：ACD解析：對A，因為重新求得的回歸方程l的斜率為1.2，故變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系，故選項A正確；對C，將代入回歸直線方程為，解得，則樣本中心為，去掉兩個數(shù)據(jù)點和后，由于，，所以去掉后的，沒有變化，故樣本中心還是，故去除這兩個數(shù)據(jù)點后的回歸直線過點，故選項C正確；對B，又因為去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故選項B不正確；對D，因為，所以，故選項D正確.故選：.4．（多選題）2025年6月18日，很多商場都在搞促銷活動.某市物價局派人對5個商場某商品同一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，得到該商品的售價x（元）和銷售量y（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線是，相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的有()A.變量x與y負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強 B.C.當(dāng)時， D.相應(yīng)于點的殘差為0.4答案：ABD解析：對于A，由回歸直線可得變量x與y線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)可知相關(guān)性較強，故A正確；對于B，由題可得，，，因為回歸直線恒過點，所以，解得，故B正確；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，相應(yīng)于點的殘差，故D正確.故選ABD.5．回歸方程,而試驗中的一組數(shù)據(jù)是,,,則其殘差平方和是______.答案：或0.38解析：殘差,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,殘差平方和為.故答案為:0.38題型三非線性回歸模型1．根據(jù)散點圖可知,變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系。為了進行線性回歸分析,設(shè),利用最小二乘法,得到線性回歸方程,則（）A.變量的估計值的最大值為 B.變量的估計值的最小值為C.變量的估計值的最大值為 D.變量的估計值的最小值為答案：A解析：依題意，，則，則，故當(dāng)時，變量的估計值的最大值為。2．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性回歸方程，則估計c，k的值分別()A.，0.6 B.，0.3 C.，0.2 D.，0.6答案：C解析：由兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得.因為，所以，又，所以，，所以.3．為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：）與水生植物的株數(shù)y（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合x與y的關(guān)系，設(shè)，x與z的數(shù)據(jù)如表格所示：得到x與z的線性回歸方程，則()x3467z22.54.57A.2 B.1 C. D.答案：C解析：由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故選：C.4．已知變量y關(guān)于x的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與x線性相關(guān).現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：x12345ye則當(dāng)時，預(yù)測y的值為()A.8 B.9 C. D.答案：B.解析：令，由可得，如下表所示：x12345yeu13467由表格中數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時，.故選：B.5．習(xí)近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點圖如下(1)請根據(jù)散點圖判斷，與中哪一個更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測第144天這株幼苗的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).附：，參考數(shù)據(jù)：1402856283答案：(1)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？(2)；預(yù)測第144天幼苗的高度大約為24.9cm？解析：(1)根據(jù)散點圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時間x的回歸方程類型；(2)令，則構(gòu)造新的成對數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計算，，.通過上表計算可得：因此，回歸直線過點，，故y關(guān)于的回歸直線方程為，從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為，令，則，所以預(yù)測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.題型四最小二乘估計的實際應(yīng)用1．根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合）;(2)求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：,.答案：(1)答案見解析;(2),9.9百千克.解析：(1)因為,,,,,因此相關(guān)系數(shù),所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)由(1)知,,,因此,當(dāng)時,,所以預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為9.9百千克.2．平頂山市公安局交警支隊依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第條規(guī)定:所有主干道路凡機動車途經(jīng)十字口或斑馬線,無論轉(zhuǎn)彎或者直行,遇有行人過馬路,必須禮讓行人,違反者將被處以100元罰款,記3分的行政處罰.如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi),機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程?（2）預(yù)測該路段7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)?參考公式:,.答案：（1）;（2）66人.解析：（1）由表中數(shù)據(jù),計算;,,,所以y與x之間的回歸直線方程為;（2）時,,預(yù)測該路段7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為66人.3．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.平均氣溫34567銷售額/萬元2023273050(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法求出回歸方程；(2)預(yù)測平均氣溫為時,該商品的銷售額為多少萬元？答案：(1)(2)56.8萬元解析：(1)由表中數(shù)據(jù)可知,,,,故,,故(2)當(dāng)時,萬元.故預(yù)測平均氣溫為時,該商品的銷售額為56.8萬元.4．假設(shè)某農(nóng)作物基本苗數(shù)x與有效穗數(shù)y之間存在相關(guān)關(guān)系，令測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，畫出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，并預(yù)報當(dāng)基本苗數(shù)為56.7時的有效穗數(shù)；(3)計算各組殘差；(4)求，并說明隨機誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？解析：(1)散點圖如圖所示.(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.設(shè)線性回歸方程為，由表中數(shù)據(jù)可得，故y與x之間的回歸方程為.當(dāng)時，.所以由回歸方程可預(yù)報當(dāng)基本苗數(shù)為56.7時，有效穗數(shù)為51.143.(3)各組數(shù)據(jù)的殘差分別為.(4)，即解釋變量(農(nóng)作物基本苗數(shù))對有效穗數(shù)的影響約占了，所以隨機誤差對有效穗數(shù)的影響約占.5．某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進行作物栽培試驗,由于土壤相對貧瘠,前期作物生長較為緩慢,為了增加作物的生長速度,達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn),小明對自己培育的一株作物使用了營養(yǎng)液,現(xiàn)統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)觀察散點圖可知,天數(shù)x與作物高度y之間具有較強的線性相關(guān)性,用最小二乘法求出作物高度y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程（其中,用分?jǐn)?shù)表示）;(2)小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為,請根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測第22天該作物的高度的殘差？參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.答案：(1);(2).解析：（1）依題意,,,故,,故所求回歸直線方程為.（2）由（1）可知,當(dāng)時,,故所求殘差為.1．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得回歸直線方程為，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)和，求得的直線方程為，則以下結(jié)論正確的是()A.， B.， C.， D.，答案：D解析：由題得，，根據(jù)公式求得，.又根據(jù)題意可求得，，所以，，故選D.2．變量x,y之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,其經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點,且相對于點的殘差為0.2,則()x99.51010.511y1110m65A. B. C. D.殘差和為0答案：AD解析：因為經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點,所以,,因為相對于點的殘差為0.2,所以,所以,,,A正確,B錯誤,C錯誤,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以殘差和為,D正確.故選：AD.3．（多選題）某農(nóng)科所針對耕種深度x（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關(guān)系進行研究，所得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：耕種深度x/cm81012141618每公頃產(chǎn)量y/t68mn1112已知，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程：，，，數(shù)據(jù)在樣本，的殘差分別為，.（參考數(shù)據(jù)：兩個變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)r為，參考公式：，，）則()A. B. C. D.答案：ABD解析：對于選項A，因為，，所以，得到，所以，得到，所以選項A正確，對于選項B，因為，又,，所以，所以，故選項B正確，對于選項C，因為，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，得到，，所以，所以選項D正確，故選：ABD.4．（多選題）為研究光照時長x（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系,某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù),繪制散點圖如圖所示,并進行線性回歸分析,若去掉點P后,下列說法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)變小 B.經(jīng)驗回歸方程斜率變小C.殘差平方和變小 D.決定系數(shù)變小答案：BC解析：由圖可知：P較其他的點偏離直線最大,所以去掉點P后,回歸效果更好.對于A,相關(guān)系數(shù)越接近于1,線性相關(guān)性越強,因為散點圖是遞增的趨勢,所以去掉點P后,相關(guān)系數(shù)r變大,故A錯誤;對于B,去掉點P后,經(jīng)驗回歸方程斜率變小,故B正確;對于C,殘差平方和變大,擬合效果越差,所以去掉點P后,殘差平方和變小,故C正確;對于D,決定系數(shù)越接近于1,擬合效果越好,所以去掉點P后,決定系數(shù)變大,故D錯誤;故選：BC.5．隨著科技的進步,近年來,我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,2006年,在國家節(jié)能減排的宏觀政策指導(dǎo)下,科技部在“十一五”啟動了“863”計劃新能源汽車重大項目.自2011年起,國家相關(guān)部門重點扶持新能源汽車的發(fā)展,也逐步得到消費者的認(rèn)可.各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力,在廣告投放方面的花費也是逐年攀升.小張同學(xué)對某品牌新能源汽車近8年出售的數(shù)量及廣告費投入情況進行了統(tǒng)計,具體數(shù)據(jù)見下表：年份代碼12345678年銷售量/十萬輛3456791012廣告費投入/億元3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求廣告費投入y（億元）與年銷售量x（十萬輛）之間的線性回歸方程（精確到0.01）;(2)若某人隨機在甲、乙兩家汽車店購買一輛汽車,如果在甲汽車店購買,那么購買新能源汽車的概率為0.6;如果在乙汽車店購買,那么購買新能源汽車的概率為0.8,求這個人購買的是新能源汽車的概率？參考數(shù)據(jù)：,.附：回歸直線中,,.答案：(1)(2)解析：(1),,由參考數(shù)據(jù)，所以故廣告費投入y關(guān)于年銷售量x的回歸方程為.(2)設(shè)“在甲汽車店購買汽車”,“在乙汽車店購買汽車”,“購買的是新能源汽車”,,,,由全概率公式得,.6．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）和年利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？（保留兩位小數(shù)）參考公式：，.答案：(1)；(2)2.72噸解析：（1）由題知，，，，所以，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；（2）年利潤，因為，所以當(dāng)時，年利潤z最大，故預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為2.72噸時，年利潤取到最大值.7．隨著生活水平的提高,人們對水果的需求量越來越大,為了滿足消費者的需求,精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩,皮薄汁多,口感甜軟,低酸爽口深受市民的喜愛.某“鬧鬧”水果店對某品種的“湖南沃柑”進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如下表所示:試銷單價x(元)34567產(chǎn)品銷量y件201615126（1）經(jīng)計算相關(guān)系數(shù),變量x,y線性相關(guān)程度很高,求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;（2）用（1）中