高升專數(shù)學(xué)（文）全真模擬試題（含評分標準，2025版）一、選擇題要求：本部分共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）。A.$\sqrt{5}$B.$\pi$C.$\sqrt{9}$D.$\sqrt{4}-\sqrt{9}$2.已知數(shù)列{an}中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3$，則$a_5=$（）。A.8B.11C.14D.173.若等差數(shù)列{an}的公差為3，且$a_1+a_5=28$，則$a_3=$（）。A.7B.10C.13D.164.若等比數(shù)列{an}的公比為$q$，且$a_1=4$，$a_4=32$，則$q=$（）。A.2B.4C.8D.165.已知函數(shù)$f(x)=2x+1$，若函數(shù)$g(x)$是$f(x)$的圖象向左平移2個單位得到的，則$g(x)=$（）。A.$2x-1$B.$2x+3$C.$2x+1$D.$2x-3$6.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的圖象的對稱軸是$x=$（）。A.2B.1C.0D.-17.已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于A、B兩點，則AB的長度是（）。A.2B.4C.6D.88.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，則下列條件中不正確的是（）。A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$a+b+c>0$9.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的圖象的頂點是（）。A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(-1,0)$D.$(0,-2)$10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，則$f'(x)=\fracehbzbhs{dx}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=\fracihixoca{dx}\left(x^2\right)\cdot\fracidphhnn{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)+\fracleawnec{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\cdot\fracvtgsvvb{dx}\left(x^2\right)=\frac{2x}{x+1}-\frac{x^2}{(x+1)^2}=$（）。A.$\frac{2x^2-x}{(x+1)^2}$B.$\frac{x^2-2x}{(x+1)^2}$C.$\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$D.$\frac{2x^2+2x}{(x+1)^2}$二、填空題要求：本部分共10小題，每小題2分，共20分。11.已知等差數(shù)列{an}中，$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_5=$______。12.若等比數(shù)列{an}中，$a_1=2$，公比$q=3$，則$a_4=$______。13.已知函數(shù)$f(x)=2x+1$，若函數(shù)$g(x)$是$f(x)$的圖象向右平移2個單位得到的，則$g(x)=$______。14.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的圖象的頂點是______。15.已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于A、B兩點，則AB的長度是______。16.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，則下列條件中不正確的是______。17.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的圖象的頂點是______。18.若函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，則$f'(x)=\fracsvnubhr{dx}\left(\frac{x^2}{x+1}\right)=\frac{2x}{x+1}-\frac{x^2}{(x+1)^2}=$______。19.若函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$的圖象與x軸的交點坐標是______。20.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x+1}$的圖象與y軸的交點坐標是______。四、解答題要求：本部分共5小題，每小題10分，共50分。解答下列各題時，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。21.解不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x-3<4\\x+2\geqslant1\end{array}\right.$，并指出解集的端點。22.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2$，求函數(shù)的極值。23.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_3=7$，求公差d和數(shù)列的前10項和S10。24.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求$f'(x)$。25.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-2}$，求$f'(x)$。五、應(yīng)用題要求：本部分共1小題，共20分。26.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=10x+800$，其中x為生產(chǎn)的數(shù)量（單位：件），售價函數(shù)為$R(x)=30x-5x^2$。求：（1）當生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，工廠獲得最大利潤？（2）求該最大利潤是多少？六、證明題要求：本部分共1小題，共20分。27.證明：對于任意實數(shù)$x$，都有$(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2\geqslant3(x-1)(x-2)(x-3)$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：$\sqrt{9}=3$，是有理數(shù)；$\sqrt{5}$和$\pi$是無理數(shù)；$\sqrt{4}-\sqrt{9}=2-3=-1$，是有理數(shù)。2.C解析：$a_2=a_1+d=2+3=5$，$a_3=a_2+d=5+3=8$，$a_4=a_3+d=8+3=11$，$a_5=a_4+d=11+3=14$。3.B解析：$a_5=a_1+4d=3+4\times3=15$，$a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=\frac{3+15}{2}=9$。4.B解析：$a_4=a_1q^3=4\times3^3=4\times27=108$，$q=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=3$。5.A解析：$g(x)=f(x+2)=2(x+2)+1=2x+4+1=2x+5$，向左平移2個單位，因此$x$的系數(shù)減去2。6.A解析：$f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$，對稱軸是$x=2$。7.B解析：圓的半徑為2，直線到圓心的距離為$\frac{|2\times0+1\times0-0|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，AB的長度為$2\sqrt{4-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{5}}=2\sqrt{\frac{19}{5}}=\frac{2\sqrt{95}}{5}$。8.B解析：開口向上時，a必須大于0，b可以為任意實數(shù)，c可以為任意實數(shù)。9.C解析：$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x^2=1$，$x=\pm1$，$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=2$，頂點為$(-1,2)$。10.A解析：$f'(x)=\fractrjinca{dx}\left(x^2\right)\cdot\fractwwjecn{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)+\fracqaykdkd{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\cdot\fracqoiwpmg{dx}\left(x^2\right)=2x\cdot\left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)+\left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\cdot2x=\frac{-2x}{(x+1)^2}-\frac{2x}{(x+1)^2}=\frac{-4x}{(x+1)^2}$。二、填空題11.11解析：$a_5=a_1+4d=3+4\times2=11$。12.24解析：$a_4=a_1q^3=2\times3^3=2\times27=54$。13.$2x-3$解析：$g(x)=f(x-2)=2(x-2)+1=2x-4+1=2x-3$。14.(2,0)解析：$f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2$，頂點為$(2,0)$。15.$\frac{2\sqrt{95}}{5}$解析：同選擇題第7題解析。16.$b>0$解析：開口向上時，a必須大于0，b可以為任意實數(shù)，c可以為任意實數(shù)。17.(-1,2)解析：同選擇題第9題解析。18.$\frac{-4x}{(x+1)^2}$解析：同選擇題第10題解析。19.(1,0)和(2,0)解析：$f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$，與x軸的交點為$(1,0)$和$(2,0)$。20.(0,1)解析：$f(x)=\frac{1}{x+1}$，與y軸的交點為$(0,1)$。四、解答題21.解集：$-1\leqslantx<2$，左端點為-1，右端點為2。解析：解不等式$2x-3<4$得$x<\frac{7}{2}$，解不等式$x+2\geqslant1$得$x\geqslant-1$，因此解集為$-1\leqslantx<2$。22.極大值為$f(-\frac{2a})=f(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\left(\frac{3}{2}\right)+2=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}+2=-\frac{9}{8}$。解析：$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=x-3$，令$f'(x)=0$得$x=3$，$f''(x)=1>0$，因此$x=3$是極小值點，$f(3)=-\frac{9}{8}$是極大值。23.公差$d=3$，數(shù)列的前10項和$S_{10}=\frac{10}{2}(2+9d)=5(2+9\times3)=5(2+27)=5\times29=145$。解析：$a_3=a_1+2d=1+2\times3=7$，$d=3$，$S_{10}=\frac{10}{2}(2+9d)=5(2+9\times3)=5\times29=145$。24.$f'(x)=\frac{1}{x+1}$解析：$f(x)=\ln(x+1)$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。25.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$解析：$f(x)=\sqrt{x-2}$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$。五、應(yīng)用題26.（1）生產(chǎn)10件產(chǎn)品時，工廠獲得最大利潤。解析：利潤函數(shù)$L(x)=R(x)-C(x)=-5x^2+20x-800$，導(dǎo)數(shù)$L'(x)=-10x+20$，令$L'(x)=0$得$x=2$，$L''(x)=-10<0$，因此$x=2$是最大利潤點，生產(chǎn)10件產(chǎn)品時，工廠獲得最大利潤。（2）最大利潤為$100$元。解析：$L(10)=-5\times10^2+20\times10-800=-500+200-800=-500$，最大利潤為$100$元。六、證明題2