Page21湖北省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)除法運算求得，即可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題意可得：，所以的虛部為.故選：B.2.一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是（）A.14 B.15 C.23 D.25【答案】D【解析】【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的概念求值即可.【詳解】把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因為，上四分位數(shù)是.故選：D3.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示．用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中弧與弦圍成的弓形的面積為（）A. B.8C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)弓形面積等于扇形的面積減去三角形的面積，結(jié)合扇形的面積公式即可得解.【詳解】由題意，在中，，即，解得，故，易知，因此.故選：C.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式求，結(jié)合兩角和差公式運算求解.【詳解】因為，則，且，可得，則，，所以，故選：A.5.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運算求模長.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.6.如圖，一個正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點數(shù)不大于4”，記事件“得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.C. D.兩兩相互獨立【答案】C【解析】【分析】對于A：根據(jù)互斥事件的概念分析判斷；對于BC：先求，，結(jié)合古典概型分析判斷；對于D：根據(jù)獨立事件改了乘法公式可知事件A與不相互獨立.【詳解】由題意得，事件A的樣本點為，事件的樣本點為，事件的樣本點為，對于選項：事件與共有樣本點2，3，所以不互斥，故A錯誤；對于選項B：事件樣本點，所以，故B錯誤；對于選項D：因為，，且事件樣本點，則，可得，所以事件A與不相互獨立，故D錯誤；對于選項C：因為事件樣本點，可得，所以，故C正確.故選：C.7.若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺的內(nèi)切球的性質(zhì)以及線面夾角可得，且，以及內(nèi)切球的半徑，再結(jié)合圓臺和球的面積公式運算求解.【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點，可知，，由題意可知：母線與底面所成角為，則，可得，即，，可得，可知內(nèi)切球的半徑，可得，，所以.故選：C.8.在中，，，是的外心，則的最大值為（）A.2 B.C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量運算可得，利用正弦定理求邊c的最大值即可.【詳解】設(shè)角所對的邊分別為，，，因為是的外心，記中點為，則有，即，可得，在中，由正弦定理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.“”是“直線與直互相垂直”的充要條件B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.直線的傾斜角的取值范圍是D.若點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線垂直結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對于B：由題意可得，進(jìn)而可得傾斜角的范圍；對于C：根據(jù)直線平行結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對于D：根據(jù)圖形結(jié)合斜率公式分析求解.【詳解】對于選項A：當(dāng)時，直線與直線斜率分別為1，，斜率之積為，故兩直線相互垂直，即充分性成立；若“直線與直線互相垂直”，則，故或，所以得不到，即必要性不成立，故A錯誤；對于選項B：由直線平行得，解得，所以“”是“直線與直線互相平行”的充要條件，故B正確；對于選項C：直線的傾斜角為，則，因為，所以，故C正確；對于選項D：如圖所示：可得，，結(jié)合圖象知，故D正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)的一條對稱軸為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、值域、對稱性等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當(dāng)時，，，此時，而在上不單調(diào)，故A錯誤；B選項，函數(shù)，而，所以的最小正周期為，故B正確；C選項，當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，，所以，綜上，函數(shù)的值域為，故C正確；D選項，因為，，，所以不是的一條對稱軸.故選：BC11.在棱長為的正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的外接球的表面積為B.過點，，作正方體的截面，則截面面積為C.若為線段上一動點(包括端點)，則直線與平面所成角的正弦值的范圍為D.若為線段上一動點(包括端點)，過點，，的平面分別交，于，，則的范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對于A：由條件確定三棱錐的外接球的球心位置，求出球的半徑，由此可得結(jié)論；對于B：分析可知截面為，其截面正六邊形，即可得面積；對于C：根據(jù)體積關(guān)系求得點到平面的距離，可得，進(jìn)而分析范圍；對于D：根據(jù)平面性質(zhì)作截面，設(shè)，結(jié)合平面幾何性質(zhì)分析求解即可.【詳解】對于選項A：由題意可得：，且平面，則，即，可知三角形外接圓的半徑為，所以三棱錐的外接球的球心為的中點，可得三棱錐的外接球的半徑為，所以其表面積為，故A錯誤；對于選項B：取的中點分別為，可知過點，，作正方體的截面為，其截面正六邊形，邊長為所以其面積為，故B正確；對于選項C：設(shè)點到平面的距離為，由正方體的性質(zhì)可得：，不在平面內(nèi)，平面，則平面，當(dāng)點在線段上運動時，則點到平面的距離即為點到平面的距離，由的體積可得，解得，設(shè)直線與平面所成角，則，若為的中點時，，；當(dāng)點為線段的端點時，；即，所以，故C正確；對于選項D：設(shè)，可知平面即為平面，則，可得，設(shè)，當(dāng)時，由相似三角形知識可得：，，即，，且當(dāng)或時，也符合，；則，且，可得，所以的取值范圍是，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：1、對于三棱錐體積的求解可采用等體積法求解，通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決錐體的體積，特別時三棱錐的體積.2、對于線面角的計算問題可以通過根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值；3、對于球的組合體問題：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，兩點到直線的距離相等，則__________．【答案】1或2【解析】【分析】根據(jù)題意利用點到直線的距離公式列式求解即可.【詳解】由題意可得：，即，可得或，解得或.故答案為：1或2.13.在空間直角坐標(biāo)系中已知，，，為三角形邊上的高，則__________．【答案】3【解析】【分析】應(yīng)用空間向量法求點到直線距離.【詳解】，，則，，所以，故答案為：314.對任意兩個非零的平面向量和，定義：，，若平面向量，滿足，且和都在集合中，則__________，__________．【答案】①.##0.25②.或【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，分析可得，進(jìn)而可得，且，分析可得，即可得或1，結(jié)合向量夾角公式運算求解.【詳解】設(shè)與夾角為，因為和都在集合中，所以其取值可能為，因為，則，可得，因為，即，可得，所以；又因為，即，解得，因為，可得，即或1，當(dāng)且時，即且，可得，所以；當(dāng)且時，即且，可得，所以；綜上所述：或.故答案：；或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）若是邊上的一點，且滿足，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式可得，利用面積關(guān)系可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運算求解.【小問1詳解】因為，即，由正弦定理可得，且，即，可得，且，則，可得，又因為，所以.【小問2詳解】因為，即，可得，即，可知平分，則，因為，即，整理可得，又因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，可得，所以的最大值為.16.已知的頂點，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為．（1）求直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，求直線方程.（2）先確定、點的坐標(biāo)，可求線段的長度，利用點到直線的距離求點到直線的距離，即三角形的高，就可以求出三角形的面積.【小問1詳解】由于邊上的高所在直線方程為，所以設(shè)直線的方程為，由于點在直線上，即，解得，所以直線的方程為.【小問2詳解】由于點既滿足直線的方程，又滿足的方程，所以，解得，故，所以，設(shè)，由于點滿足直線，故，設(shè)的中點坐標(biāo)為，滿足，所以，整理得，所以，解得，所以，則點到直線的距離，故.17.某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識競賽”，高二年級學(xué)生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計.將成績進(jìn)行整理后，分為五組（，，，，），其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）若根據(jù)這次成績，年級準(zhǔn)備淘汰60%的同學(xué)，僅留40%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競賽，請問晉級分?jǐn)?shù)線劃為多少合理？（2）從樣本數(shù)據(jù)在，兩個小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)，再從這6名同學(xué)中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率．（3）某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的96和84兩個分?jǐn)?shù)，求剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．【答案】（1）73分合理（2）（3）22.25【解析】【分析】（1）由題意知可得，計算可求得；根據(jù)小長方形的面積和為1求得，利用頻率分布直方圖計算第60百分位數(shù)即可；（2）利用分層抽樣可得兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為，，，和，，列出所有基本事件，根據(jù)古典概型計算即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式求解即可.【小問1詳解】由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，，解得，又，解得，所以，，成績落在內(nèi)的頻率為：，落在內(nèi)的頻率為：，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，所以晉級分?jǐn)?shù)線劃為73分合理；【小問2詳解】由圖可知，按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為，，，和，，則所有的抽樣有：，共15個樣本點，“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，則共8個樣本點，所以.【小問3詳解】因為，所以，所以，所以，剔除其中的96和84兩個分?jǐn)?shù)，設(shè)剩余8個數(shù)為，，，…，，平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)：，方差：18.在中，，，，，分別是，上的點，滿足，且經(jīng)過的重心．將沿折起到的位置，使，存在動點使如圖所示．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時，求二面角正弦值；（3）設(shè)直線與平面所成線面角為，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證平面，可得，進(jìn)而可得平面；（2）建系標(biāo)點，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角；（3）根據(jù)題意可得和平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】因為，則，且，可得，將沿折起到的位置，始終有，，因為，，平面，所以平面，由平面，可得，且，，，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，翻折前，因為經(jīng)過的重心，且，所以，所以，，，翻折后，由勾股定理得，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x1,令，則，可得，設(shè)平面的法向量n=x2,令，則，可得，可得，且，則，所以二面角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）可知，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，且，因為直線與平面線面角為，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為.19.對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱，是該向量組的“向量”．（1）設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，向量組，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在說明理由；（3）已知，，均是向量組，，的“向量”，其中，，求證：可以寫成一個關(guān)于的二次多項式與一個關(guān)于的二次多項式的乘積．【答案】（1）（2）存在“向量”，分別為，，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合模長公式列式求解即可；（2）根據(jù)題意可得，，結(jié)合可得，即可分析證明；（3）根據(jù)題意分析可得，，結(jié)合模長公式分析證明即可.【小問1詳解】由題意可得：，因為，則，，則，即，整理得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】存在，理由如下：假設(shè)存在“向量”，因為，且，則由題意，只需要使得，又因為，則，可得