第十二講相似多邊形相關(guān)專題3：《平行構(gòu)造相似》知識技能梳理相似三角形是初中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，應(yīng)用廣泛：可以證明線段的比例式；也可證明線段相等、平行、垂直等；還可計算線段的長、比值，圖形面積及比值。作平行線構(gòu)造成比例線段及相似三角形是常見的添加輔助線的規(guī)律，其本質(zhì)是構(gòu)造“A”型或“X”型圖形。學(xué)習(xí)過程模塊一：作平行線構(gòu)造雙A型例1.如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。解法1：過點D作DG∥BE，交AC于點G易證，設(shè)CD=EG=m，則EC=2m又∴∴解法2：過點E作EG∥AD，交BC于點G易證，設(shè)EG=4m，則AD=6m又∴∴∴∴例2．如圖，E是AC的中點，直線EH交AD于點H，交CD的延長線于點B，且BC=3BD。求的值。解法1：過點E作AD的平行線 過點E作EN∥AD交CD于點N易得△CEN∽△CAD，△BDH∽△BNE∴∵BC=3BD，∴∴∴∴解法2：過點A作BE的平行線過點A作AQ∥BE交CB的延長線于點Q∴∵BC=3BD,∴∴練習(xí)1如圖，點O是四邊形ABCD對角線AC、BD的交點，∠BAD與∠ACB互補(bǔ)，＝，AD＝6，AB＝7，AC＝5，則BC的長為．【解答】解：過點O作OM∥AD交AB于M∴＝，∴AM＝×7＝，BM＝×7＝，∵△BOM∽△BDA，∴，∴OM＝，∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠OMA＝∠ACB，∴△AMO∽△ACB，∴，∴BC＝2．如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF＝3EF，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：過點E作EH∥AD交BC于H，則＝，∵BE是△ABC的中線，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，故選：B．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為．【解答】解：如圖，過點D作DF∥AE，則＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當(dāng)CG⊥AB時，△ABC的面積最大為：4×2＝4，此時△ABO的面積最大為：×4＝．故答案為：．模塊二：作平行線構(gòu)造雙X型例1.如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。解法1：過點A作AG∥BC，交BE的延長線于點G。易證，又BD=BC∴AG=BD∴解法2：過點B作BG∥AC交AD的延長線于點G易證AC=BG，設(shè)AF=m，則AG=4m，AD=DG=2m∴∴例2．如圖，E是AC的中點，直線EH交AD于點H，交CD的延長線于點B，且BC=3BD。求的值。解：過點B作AC的平行線過點B作BM∥AC交AD延長線于點M易得△BDM∽△CDA，△BHM∽△EHA∴∴∴∴∴∴練習(xí)2如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF，AC于P，Q，D，求BP：PQ：QD．【解答】解：過D作DG∥BC，交AE于G，AH于H，∵D為AC中點，∴DH是△AFC的中位線，∴DH＝CF，CF＝2DH，∵BE＝EF＝CF，∴BF＝2CF＝4DH，∵DG∥BC，∴＝＝，∴QB＝4DQ，∵DG是△AEC的中位線，∴DG＝CE＝EF＝BE，∵DG∥BC，∴BP＝PD，∴PQ＝1.5DQ，BP＝2.5DQ，∴BP：PQ：QD＝5：3：2．2．[閱讀材料]想一想在例3中，如果點D恰好是邊AB的中點，那么點E是邊AC的中點嗎？此時，DE和BC有什么關(guān)系？△ADE與△EFC又有什么特殊關(guān)系呢？例3如圖23.3.9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．求證：△ADE∽△EFC．[問題解決]如圖③，在△ABC中，P是邊BC上的一點，且BP：PC＝2：1，連接AP，取AP的中點M，連接BM并延長交AC于點N，若△AMN的面積為3，則△PMB的面積為．【解答】過點P作PH∥AC交BN于點H，∵PH∥AC，∴∠PHM＝∠ANM，∵∠PMH＝∠AMN，AM＝PM，∴△PMH≌△AMN（AAS），∴MH＝MN，S△PMH＝S△AMN＝3，∵PM∥CN，BP：PC＝2：1，∴，∴，∴S△PBH＝4S△PMH＝12，∴S△PBM＝S△PBH+S△PMH＝12+3＝15．故答案為：15．3.在△ABC中，點D從A出發(fā)，在AB邊上以每秒一個單位的速度向B運動，同時點F從B出發(fā)，在BC邊上以相同的速度向C運動，過點D作DE∥BC交AC于點E．運動時間為t秒．（1）若AB＝5，BC＝6，當(dāng)t為何值時，四邊形DFCE為平行四邊形；（2）連接AF、CD．若BD＝DE，求證：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于點M，在DC上取點N，使MN∥AC，連接FN．①求證：＝；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，當(dāng)MN＝FN時，請直接寫出t的值．【解答】解：（1）∵DE∥BC，當(dāng)DF∥AC時，四邊形DFCE是平行四邊形．∴，∵AD＝BF＝t，∴BD＝5﹣t，∴，∴．（2）證明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD＝BF，DE＝DB，∴，∵∠ABF＝∠CBD，∴△ABF∽△CBD，∴∠BAF＝∠BCD．（3）①證明：∵DE∥BC，∴△ADM∽△ABF，∴，同理得：，∴．∴，∵M(jìn)N∥EC，∴，∴．②與①可知，F(xiàn)N∥AB，∵NM＝NF，∴∠NMF＝∠NFM，∵∠BAF＝∠NFM，∠CAF＝∠NMF，∴∠BAF＝∠CAF，∴＝＝，∴t＝BF＝×6＝．模塊三：做平行線構(gòu)造A，X型例1.如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。解法1：過點D作DG∥AC，交BE于點G證，又∴∴解法2：過點C作CG∥AD，交BE的延長線于點G證，∴∴例2．如圖，E是AC的中點，直線EH交AD于點H，交CD的延長線于點B，且BC=3BD。求的值。解法1：過點C作AD的平行線過點C作CG∥AD交BE的延長線于點G易得△BDH∽△BCG，△AEH∽△CEG∴∵BC=3BD,AE=CE∴∴解法2：過點D作AC的平行線過點D作DF∥AC交BE于點F易得△BDF∽△BCE，△FDH∽△EAH∴∵BC=3BD,AE=CE∴練習(xí)3如圖，D、E是△ABC中BC邊的兩個三等分點，F(xiàn)是AC的中點，AD與EF交于O，則等于（）A． B． C． D．【解答】解：過點F作FH∥BC交AD于G．∵FH∥BC∴△AFG∽△ACD∵F是AC的中點．∴＝＝又∵D、E是BC的分點．∴CD＝DE∴＝又∵FH∥BC∴△GOF∽△DOE∴＝＝．故選：A．2．如圖，已知AB＝AC，∠B＜30°，BC上一點D，滿足∠BAD＝120°，，則＝．【解答】解：如圖，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，∴△ADC∽△EDB，∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BE∥AC，∴∠DBE＝∠C，∴∠ABC＝∠DBE，∴＝＝，設(shè)AB＝AC＝6（個單位長度），∴BE＝14，∵∠BAD＝120°，∴∠BAH＝60°，∴AH＝3，BH＝3，∴EH＝AH+AE＝3+AE，在Rt△BEH中，根據(jù)勾股定理，得∵EH2＝BE2﹣BH2，∴，∴AE＝10，∴AD＝3，∴＝＝．故答案為：．3.拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左側(cè)，頂點為C。點P在第一象限拋物線上，連接CP并延長交x軸于點D，連接AC，AP．若S△ACP：S△ADP＝4：5，求點P的坐標(biāo)；【解答】解法1：過點C作CE⊥x軸于點E，過點P作PF⊥x軸于點F∴∠CED=∠PFD