6.3.1平面向量基本定理(第1課時(shí))

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：平面向量基本定理.

內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第3節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容.平面向量的基本定理揭示

了平面向量之間的基本關(guān)系，是向量解決問題的理論基礎(chǔ)，同時(shí)平面向量的基本定理也為我們提供了一種

重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

平面向量基本定理是在學(xué)習(xí)了共線向量基本定理的前提下，進(jìn)一步研究平面內(nèi)任意向量的表示，為今

后平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立向量坐標(biāo)的一個(gè)邏輯基礎(chǔ)，只有正確地構(gòu)建向量的坐標(biāo)才能有正確的坐標(biāo)運(yùn)算.

平面向量的基本定理的研究綜合了前面學(xué)習(xí)過的向量知識，同時(shí)又為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了奠基，起到了承前啟

后的作用.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：

(1)理解平面向量基本定理，了解向量的一組基底的含義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；

(2)在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；

(3)會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

目標(biāo)解析：

(1)經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程.體會由力的分解到向量分解的過程，感悟數(shù)學(xué)抽象，邏輯推

理等數(shù)學(xué)思想的作用.通過證明平面向量基本定理理解定理，體會定理的重要性及意義.增強(qiáng)對數(shù)學(xué)思維方

法的理解.

(2)通過選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量.解決一些平面幾何問題，體會向量法在解決平面幾何問題

中的作用和基本步驟.

基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.教學(xué)問題一：雖然本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積，但

學(xué)生對向量之間的關(guān)系認(rèn)識還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”，“相反向量”、“共線向量”等,

而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量間的關(guān)系.要實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)識層級的躍遷對學(xué)生有一定

難度.解決方案：引導(dǎo)學(xué)生積極參與定理形成的探索過程，通過多舉實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生去歸納發(fā)現(xiàn)定理.

2.教學(xué)問題二：如果說由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么由向量的分解想到

任意一個(gè)向量都可以用一對不共線的向量，經(jīng)過線性運(yùn)算加以表示是第二次抽象，也是認(rèn)識上的一種飛躍,

會給學(xué)生造成認(rèn)知上的困難.解決方案：利用信息技術(shù)工具等形象的教學(xué)手段進(jìn)行直觀闡釋、辨析，幫助

學(xué)生理解定理.

基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示.為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到平面

向量基本定理，可以利用信息技術(shù)工具展示幾組力的分解的例子，在此基礎(chǔ)上，固定基底，改變要表示的

向量，看向量表示的變化與表示的唯一性，幫助學(xué)生理解定理.

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué).問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生

圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn).

在教學(xué)過程中，重視平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本

過程，同時(shí)，定理的證明與定理的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范.因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)

施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試.

五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)

教學(xué)

問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

復(fù)習(xí)：向量共線定理，并在課件中投影一組共線向

量，并指出在“選定一個(gè)非零向量?！钡那疤嵯?，

其他向量均可用。唯一表示，即：存在唯一的實(shí)數(shù)

2,使其等于Na；

教師1：提出問題1.問題引入：

［問題1］若向量〃與。不共線，學(xué)生1：不能，表示不出來.提出問題.

復(fù)習(xí)

向量〃可以由向量a表示出來教師2：那么要怎樣才能表示出向量〃呢？

回顧

嗎？學(xué)生2：學(xué)生思考.

引出

［問題2］如圖，兩根繩子吊著一教師3：提出問題2.

問題

個(gè)物體，你能知道這兩根繩子的學(xué)生3：學(xué)生思考.

拉力各是多少嗎？（請畫圖示

意）

［問題3］如圖，設(shè)是同一平教師4：提出問題3.問題探究的

形式，引導(dǎo)學(xué)

面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，。是這—C

學(xué)生入約A/投//

一平面內(nèi)與Ge?都不共線的向生思考，不斷

，、?-----?R

探量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作ONe2H精確，逐步引

尋OA=q,OB=e,,OC=a將a如圖，％=反=麗+而=41+4］，向量a可出平面向量

規(guī)按q/的方向分解，你有什么發(fā)以分解為兩個(gè)向量的和.基本定理的

律現(xiàn)？具體內(nèi)容，同

教師5：平面上，任意向量都可以用q,e2表示嗎？時(shí)培養(yǎng)學(xué)生

獲讓學(xué)生分解選擇以下兩個(gè)向量之一進(jìn)行再次嘗試.類比能力以

e2

得ei^.k及化歸能力，

結(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)

o十

論習(xí)的興趣和

［問題4］當(dāng)a是零向量時(shí)，口還

自主探索的

能用a=4q+402表示嗎？

學(xué)生5：思考嘗試.精神.

［問題5］若向量〃與q或02共

教師6：提出問題4.

線，那么a還能用

學(xué)生6：可以，取4=0,4=0,則W=o［+oE

a=\ex+A,e2這種形式表示

嗎？

教師7：提出問題5：

學(xué)生7：若向量。與1共線，取4=0,則

a=+0e2；

若向量［與［共線時(shí)，取4=0,則

a=Oet+^e2

［問題6］類比前面的一維情況，

教師8：提出問題6：

平面內(nèi)任何一個(gè)向量a都可以

學(xué)生8：假設(shè)a=+四02，a—A^e^+^e2>

表示成4弓+^e2的形式，那么

：.\e［+右2=410+4202

這種表示是唯一的(即q,02前即(4-4)4+(4-=0

面的系數(shù))嗎？假設(shè)4-〃|，4-〃2不全為。

不妨假設(shè)4-4力0

則e_/一七-

4-4

這里通過證

由此可得q,e2共線，與己知4,02不共線矛盾

明，，唯一性，，，

則一小，，2—“2全為0,即41=小，42=〃2

讓學(xué)生感受

所以表示形式是唯一的.

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)

扎實(shí)，無可辯

教師9：綜上，我們得到“平面向量基本定理”：

駁，培養(yǎng)學(xué)生

如果為，62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么

邏輯推理素

對于這一平面內(nèi)的任一向量m有且只有一對實(shí)數(shù)

2i>2,2>使。=九0|+2202,我們把不共線向量e”ei養(yǎng).

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

與學(xué)生一起提出注意：

(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；

(2)由定理可將任一向量”在給出基底4,02的條

件下進(jìn)行分解；

(3)基底給定時(shí)，線性表示是唯一的.

教師10：

向量共線定理平面向量基本定理

條定一個(gè)非零向量兩個(gè)不共線向量幻，C2

件a

結(jié)與向量。共線的對于這一平面內(nèi)的任

論向量b,均存在一向量”，有且只有一

唯一的實(shí)數(shù);1,對實(shí)數(shù)小，石，使

使其等于6=4〃+入2。2

實(shí)bAac（4，4）

質(zhì)

通過對比，加

深對平面向

量基本定理

本質(zhì)含義的

理解，抓住定

理實(shí)質(zhì)，并未

后面坐標(biāo)表

示奠定基礎(chǔ)，

而且為后面

學(xué)習(xí)的空間

向量基本定

理做好過渡.

［問題7］如圖，在AOAB中，M教師11：提出問題7.讓學(xué)生從較

為48的中點(diǎn)，用0AO月來表

應(yīng)用學(xué)生9：提出想法.（不同角度方法的嘗試）容易的一兩

定理示0M.個(gè)實(shí)際運(yùn)用

0

A\中進(jìn)一步感

鞏固受基本定理

AMU

拓展的含義，同時(shí)

［問題8］如圖，在AOAB中，

為猜想得出

E,尸如為AB的三等分點(diǎn)，用

后面的一個(gè)

OA,08來表示。瓦OF.

教師12：提出問題8.重要結(jié)論做

入學(xué)生10：提出想法.直觀的例證.

［問題9］

O教師13：提出問題9

學(xué)生11：解：因?yàn)?/p>

例1.如圖，豆,而不共線，且

AP=rAB(re/?),用次加所以O(shè)P=OA+AP^OA+tAB

表示而

=OA+i(OB-OA)=OA+tOB-tOA

^(l-t)OA+tOB

在前面的基

教師14：追問：你有什么發(fā)現(xiàn)？

礎(chǔ)上，提出此

學(xué)生12：如果P、A、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)。是平面內(nèi)

結(jié)論的探究，

例2.如圖,C。是△ABC的中線，任意一點(diǎn)，若OP=AOA+/LIOB,則4+〃=1.引發(fā)學(xué)生探

且CD=LA8,用向量方法證明

索的興趣.

2

△A8C是直角三角形.進(jìn)一步運(yùn)用

教師15：完成例2

學(xué)生13：證明：如圖，設(shè)CO=a,DA=b基本定理，加

深定理的理

則CA=a+b,CB—a-h

解，并初步感

CACB=(a+b)?(a—b)=a，—b?

受向量方法

因?yàn)镃D=，A8,所以CD=DA在幾何上的

2

運(yùn)用，讓學(xué)生

因?yàn)?=C￡>2,b2=DA2

[課堂練習(xí)1]感受數(shù)學(xué)的

在△45C中，點(diǎn)〃，E,廠依次是

所以C4-C6=0，因此CALCB.于是△ABC是統(tǒng)一性.

邊4?的四等分點(diǎn)，試以應(yīng)=a,

直角三角形.

0=會為基底表示成

課堂練習(xí)

ADEFB1：

教師16：布置課堂練習(xí)1、2.熟悉平面向

學(xué)生14：完成課堂練習(xí)，并核對答案.量基本定理.

[課堂練習(xí)2]

如圖所示，在等腰直角三角形

ACB中,NAC8=90o,C4=CBQ為

BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn)，且

4E=2E8.求證:AO_LCE.

課堂練習(xí)2：

B

能靈活選擇

°

基底進(jìn)行分

C

解表示.

［問題10］通過這節(jié)課，你學(xué)到了教師17：提出問題10.

什么知識？學(xué)生15：(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分師生共同回

在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向顧總結(jié)：引領(lǐng)

思想？分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的；學(xué)生感悟數(shù)

(2)用向量解決幾