曲線與方程

教材分析

“曲線和方程”這節(jié)，揭示了幾何中的"形''與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)''和"就數(shù)論形”

的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)，由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學(xué)生用解

析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析兒何學(xué)習(xí)的入

門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

重點(diǎn)內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念，它既是對(duì)以前學(xué)過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、

圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的深化，又是學(xué)習(xí)圓鏈曲線的理論基礎(chǔ)，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根

據(jù)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)

與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A..學(xué)習(xí)本節(jié)要掌握曲線的方程與方程的曲1.數(shù)學(xué)抽象：曲線與方程的關(guān)系

線的概念，明確曲線的點(diǎn)集和方程解集間2.邏輯推理：曲線的方程與方程的曲線的關(guān)系

的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)條件求曲線的方程

適合方程,來判斷該點(diǎn)是否在曲線上.4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用方程研究曲線的性質(zhì)

B.能夠通過求方程組的解，來確定曲線的交

點(diǎn).

C.初步掌握由曲線的已知條件求曲線的方

程及根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的方

法.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：曲線的方程與方程的曲線的概念

難點(diǎn)：求曲線的方程及由方程研究曲線的性質(zhì)

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，探究新知

前面我們學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，知道平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)

點(diǎn)，在直線和圓上的充要條件，是它的坐標(biāo)滿足直線和圓的方程，我通過具體的情

們還借助直線與圓的方程討論了直線與直線，直線與圓，圓與圓的位景，幫助學(xué)生回顧已

置關(guān)系，不難想到借助方程，應(yīng)該還可以討論平面內(nèi)的其他幾何對(duì)象經(jīng)學(xué)習(xí)過的直線與

及其性質(zhì)等。圓的方程，歸納抽象

(1)如圖所示，設(shè)%,%是平面內(nèi)兩條相互垂直的直線，且M是所有出曲線與方程的關(guān)

到幾％的距離相等的點(diǎn)組成的集合,在圖中系問題。

找出M中的所有元素，如果以人,％分別為

坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，那么M中的點(diǎn)的

坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

(2)將|y|=|x|看成久與y的方程，如果x=a且y=b(a,b為實(shí)數(shù))能

使方程M=㈤成立，則稱(a,b)是方程|y|=|x|的一組實(shí)數(shù)解，你能

找出滿足這個(gè)方程的三組實(shí)數(shù)解嗎？這個(gè)方程有多少組實(shí)數(shù)解？如

果將每一組實(shí)數(shù)解都看成平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，那么所有實(shí)數(shù)解

表示的點(diǎn)組成的集合與(1)一中的集合M有什么關(guān)系？

L曲線的方程與方程的曲線的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x,y)=O之間具有如下關(guān)系：

(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程尸(x,y)=O的解;

(2)以方程F(X,Y)=O的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.

則曲線C為方程F(x,y)=Q的曲線，方程F(x,y)=O為曲線C的方程.

思考1.若曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程,則曲線上的點(diǎn)集與方

程的解集之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

提示:①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.它闡明的含義是曲線上

沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn).

②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).它闡明的含義是適合

條件的所有點(diǎn)都在曲線上，即沒有遺漏的點(diǎn).所以兩個(gè)條件充分保證了

曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不多，一個(gè)也不少，即曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之

間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

二、典例解析

例1.已知平面直角坐標(biāo)系中c是端點(diǎn)為原點(diǎn)且其他所有點(diǎn)都在X軸

正半軸上的射線，判斷y=0以及y=0(x>0)是否是C的方程，

如果都不是，寫出C的方程。

解：可以看出，C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必為0,即如果P(x,y)為C上的點(diǎn)，

則必有y=o；另一方面，縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)，當(dāng)橫坐標(biāo)小于0時(shí)，在x

軸的負(fù)半軸上，不在C上。因此y=0不是C的方程。

類似地，因?yàn)镃上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于等于0,所以C上的點(diǎn)(0,0)

不滿足方程y=o(X>0),因此這也不是c的方程。

由上分析可知，c的方程是y=0(x>0)

1.曲線與方程的定義表明:曲線C的方程是F(x,y)=0的充分必要條件

是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解，并且以方程

Rx,y)=o的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，這是識(shí)別曲線和方程關(guān)

通過典例解析，

系的基本依據(jù).

幫助學(xué)生進(jìn)一步理

2.判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系的方法

解曲線與方程的關(guān)

(1)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度

系問題，體會(huì)數(shù)形結(jié)

若點(diǎn)Mx。,)。)在方程>Uy)=0所表示的曲線C上則於o，)o)=O;或若

合的思想方法。發(fā)展

於。,)0)翔測(cè)點(diǎn)欣升,)，0)不在方程人x,y)=0表示的曲線C上.

學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)

(2)從方程的解的角度抽象和數(shù)學(xué)建模的

若,%,)0)=0測(cè)點(diǎn)Mx。,)，。)在方程段,y)=0所表示的曲線C上;或若點(diǎn)核心素養(yǎng)。

M”,八)不在方程於,y)=0表示的曲線C上廁於0，4)和.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如果曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的

解，那么以下說法正確的是()

A.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上

B.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)有些不在曲線C上

C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程F(x,y)=0的解

D.坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上

解析:由題意可知，曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合是方程F(x,y)=0的解

構(gòu)成的集合的子集.它包含兩種情形:1真子集;2相等.據(jù)以上可知，選

項(xiàng)A,B,C都是不正確的，只有選項(xiàng)D是正確的.

答案:D

(2)方程(2r+3y-l)(后-1)=0表示的曲線是()

A.兩條直線B.兩條射線

C.兩條線段D.一條直線和一條射線

解析:原方程可化為=°，或代字1=0,即緘+3.1=0(后3)或

x=4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.

答案:D

例2.已知曲線G的方程是爐一丁=0,曲線C2的方程是|y|=|x|,判

斷的與C2是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒有說明理由。

分析：有曲線的方程的定義可知，一個(gè)點(diǎn)是兩條曲線的交點(diǎn)的充要條

件是，該點(diǎn)的坐標(biāo)是這兩條曲線的方程的公共實(shí)數(shù)解，因此可以通過

解方程組來判斷兩條曲線是否有交點(diǎn)等。

解：聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組■'1a

1\y\=|x|

解方程組可瞰:;成仁;或「二；

因此C1與6有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1),(-1,1)

2.求兩曲線的交點(diǎn)

已知曲線q：F(x,)，)=0和曲線C,：G(x,y)=0,求這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，

只要求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到.

已知，1」2是平面內(nèi)兩條相互垂直的直線，且曲線C是到兒G的距離的

乘積等于1的點(diǎn)組成的集合

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出曲線c的方程；

(2)根據(jù)曲線的方程，說出曲線具有的性質(zhì)，然后作出曲線C.

y

/H,；

11/

通過根據(jù)幾何條

例3.已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)4,8之間的距離為2”,點(diǎn)M到A,8兩點(diǎn)的

件求出曲線的方程，

距離之比為2；1,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.再由方程研究曲線

分析因?yàn)橐阎獥l件中未給定坐標(biāo)系，所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系.考慮到的幾何的，提升學(xué)生

對(duì)稱性.由|A8|=2a,選48兩點(diǎn)所在的直線為x軸中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)

則A(-a,O),3(a,0),然后求解.

合，及方程思想，發(fā)

解:如圖所示，以兩定點(diǎn)A,B所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸

建立直角坐標(biāo)系.展學(xué)生邏輯推理，直

由|AB|=2a,可設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).觀想象、數(shù)學(xué)抽象和

因?yàn)閨AM|：|M8|=2.1,

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

所以J(x+a"+y2：J(x-a)2+y2=2：1,

養(yǎng)。

+a)2+y2=2^(x-a)2+y2.

2

化簡(jiǎn)，得(*爭(zhēng))*

所以所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-|a)/

3.求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)

(1)點(diǎn)的軌跡方程

曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡，所以曲線的方程也

常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.

(2)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟：

①設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)(如果沒有平面直角坐標(biāo)系，需先建立)；

②寫出M要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用M的坐標(biāo)表示出來；

③化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)所得方程是否為M的軌跡方程.

例4.求以A(-2,0),8(2,0)為直徑端點(diǎn)的圓的圓內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)C的

軌跡方程.

錯(cuò)解:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，A3C為圓內(nèi)接三角形，且圓以線段AB為

直徑,.?.AC_LBC則k-k=-l.

ACBC

?.?人=紅,皿=絲...工?上=J

X+2X-2X+2X-2

2222

化簡(jiǎn)，有X+y-4=0,即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y-4=0.

錯(cuò)因分析(1)在表述k#時(shí)沒有注意斜率不存在的情況.

ACBC

(2)沒有驗(yàn)證以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上.

正解:設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y).

22

(x+2,y).(x-2,y)=x-4+y=0.

又當(dāng)X=42時(shí)C與4或8重合，不構(gòu)成三角形，

22

?'?所求C點(diǎn)的軌跡方程為X+y-4=0(.#±2).

：△48C為圓的內(nèi)接三角形，且圓以線段A3為直徑，

.?.前JL芯,即尼瓦=0.

又衣=(x+2,y)由=(x-2,y),

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.方程)=也5-%2表示的曲線是()通過練習(xí)鞏固本

A.—條射線B.一個(gè)圓節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)

C.兩條射線D.半個(gè)圓生解決問題，發(fā)展學(xué)

答案:D

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

22

2.點(diǎn)尸(2,-3)在曲線1-ay=1上，則a-__________.推理、直觀想象、數(shù)

解析:將點(diǎn)p的坐標(biāo)代入方程中即可求得學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

答案T

3.平面直角坐標(biāo)系中，已知48分別為坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)且|AB|=5,若線

段AB的中點(diǎn)為M(x,y),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為________________.

解析:根據(jù)題意及三角形的幾何性質(zhì)可知|。必=新8|,即|0仞|=/

...動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)0為圓心，以,為半徑的圓.

答案:/+/號(hào)

5.已知點(diǎn)A(l,0),直線/:y=2x-4,點(diǎn)R是直線/上的一點(diǎn),若耳？=而，則點(diǎn)

P的軌跡方程為_____________.

解析:設(shè)尸(和),/?(4,.月),由瓦5=都知,點(diǎn)4是線段RP的中點(diǎn),；?

L即尸，

心=o即bl=-y.

;點(diǎn)穴(即田)在直線y=2x-4上，.\yi=2xi-4,/.-y=2(2-x)-4,gpy=2x.

答案:尸2x

6.已知方程x2+(y?l)2=10.

(1)判斷點(diǎn)尸(1,-2),。(企,3)是否在此方程表示的曲線上；

(2)若點(diǎn)在此方程表示的曲線上，求m的值.

解:(1)V12+(-2-1)2=10,(V2)2+(3-1)2=6/10,A點(diǎn)P(l,-2)在方程

x2+(y-l)2=10表示的曲線上，點(diǎn)。(迎,3)不在方程/+