第一講

導(dǎo)數(shù)的引入-兩個(gè)實(shí)例§1函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)，知道當(dāng)自變量x變化時(shí)，函數(shù)值f(x)隨

x變化而變化，這是第一層次的問(wèn)題.化相對(duì)于

x的變化是快還是慢？問(wèn)題，需要用微積分來(lái)解決.如果問(wèn)x變化之后，函數(shù)值的變這就是變化率，是高一層次的一、兩個(gè)實(shí)際例子二、導(dǎo)數(shù)的概念三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)四、二階導(dǎo)數(shù)一、兩個(gè)實(shí)際例子1.切線問(wèn)題曲線的切線是中學(xué)就有的概念，我們?cè)谌粘Ｉ钪幸彩强梢杂弥庇X(jué)感知的.該也是很難說(shuō)清楚的.著雨傘旋轉(zhuǎn)軌跡的切線方向飛去”，相信人們基本能理解這句話的意思.比如，說(shuō)“旋轉(zhuǎn)雨傘時(shí)，雨滴脫離雨傘瞬間是沿但究竟什么是“切線方向”，沒(méi)有數(shù)學(xué)的幫助，應(yīng)定點(diǎn)的切線了！那么，什么是切線？與曲線密切接觸程度最高的一條直線.決定一條直線需要兩點(diǎn)，要找的切線首先應(yīng)通過(guò)該定點(diǎn)，一點(diǎn)，在曲線上往往找不到最好的，越靠近該定點(diǎn)一定越好.點(diǎn)B

(稱為動(dòng)點(diǎn))，直線(稱為割線)，接近定點(diǎn)時(shí)，該直線就成為了過(guò)該通俗地講，曲線在某一點(diǎn)A的切線是在該點(diǎn)那么如何求出切線呢？為了得到切線,，先在定點(diǎn)附近取一至于另x0AxyO再過(guò)這兩點(diǎn)作一條當(dāng)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)無(wú)限BB設(shè)曲線C是函數(shù)的圖像.

是曲線C上的一個(gè)點(diǎn)，是C上靠近A的點(diǎn)過(guò)A，B作割線，則割線AB的斜率為當(dāng)點(diǎn)B沿曲線C移動(dòng)并無(wú)限接近點(diǎn)

A時(shí)(即)，如果極限存在，于是過(guò)點(diǎn)且以k為斜率的直線AT便是曲線C在點(diǎn)A處的切線.則k就是曲線C在點(diǎn)A處切線AT的斜率.與自變量的增加量比值的極限.只要不等于零，這個(gè)比值就不是切線的斜率，義.所以要用割線的斜率無(wú)限逼近切線的斜率，其極限位置（即時(shí)的極限）就是切線的斜率了.比值的意義是函數(shù)在區(qū)間而極限則是處的在這里看到，曲線的切線問(wèn)題最后歸結(jié)到函數(shù)的增加量上的平均變化率，瞬時(shí)變化率.而等于零比值就沒(méi)有了意2.瞬時(shí)速度問(wèn)題中學(xué)涉及的速度都是平均速度，平均速度實(shí)質(zhì)是將整個(gè)過(guò)程看成是勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度.的速度時(shí)，這就是瞬時(shí)速度了.“速度”一條的解釋是：但是，當(dāng)人們要研究運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻什么是瞬時(shí)速度呢?《辭?！分忻鑼?xiě)物體位置變化的快慢和方向的物理量.物體的位移和時(shí)間之比，稱為這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.于0），這一比值的極限就稱為物體在該時(shí)刻的速度，“瞬時(shí)速度”.如果這一時(shí)間極短（趨向亦稱現(xiàn)在用辭海中的定義來(lái)求出直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.設(shè)質(zhì)點(diǎn)M沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移s是時(shí)間t的函數(shù)：當(dāng)位移

s也有一個(gè)增量時(shí)間t在處有一個(gè)增量這樣質(zhì)點(diǎn)M從時(shí)刻到時(shí)刻內(nèi)的平均速度為若平均速度的極限存在，則其極限稱為質(zhì)點(diǎn)

M在時(shí)刻

時(shí)的瞬時(shí)速度.由此看到，瞬時(shí)速度也是一種變化率.變化率在微分學(xué)中就是“導(dǎo)數(shù)”.上面兩個(gè)例子雖屬不同的范疇（一個(gè)是幾何，一個(gè)是物理），但要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是一樣的，都是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率問(wèn)題.因此研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比值的極限具有重要的實(shí)際意義.第二講

導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1當(dāng)自變量x處有增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有的某一鄰域內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)增量如果與的比值的極限存在，則稱該極限為函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作即也可以記作或如果極限不存在，則稱

f(x)在處不可導(dǎo).若令則當(dāng)于是可得

f(x)處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義定義2若存在，則稱此極限為處的右（左）導(dǎo)數(shù)，記作右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義及極限存在定理可知：性質(zhì)存在的充要條件與都存在且相等.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一處都可導(dǎo)（對(duì)于端點(diǎn)，只要存在相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱f(x)在I上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值是一個(gè)隨

x變化而變化的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，記為或在第二章知道，函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)是或者應(yīng)該與f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是有關(guān)系的.根據(jù)定義，f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，存在，這樣就有這表明函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)必定在處連續(xù)，簡(jiǎn)稱可導(dǎo)必連續(xù).性質(zhì)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，f(x)在點(diǎn)連續(xù).則這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件：如果函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則在該點(diǎn)一定不可導(dǎo).但函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)一般不能得出f(x)在處可導(dǎo).求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).例1解取自變量x在處的增量于是函數(shù)有相應(yīng)的增量所以例2牛頓在《求積術(shù)》一文中關(guān)于導(dǎo)數(shù)（當(dāng)時(shí)稱流數(shù)）有如下的論述：設(shè)

x均勻地變動(dòng)一個(gè)增量

h，

欲求的導(dǎo)數(shù)，在x變成x+h的同時(shí)，變成而注意到將它與增量h作比，約去h，得再令增量h等于零，最終的比值變成了牛頓用上面的論證得出的導(dǎo)數(shù)是顯然論證不夠嚴(yán)格.增量h開(kāi)始時(shí)不是0，所以求比值時(shí)可以約去.后來(lái)為了得到導(dǎo)數(shù)，又令增量h為零，與例1相比，牛頓時(shí)代由于極限理論尚未成熟，無(wú)法將極限表達(dá)清楚，以至于出現(xiàn)了這種對(duì)待h招之即來(lái)、揮之即去的做法，在邏輯上是站不住腳的，解決了許多科學(xué)和工程上的問(wèn)題.現(xiàn)在我們知道這實(shí)際上是一個(gè)極限問(wèn)題，即可.可是在應(yīng)用上卻屢獲成功，使除了外的其余各項(xiàng)均消失.只要求極限例3

設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且求極限解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，注意到，當(dāng)h→0時(shí)，所以有例4常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：例5求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類(lèi)似地，可以得到：于是有例6求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解類(lèi)似的方法，可以得到（留作練習(xí)）第三講

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有了導(dǎo)數(shù)的定義，就可以進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算了，但是，即便是基本初等函數(shù)，求導(dǎo)也不是一件容易的事，為了使求導(dǎo)變得更為簡(jiǎn)便，走得更遠(yuǎn)，需要研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算生成的，因此知道了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題就解決了.1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則（1）可導(dǎo)，且.（2）可導(dǎo)，且；特別地，對(duì)于常數(shù)k，有.；（3）當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，特別地，.定理1

下面對(duì)乘法法則進(jìn)行證明.（2）可導(dǎo)，且；證求下例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)根據(jù)除法法則，有(2)類(lèi)似地，有解

例7則在點(diǎn)可導(dǎo),且單調(diào),設(shè)為的反函數(shù)，或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)、嚴(yán)格且補(bǔ)充定理（反函數(shù)求導(dǎo)法則）解上的反函數(shù)，補(bǔ)充例1

求的導(dǎo)數(shù).所以上的反函數(shù)，補(bǔ)充例2求的導(dǎo)數(shù).解所以練習(xí)1

求的導(dǎo)數(shù).練習(xí)2求的導(dǎo)數(shù).第四講

基本求導(dǎo)公式、例2.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）冪函數(shù)是實(shí)數(shù)）（的導(dǎo)數(shù)

；（3）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，；（4）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，（5）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（6）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這些基本求導(dǎo)公式是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，必須牢記！求下例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解(1)根據(jù)加法和減法法則，有(2)根據(jù)乘法法則，有(1)(2)例8(3)根據(jù)除法法則，有(3)(4)(4)解切線的斜率.因此，所求切線的斜率為即曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1).根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，所求切線的方程為求曲線在處的切線方程.函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就曲線上過(guò)點(diǎn)的例9

又當(dāng)化學(xué)反應(yīng)速度.其反應(yīng)物的濃度C是時(shí)反應(yīng)物因而反應(yīng)物的間t的函數(shù)當(dāng)時(shí)間變量在時(shí)刻有一增量時(shí)，的濃度也有一相應(yīng)的改變量濃度從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間間隔內(nèi)的平均變化率為當(dāng)時(shí)，其極限（如果存在）就是反應(yīng)物濃度在時(shí)刻的瞬時(shí)變化率，化學(xué)中稱為在時(shí)刻的化學(xué)反應(yīng)速度.例10在設(shè)某一化學(xué)反應(yīng)，例11

導(dǎo)數(shù)不存在的例子：的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，解因?yàn)樗越^對(duì)值函數(shù)但導(dǎo)數(shù)不存在.于是的導(dǎo)數(shù)不存在.從圖中可以看出，在原點(diǎn)連續(xù)，曲線但沒(méi)有切線！在

處因此

f(x)在

處第五講

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，二階導(dǎo)數(shù)3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則并且可以復(fù)合成復(fù)合函這個(gè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則通常稱為鏈法則.另外，例12解數(shù)則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，或是對(duì)變量u求導(dǎo)，然后再用代替

u

得到的表達(dá)式.求的導(dǎo)數(shù).是由，復(fù)合而成，設(shè)函數(shù)與函數(shù)都可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為還要注意公式中的記號(hào)，根據(jù)鏈法則有例13解（1）可以把這個(gè)函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式后再進(jìn)行求導(dǎo)，因此用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：根據(jù)鏈法則有麻煩，所以求（1）的導(dǎo)數(shù).（2）是由和復(fù)合而成，（2）由復(fù)合而成，但會(huì)非常例14解所以例15解所以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是正確分解復(fù)合函數(shù).求的導(dǎo)數(shù).是由復(fù)合而成，求的導(dǎo)數(shù)由復(fù)合而成，練習(xí)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求一般冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

四、二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，率，因?yàn)樽兯僦本€運(yùn)動(dòng)的速度

v(t)是位移函數(shù)

s(t)對(duì)時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)，所以加速度

a(t)

是位移函數(shù)對(duì)時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)，個(gè)可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)之后，需要知道物體的速度，更需要知道運(yùn)動(dòng)速度的變化即加速度.是速度v(t)對(duì)時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)，而加速度

a(t)對(duì)一有時(shí)還需要研究其導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).記為稱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，或或或，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的值記為例16解解例17設(shè)求設(shè)求例18解設(shè)求解例19設(shè)求例20解設(shè)求續(xù)求導(dǎo)，只要條件滿足，個(gè)求導(dǎo)過(guò)程可以繼續(xù)下去.二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍然可導(dǎo)，那么可以對(duì)繼這就是函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù).這高階導(dǎo)數(shù).第六講

微分的概念§2函數(shù)的局部線性化——微分在中學(xué)數(shù)學(xué)中稱為一次函數(shù)，函數(shù)，但是在實(shí)際中，到的函數(shù)都不會(huì)是線性函數(shù)，函數(shù)復(fù)雜得多.那么遇到不簡(jiǎn)單的事情怎么辦呢？把它化解成簡(jiǎn)單的事情來(lái)處理！線性函數(shù)，是最簡(jiǎn)單的它的圖形是平面上的一條直線.經(jīng)常碰也就是我們要處理的問(wèn)題比線性一、微分是函數(shù)在局部的線性化由導(dǎo)數(shù)的定義，其中一個(gè)小的鄰域內(nèi)有可以將上述極限寫(xiě)成將其變形為所以當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小量：于是在的當(dāng)很小時(shí)，注意到，上式表明，同時(shí)記作的線性部分的高階無(wú)窮小量部分和稱的線性部分為函數(shù)在處的微分，稱函數(shù)在處可微，由兩部分組成，函數(shù)的增量性部分，因而在點(diǎn)

A附近的曲線段可用切線段來(lái)近似代替.函數(shù)在一點(diǎn)的微分就是函數(shù)增量關(guān)于自變量增量的線即在點(diǎn)的微分就是函數(shù)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的線性近似：曲線在點(diǎn)

A處的切線的而在點(diǎn)的增量為并且越小，與接近程度就越高，在點(diǎn)處的微分的差是的高階無(wú)窮小量縱坐標(biāo)增量CD就是函數(shù)兩者之間得到近似公式微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化.以及用代入，的附近的一個(gè)局部范圍內(nèi)，次函數(shù)（即線性函數(shù)）來(lái)近似，由，(

很小)時(shí)，得到當(dāng)x非常接近可以近似地用一函數(shù)即在為了能更好地理解“微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化”這句話的含義，兩者之間幾乎已經(jīng)看不出差別了.可以看出當(dāng)非常接近0時(shí)，線差距非常小.當(dāng)在點(diǎn)處的情形放大仔細(xì)考察.對(duì)函數(shù)附近，在與直曲線時(shí)，局部線性化的思想在數(shù)學(xué)中有著非常重要的意義.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法就是“化難為易”，而線性函數(shù)（或稱一次函數(shù)）是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，將一個(gè)難的、復(fù)雜的函數(shù)在局部變成一個(gè)最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)來(lái)研究，實(shí)際上，這種“線性化”以及類(lèi)似的方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)中.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想去處理和解決各種問(wèn)題.能不是一個(gè)好方法嗎？區(qū)間

I上可微.數(shù)的微分，于是微分又可記作如果函數(shù)在區(qū)間

I上的每一點(diǎn)都是可微的，函數(shù)在區(qū)間I上任意點(diǎn)

x的微分，記作或，將記為在就稱稱為函即在微分中，所以，即微分的商.于是往往記為自變量的增量從而可以得到.有時(shí)也稱導(dǎo)數(shù)為“微商”，欣賞無(wú)窮小的故事在牛頓創(chuàng)建微積分之前，家運(yùn)用無(wú)窮小進(jìn)行研究，費(fèi)馬運(yùn)用無(wú)窮小得出了令人驚奇的正確結(jié)論.難以解釋清楚.從古希臘到文藝復(fù)興，可是無(wú)窮小量是什么？在那時(shí)卻圍成的面積最大.這是一個(gè)完全正確的命題，沒(méi)有人能夠證明其正確.費(fèi)馬運(yùn)用無(wú)窮小加以論證.人們認(rèn)為無(wú)窮小就是“既是0又不是0的量”.費(fèi)馬已經(jīng)有許多數(shù)學(xué)如法國(guó)數(shù)學(xué)家大家都認(rèn)為周長(zhǎng)一定的矩形以正方形但是，在當(dāng)時(shí)，設(shè)矩形的二分之一周長(zhǎng)是

a，時(shí)面積最大，那么可以猜想費(fèi)馬認(rèn)為，約去它，得假設(shè)當(dāng)矩形的兩個(gè)鄰邊為又因?yàn)槭菬o(wú)窮小量，立刻得到結(jié)論.只要證明任取無(wú)窮小量在變量取得最大值或最小值的地方自變量加一個(gè)無(wú)窮小量運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的.進(jìn)去函數(shù)值不會(huì)變化.展開(kāi)這個(gè)式子，得到整理后有因?yàn)?，看成?，可以略去，

這段論證在邏輯上確實(shí)是有漏洞的，0，可以約去，但是正是因?yàn)橘M(fèi)馬這些先輩的大膽探索，在本章開(kāi)始時(shí)曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，因之一，一會(huì)兒又說(shuō)等于0.一會(huì)兒說(shuō)無(wú)窮小量不是推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，才有微積分的誕生.求最大最小值問(wèn)題是微分學(xué)產(chǎn)生的三個(gè)原這個(gè)例子支持了這個(gè)說(shuō)法.第七講

基本微分公式與運(yùn)算法則二、基本微分公式與運(yùn)算法則只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分表達(dá)式可以看出，1.2.3.要計(jì)算函數(shù)的微分，再乘以自變量的微分即可.基本初等函數(shù)的微分公式1.（C是常數(shù)）；2.為任何實(shí)數(shù)）；（3.4.5.6.例1解計(jì)算微分：（1）根據(jù)微分的運(yùn)算法則1，有（2）根據(jù)微分的運(yùn)算法則2，有（2）（1）這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，（3）先求導(dǎo)數(shù).因?yàn)樗越夥ㄒ?，解法二，所以先求?dǎo)數(shù)，因?yàn)楦鶕?jù)微分的運(yùn)算法則3，（4）有例2解求函數(shù)在處，因?yàn)?，時(shí)的微分.當(dāng)所以例3解請(qǐng)用微分導(dǎo)出近似公式：于是當(dāng)

x與0很接近時(shí)，有代入前式，有當(dāng)

x非常接近時(shí)，有現(xiàn)設(shè)而很小時(shí)，當(dāng)有這樣我們就得到：比如，很小時(shí)，當(dāng)有近似公式用同樣的方法，可以得到下面近似公式：于是可以求出，是用線性函數(shù)來(lái)進(jìn)行近似的.要用精度更高的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似.而在使用上述近似公式時(shí)一定要注意很小這個(gè)條件（比如當(dāng)比較大時(shí)，很小時(shí)當(dāng)其精度會(huì)大大下降，原因在于這里為了得到更高的近似精度，就需要）,例4經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問(wèn)題.產(chǎn)量引起的總成本的增加量，成本的變化量（即邊際成本）是小單位是1，即這種替代得到了廣泛的認(rèn)同.在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)成本函數(shù)為（其中

x表示產(chǎn)量），，因此可以用成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似地替代成本函數(shù)的增量比如邊際成本，就是每增加一單位其實(shí)質(zhì)是一個(gè)微分問(wèn)題.當(dāng)產(chǎn)量在原產(chǎn)量的基礎(chǔ)上變動(dòng)時(shí)，由于產(chǎn)量增加量至少是1，的最即所以根據(jù)微分定義：更容易計(jì)算，一般導(dǎo)數(shù)比成本函數(shù)的增量第八講

拉格朗日中值定理和

函數(shù)的平均變化率§3微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用拉格朗日微分中值定理是局部與整體溝通的橋梁.圖3.6

拉格朗日(JosephLouisLagrange1736─1813)一、拉格朗日中值定理和函數(shù)的平均變化率定理1(拉格朗日中值定理)續(xù),使得這個(gè)公式稱為拉格朗日公式，它的幾何解釋見(jiàn)圖，上至少有一點(diǎn)的斜率等于曲線兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率.如果函數(shù)在閉區(qū)間上連上可導(dǎo),在開(kāi)區(qū)間則至少存在一點(diǎn)即在曲線體性質(zhì)),x是時(shí)間變量，拉格朗日中值定理因此也是“平均值定理”.公式右邊表示函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率(整如果將函數(shù)看成一個(gè)位移函數(shù)，則拉格朗日中值公式表明在時(shí)間段上平均速度，某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率(局部左邊性質(zhì)).等于其中部性質(zhì)得到深化.拉格朗日中值定理將函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)：局部性質(zhì)研究透了，的整體性質(zhì)就可以借助局只是肯定存在于a,b之間，把這又是一個(gè)典型的存在性定理，即定理中的但不知道它的確切位置.問(wèn)題中值定理中條件在閉區(qū)間上連續(xù)改成在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)，結(jié)論還會(huì)成立嗎？或者差別在于后者是近似式，是確定的值，等式，確切位置不知.這個(gè)差別決定了兩個(gè)公式的不同作用：中值公式還可以寫(xiě)成，內(nèi)的任意兩點(diǎn)有其中是介于與之間的實(shí)數(shù).x將上式與比較后看出，于是對(duì)于區(qū)間兩者之間的導(dǎo)數(shù)是而前者是導(dǎo)數(shù)是理論推導(dǎo)用中值公式，近似計(jì)算用微分式.推論1證只要證明，的大小關(guān)系如何,（=I）.使得如果在開(kāi)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在區(qū)間上恒等于一個(gè)常數(shù).都與中的一個(gè)定點(diǎn)上的值相等即可.現(xiàn)在取定點(diǎn)則對(duì)任意的無(wú)論x與所以有即在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù).即對(duì)任意對(duì)于任意或它們總可以形成一個(gè)閉區(qū)間則存在(為什么？)推論2即中值定理的作用就顯現(xiàn)出來(lái)了.點(diǎn)點(diǎn)為零轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上是常數(shù)，性質(zhì)得到了的整體性質(zhì)，如果兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)相等，則在上，與相差一個(gè)常數(shù)C，這是因?yàn)楹瘮?shù)導(dǎo)數(shù)為零，當(dāng)?shù)木植啃再|(zhì)容易把握，局部從這就是中值定理的威力！從而是一個(gè)常數(shù).整體性質(zhì)較難把握時(shí)，而例1證可導(dǎo)，所以由上面推論1，而證明當(dāng)時(shí)，設(shè)則在上連續(xù)，因此當(dāng)時(shí)，有恒等式在其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)C，有這時(shí)運(yùn)用微分中值定理就一舉解決問(wèn)題了！要驗(yàn)證在閉區(qū)間上非常困難，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上恒為零卻簡(jiǎn)單得多，而驗(yàn)證第九講

函數(shù)單調(diào)性和極值（I）二、微分中值定理的應(yīng)用在本小節(jié)中將解決函數(shù)單調(diào)性、極值，不定式極限等問(wèn)題.1.函數(shù)的單調(diào)性刻可得：定理2增加）.對(duì)于區(qū)間中任何兩點(diǎn)有如果已經(jīng)知道在區(qū)間上恒大于0（或小于0），（1）如果函數(shù)在區(qū)間上恒有

(或),（2）如果函數(shù)在區(qū)間上恒有(或),則函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)減少（或單調(diào)減少）.則立在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加（或單調(diào)則函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)性是整體性質(zhì)，質(zhì)，在山中的什么地方，導(dǎo)數(shù)在每一點(diǎn)的符號(hào)則是局部性微分中值定理把兩者連接起來(lái)了.”雖然不知道老藥師“但憑借他的崇高聲望，仍然可以解決問(wèn)題!例2證根據(jù)定理2，上嚴(yán)格單調(diào)增加.例3證上的單調(diào)減少函數(shù).證明在無(wú)窮區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加.的導(dǎo)數(shù)大于0.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在證明當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，設(shè)所以是因此當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，只要證明當(dāng)有也就是例4證從上面兩個(gè)例子看到，是：有單調(diào)性，證明不等式當(dāng)時(shí)成立.令則當(dāng)時(shí)，所以在時(shí)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，即移項(xiàng)即得然后證明

具時(shí)，因此當(dāng)利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的一般方法先將不等式的右邊項(xiàng)移到左邊設(shè)為最后得出不等式.例5解所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.令得到當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)減少，上嚴(yán)格單調(diào)增加.在區(qū)間2.函數(shù)的極值和最值極值是極大值和極小值的統(tǒng)稱，所謂極大值就是相對(duì)的最大值，如圖，局部范圍內(nèi)是最小值，整體看，左邊那個(gè)處的值在所以是極小值.或者說(shuō)是局部范圍內(nèi)的最大值.的圖形在函數(shù)但從它并不是最小的，定義1個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).要求出極值，那么怎樣才能找出極值點(diǎn)呢？換句話說(shuō)，一下子就找到它？設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，切恒有(或則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值），同時(shí)稱點(diǎn)是函數(shù)的一如果對(duì)一只要找到極值點(diǎn)就行.函數(shù)的極值點(diǎn)上有什么特殊的性質(zhì)，使我們能觀察左圖，函數(shù)有切線（可導(dǎo)），條切線一定是與

x軸平行的，就是在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是零.回想第五講“無(wú)窮小的故事”，認(rèn)為在變量取得最大值或最小值的地方，穩(wěn)定就是導(dǎo)數(shù)為零.定理3（費(fèi)馬定理）在，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，在極值點(diǎn)處，如果那么,這也費(fèi)馬運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的.存并且則必有費(fèi)馬定理說(shuō)明，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).于是一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)包含在它的駐點(diǎn)中！例6但是明顯地，所以，如何判別這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢?函數(shù)與在處的導(dǎo)數(shù)：所以是這兩個(gè)函數(shù)的駐點(diǎn).但卻在處取極小值.都是0，而函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)不存在，如果函數(shù)在極值點(diǎn)處可導(dǎo)，那么導(dǎo)數(shù)為零.的極小值點(diǎn)，0是的極值點(diǎn).卻不是除了駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn).第十講

函數(shù)極值（II）定理4（判斷極值點(diǎn)的充分條件）如果大值（或極小值）.設(shè)函數(shù)在的某鄰域上可導(dǎo)，上連續(xù)，(1)在區(qū)間上，(2)在區(qū)間上，則是的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），在是的極即例7證在邊長(zhǎng)一定的矩形中，（1）現(xiàn)在的證明.相鄰兩邊分別為

x與是極大值點(diǎn).因此，即矩形是正方形時(shí)，則矩形面積令得駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故正方形的面積最大.設(shè)矩形的二分之一周長(zhǎng)為一個(gè)定數(shù)

a，時(shí)，當(dāng)矩形兩邊長(zhǎng)分別是面積最大.（2）費(fèi)馬證明的完善.即所以，即是正方形.設(shè)是解，這里的兩邊.順著費(fèi)馬的思路，但用極限.b是極值點(diǎn)，或者說(shuō)于是面積最大時(shí)，滿足分別是費(fèi)馬神奇式子例8解是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求函數(shù)的極值.令得到駐點(diǎn)和因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，時(shí)，，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，所以所以極大值為極小值為Oyx例9解不為零，即函數(shù)沒(méi)有極值.因?yàn)槌艘粋€(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)外，但當(dāng)時(shí)，在的兩邊不變號(hào)，其余導(dǎo)數(shù)都是極值的可疑點(diǎn).故不是極值點(diǎn).所以例10解為了得到單調(diào)性和極值，分成三個(gè)小區(qū)間，的單調(diào)性，為此列表討論如下：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大、極小值.令得駐點(diǎn)用得到的駐點(diǎn)將函數(shù)定義域討論導(dǎo)數(shù)在三個(gè)小區(qū)間上的符號(hào)，來(lái)確定函數(shù)求出極值.單調(diào)遞減區(qū)間所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為當(dāng)時(shí)有極大值當(dāng)時(shí)有極小值第十一講

函數(shù)的最值最大值和最小值問(wèn)題.由第二章閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理知道，間上連續(xù)的函數(shù)，取得最大值或最小值的點(diǎn)，極大（?。┲凳蔷植康淖畲螅ㄐ。┲?，值和最小值則是區(qū)間上的整體性質(zhì)，所以面對(duì)“最值在哪里能找到？”這樣的問(wèn)題，最大（?。┲抵豢赡茉跇O大（?。┲迭c(diǎn)，取得，在閉區(qū)其函數(shù)值一定存在最大值和最小值.稱為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，簡(jiǎn)稱最值點(diǎn).是局部的性質(zhì)，而最大應(yīng)該馬上就能回答：或者是閉區(qū)間端點(diǎn)上其他點(diǎn)都不可能.(2)比較這些值的大小，最小的就是最小值.思考駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)只是極值的可疑點(diǎn)，們是否為極值點(diǎn)呢？求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值與最小值的方法為：(1)求出在開(kāi)區(qū)間上的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，在這些駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，處的函數(shù)值;然后求出在端點(diǎn)以及上的最大值，最大的就是函數(shù)在為什么不去判定它例11解比較它們大小，求三角函數(shù)在上的最大值和最小值.從圖像上可得函數(shù)在處取最小值-1,處取得最大值1.在令駐點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值為：在處取最小值-1;在處取最大值1.得到中的駐點(diǎn)得例12解由例8已經(jīng)知道，分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；和兩個(gè)端點(diǎn)的值分別為：所以最大值和最小值分別是18和-18，取到.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.上有兩個(gè)駐點(diǎn)這個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間函數(shù)在兩個(gè)駐點(diǎn)都是在端點(diǎn)例13解制造一個(gè)圓柱形有蓋飲料罐，根據(jù)已知的知識(shí)，代入消去

h根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，此這個(gè)駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).,高為

h.為由得令得唯一的駐點(diǎn)容積是定值V，底面半徑是和高h(yuǎn)為何值時(shí)，求底面半徑用料最?。亢蚳的函數(shù)關(guān)系可知飲料罐表面積

S與最小值存在，因所以當(dāng)飲料罐的底面半徑高時(shí)，用料最省.思考以表面積最小就是用料最省.部用料的厚度是底部用料的兩倍，這個(gè)問(wèn)題怎