專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題

【北師大版】

必考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問題

1.（2022秋?廣東茂名?八年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=+

0）的圖象經(jīng)過4（一1,0），8（0,2）,。三點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且。。=50A,連接BC,CD,

已知SMDC=2s4ABJ

⑴求直線力8的表達(dá)式；

⑵求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶在線段力D,CD上分別取點(diǎn)M,M使得MN||%軸，在x軸上取一點(diǎn)P,連接MN,NP,MP,是否存在

點(diǎn)必，使得△MNP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級校考期中）如圖,A/18C中，/.ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,若點(diǎn)P從

點(diǎn),出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線4一8-。-/1運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為￡秒。＞0）.

⑴點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時間￡=;

（2）當(dāng)點(diǎn)P到邊48、4C的距離相等時，求此時，的值；

⑶在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在i的值，使得△力CP為等腰三角形，若存在，求出f的值，若不存在，請說

明理由.

3.(2022秋?浙江溫州?八年級校聯(lián)考期中)如圖，在等腰△4BC中,Z.CAB=Z.CBA,作射線BC,40是腰BC

的高線，E是△4BC外射線BC上?動點(diǎn),連結(jié)AE.

⑴當(dāng)4。=4,BC=5時,求CD的長;

(2)當(dāng)=1時；求證：AE1AB；

⑶設(shè)△力的面枳為工，的面枳為S?,且卷=會在點(diǎn)后的運(yùn)動過程中，是否存在△力以?為等腰三角

形，若存在，求出相應(yīng)的翌的值，若不存在，請說明理由.

BC

4.(2022秋?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8、。分別在y軸、％軸上，點(diǎn)

4(一a,b),C(b,Q),且a,b滿足(3Q-b)2+(b-67=0,1y軸于點(diǎn)B,CD1.%軸于點(diǎn)O.

圖1圖2

(1)求點(diǎn)4,。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,連接AC,8。交于點(diǎn)P：求證：點(diǎn)戶為AC中點(diǎn)；

(3)若OC=2VTU,在x軸上存在點(diǎn)凡使△C。尸是以C。為腰的等腰三角形，請直接寫出尸點(diǎn)的坐標(biāo).

5.(2022秋?廣東廣州?八年級校聯(lián)考期中)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a,0)、B(0,b),且a、b滿足：Va^l=

一按+68-9,點(diǎn)力、C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)F為工軸上一動點(diǎn).

BB

⑴求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,若BC1.CD,BA1EA,且BD=BE,連接EO交匯軸于點(diǎn)M,求證：OM=ME；

⑶如圖2,若BC工CD,且=直線BC上存在某點(diǎn)G（m,3小+3）,使△DFG為等腰直角三角形（點(diǎn)。、

F，G按逆時針方向排列），請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

必考點(diǎn)2、等腰三角形與勾股定理、全等綜合

1.（2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥校┤鐖D1,在Rt△4BC中,184（=90。,以48為邊在AB上方作等

邊公ABD,以BC為邊在BC右側(cè)作等邊ACBE,連接ED并延長交4C于點(diǎn)G.

⑴求證：ACABWAEDB；

（2）求證：AG=DG.

⑶連接CO并延長交BE于F,若AB=&,當(dāng)CF1BE時，求CD的長.

2.（2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥校┤鐖D，CD,BE是△力BC的兩條高線，且它們相交于Q,F是BC邊

的中點(diǎn)，連接0尸，。尸與8E相交于點(diǎn)P,已知BO=CD.

⑴求證8Q=AC

（2）若BE平分心ABC.

①求證：DP=DQ；

②若AC=8,求。P的長.

3.（2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥校┤鐖D1,在等邊△ABC的AC、BC邊上各取一點(diǎn)。、E,AE.8D相

交于點(diǎn)凡LBFE=60°.

圖1

⑴求證：AD=CEx

⑵如圖2,過點(diǎn)8作BG1AE于點(diǎn)G.

圖2

①若BE=2EC=2,求8G的長；

②若8尸=2AF,連接CG求土CFE的度數(shù).

4.（2022秋?浙江溫州?八年級?？计谥校┤鐖D1,△48C中，AB=AC,點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)。為A8上一點(diǎn),

連結(jié)CO.已知=2:3:4,。。=8.動點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段B4向線點(diǎn)4運(yùn)

動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為￡（秒）.

圖1圖2

⑴求證:CDLAB.

⑵若△BPN為等腰三角形時，求t的值.

⑶如圖2,動點(diǎn)戶出發(fā)的同時，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)沿線段。C向終點(diǎn)。運(yùn)動，速度為9個單位/秒，連結(jié)8QJQ,

?5

將線段8Q,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到線段QE和Q",當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時，直接寫

出￡的值為.

5.（2022春?安徽合肥?八年級合出市廬陽中學(xué)校考期中）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在Rt△力BC中，AB=AC,D

為BC邊所在直線上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD,以4D為邊作Rt△力DE,且4。=4E,根據(jù)484C+

Z.CAD=Z.CAD+4DAE,得至IJNBAO=Z.CAE,結(jié)合48=AC,AD=4E得出△BAD=△CAE.發(fā)現(xiàn)線段80

與CE的數(shù)量關(guān)系為80=CE,位置關(guān)系為801CE；

圖1圖2圖3

⑴探究證明：如圖2,在和RtA/lDE,AB=AC,AD=AE,且點(diǎn)。在BC邊上滑動：點(diǎn)D不與點(diǎn)

B,C重合），連接EC.

①則線段BC,DC,CE之間滿足的等量關(guān)系式為；

②求證：BD2+CD2=2AD2；

⑵拓展延伸：如圖3,在四邊形ABC。中,UBC=Z.ACB=乙4DC=45°.若BD=13cm,CD=5cm,求AD

的長.

必考點(diǎn)3等腰三角形與圖形變換OI

1.（2022秋?山東濰坊八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊BC,力8的

中點(diǎn)，連接力E，DF交于點(diǎn)N,將△力BE沿力￡翻折，得到△力GE,AG交DF于點(diǎn)M,延長EG交力D的延長線于

點(diǎn)、H,連接CG,ME,取ME的中點(diǎn)。，連接N。，GO.則以下結(jié)論不正確的是（）

A.Z.GCE=Z.AEBB.AE1DF

CD.為等邊三角形

-S四邊形MNOG=WSAAN。

2.（2022秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，以△?!%?（乙48c>120。）三邊為邊向外作等邊三角形，分別

ii\LABC,LABD,4BCE,△ACF面積為S,S「S2,S3,作△ABD關(guān)于48對稱的△力8M,連接MF,BF.若

△XDC=△BMF,則乙ABC=,S3=（用含S,S「52的式子表示）.

3.（2022秋?河南安陽?九年級校聯(lián)考期中）如圖1,在RHA8C中，乙A=90。，AB=4C,點(diǎn)D,E分別在

圖1圖2

⑴觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

⑵探究證明：把a(bǔ)/lOE繞點(diǎn)力逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷的形狀，并

說明理由：

⑶拓展延伸：把△/!￡）￡繞點(diǎn)人在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,力8=10請直接寫出△尸MN周長的最小值.

4.（2022秋?北京朝陽?九年級三里屯一中?？计谥校┤鐖D，在等腰心△AZ?。中，將線段AC繞點(diǎn)A順時針

旋轉(zhuǎn)儀0。VaV90。），得到線段AQ,連接CO,作回84。的平分線AE,交3c于￡

⑴①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

②請用等式寫出國84。與團(tuán)4co的數(shù)量關(guān)系.

⑵分別延長和AE交于點(diǎn)F,

①直接寫出的度數(shù)；

②用等式表示線段A凡CF,。尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.（2022秋?吉林延邊?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,在兩個等腰直角三角形力"和DEr中，匕4cB=LDEF=90°,

把兩個三角形放置在平面直角坐標(biāo)系上，邊EF在x軸上，點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)。重合.0￡=2,點(diǎn)4（0,3）,點(diǎn)。（3,（））,

將ADE尸沿。尸翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)G.

OCF

圖2

⑴點(diǎn)G的坐標(biāo)為

（2）將四邊形OE尸G沿x軸方向往右平移，平移距離是北

①當(dāng)點(diǎn)G在邊21C上時，x=

②當(dāng)％=2時，四邊形0"6與4A8C的重疊部分的面積為.

③如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在邊EF上時（點(diǎn)C與點(diǎn)、E、廠不重合），求四邊形。EFG與△43c的重疊部分的面枳.（用

含工的式子來表示）

⑶在（2）的條件下，若XV5,當(dāng)四邊形DEFG與△48c的重疊部分的圖形為軸對稱圖形時，直接寫出x的

取值范圍.

6.（2022春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（0,⑹，點(diǎn)8（—3,0）.

⑴如圖1,點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接3C,判斷國48c的形狀，并證明你的結(jié)論;

⑵如圖2,作財(cái)4c關(guān)于點(diǎn)4的中心對稱圖形團(tuán)E8。，△E'8'D'為團(tuán)EB。沿著％軸向右平移以后的圖象，當(dāng)八

E'E'D'與M8C重疊部分的圖形為正六邊形時，求此時的平移距嗡;

（3）如圖3,點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，連接AM,將AM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段NM,若R點(diǎn)恰好在某

一條直線上運(yùn)動，請求出該直線的函數(shù)表達(dá)式.

必考點(diǎn)41T腰三角脛中的動態(tài)變化

1.（2022秋?江蘇常州?八年級?？计谥校┤鐖D1,在中，AB=4C,D為射線BC上（不與8、C重合）

一動點(diǎn)，在4。的右側(cè)射線的上方作△/IDE.使得40=/lE,LDAE=^BAC,連接

圖I備用圖備用圖

⑴找出圖中的一對全等三角形，并證明你的結(jié)論;

（2）延長EC交的延長線于點(diǎn)尸，若乙尸二45。,

①利用（1）中的結(jié)論求出40CE的度數(shù);

②當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出4/08的度數(shù);

⑶當(dāng)。在線段8C上時，若線段8C=3,面枳為3,則四邊形40CE周長的最小值是

2.（2022秋?浙江溫州?八年級?？计谥校┤鐖D1,△ABC中，AB=AC,點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)。為力8上一點(diǎn),

連結(jié)CD.已知BD:力D:CD=2:3:4,CD=8.動點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)

動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（秒）.

（1）求證：CD1AB.

⑵若ABP/V為等腰三角形時，求t的值.

⑶如圖2,動點(diǎn)尸出發(fā)的同時，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)0出發(fā)沿線段。C向終*C運(yùn)動，速度為9個單位/秒，連結(jié)8Q,PQ,

?5

將線段8Q,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到線段QE和Q",當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時，直接寫

出￡的值為.

3.（2022秋?云南昆明?八年級校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4在y軸的正半軸上，點(diǎn)8在第一象限，

OB=AB,Z,BOP=150°.

⑴如圖1,求證：aOAB是等邊三角形；

（2）如圖1,若點(diǎn)M為y軸正半軸上一動點(diǎn)，以8M為邊作等邊三角形8MN,連接NA并延長交x軸于點(diǎn)P,求證:

AP=2A0；

⑶如圖2,若BC=BO,點(diǎn)。為CO的中點(diǎn)，連」妾/IC、D8交于請問AE、8E與CE之間有何數(shù)量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

4.（2022秋?浙江寧波?八年級校考期中）如圖1,在等邊△48C中，線段4M為8。邊上的高線.動點(diǎn)。在線

段AM（點(diǎn)。與點(diǎn)A重合除外）上時，以CZ）為--邊且在CD的下方作等邊連結(jié)8E.

ffll

(1)若〃M=MC,貝=.度，乙BCE=度;

⑵判斷力D與8E是否相等，請說明理由;

（3）如圖2,若AB=12,P、Q兩點(diǎn)在直線BE上且滿足CP=CQ=10,試求PQ的長.

⑷在第（3）小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)。在線段4M的延長線（或反向延長線）上時，判斷尸Q的長是否為定值,

若是，請直接寫出PQ的長；若不是，請簡單說明理由.

5.（2022?遼寧葫蘆島?八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊△力8C中，點(diǎn)。是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上

一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊尸，連接C".

備用圖

(1)如圖1,若點(diǎn)￡在邊8C上，且DEJ.8C,垂足為￡,求證：CD=2CEx

(2)如圖1,若點(diǎn)￡在邊8C上，且DEJ.8C,垂足為E，求證：CE+CF=CD；

(3)如圖2,若點(diǎn)￡在射線CB上，請?zhí)骄烤€段CE,C"與C。之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

必考點(diǎn)5等腰三角形中的最值

1.（2022秋?江蘇?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△力8c中，Z.BAC=3Q°,且4B=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若

則8c2=

2.（2022春?四川成都?八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△48。是等邊三角形，AB=6,E是靠近

點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，。是直線8。上一動點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得線段ER當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動時，則

A戶最小值為

A

3.（2022秋?四川成都?八年級石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，點(diǎn)人的坐標(biāo)為（0,12）,

點(diǎn)B為x軸上一動點(diǎn)，以為邊在直線48的右側(cè)作等邊三角形48c.若點(diǎn)。為04的中點(diǎn)，連接PC,貝l」PC的

長的最小值為.

4.（2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D1.己知△力BC為等邊三角形，點(diǎn)。和E分別是

直線力B和AC邊上的動點(diǎn)，連接CD和8E相交于點(diǎn)F.

⑴如圖1.點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)。為AB三等分點(diǎn)且BDVAD,若S^BF=1，求S-BC：

（2）如圖2.已知4MB=60。,點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接?！苯籅E于點(diǎn)。，連接CQ并延長交4。于點(diǎn)M,若DM=MQ,

探究C，、CQ、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

⑶如圖3.已知8。=8/，點(diǎn)石在4C上，點(diǎn)。在84延長線上=連接EO并以EO為邊向左側(cè)作等

邊AOE”,點(diǎn)M為4C上一點(diǎn)旦4c=44M,當(dāng)MH取最小值時請直接寫出△O4E的面積.

5.（2022秋?重慶?八年級?？计谥校┤鐖D，已知△48C為等腰直角三角形，Z.BAC=90°,AB=AC.

⑴如圖1,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB邊上，連接MD,過點(diǎn)M作ME1MD交AC于點(diǎn)E,連接4M,求證:

AD=CE；

（2）如圖2,在（1）的條件下，過點(diǎn)4作人尸IIM0交BC于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在48邊上，連接CG交45于點(diǎn)N,交0M于

點(diǎn)從若GA=GN,求證：CN=AE-CE；

⑶如圖3,已知點(diǎn)￡在力。上，點(diǎn)D在8A延長線上且?！甓?。，連接ED并以E0為邊向左側(cè)作等腰直角4

DEH,且4ED〃=90。，DH=DE,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)、且BC=2CM,當(dāng)取最小值時請直接寫出黑的值.

G.（2022秋?重慶?八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰诘妊黂tA/WC中，AB=AC,^BAC=90°,。為3c邊

上一點(diǎn)，連接4D.

⑴如圖1所示，AD=AP,且A。平分乙朋DP,若。P=5,CD=3,則8C=.

⑵如圖2所示，過點(diǎn)A作AS18c于點(diǎn)S,力S=2,點(diǎn)R在8c上，且BR=DS,連接力R,則當(dāng)4）+AR取最

小值時，求DS的長；

⑶如圖3所示，以4D為斜邊作等腰RtA4ED,連接BE并延長交"于點(diǎn)F,^AGLAE,CG1AC,猜想4G與

EF存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的清想.

必考點(diǎn)6

1.（2022春?北京海淀?八年級人大附中?？计谥校┬”趯W(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形

做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形43co內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點(diǎn)M,N,P,

Q分別在長方形的邊A從BC,CD和A。上，若48=23,8c=32,則小正方形的邊長為.

2.（2022秋?浙江?八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中.每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).

以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形力3C0的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是

格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦蟄.例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方

形4BCD的邊長為壓，此時正方形的面積為52.問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為屆時，

正方形ER7H的面積的所有可能值是（不包括52）.

3.（2022秋?山東東營?八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長為1,剪一剪，拼成一個正方形，那

么這個正方形的邊長是—.

4.（2022春?全國?八年級統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格，它的每?個小三角形都是邊長為1

的等邊三角形.

（1）邊長為1的等邊三角形的高二一；

（2）圖①中的口ABCD的對角線AC的長二;

5.（2022秋?福建三明?八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為遙，同,

713,求這個三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,

再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示.這樣大需求△ABC

的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.

（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；

思維拓展：

（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長分別為述a,2&a,717a（a>0）,

請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.

探索創(chuàng)新：

（3）若△ABC三邊的長分別為A/M+16*49m2+4M,2V4m2+n2（m>0,n>0,且m#n）,試運(yùn)用構(gòu)

圖法求出這三角形的面積.

圖①圖②

6.（2022秋?全國?八年級期中）方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多

邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”.

（1）在圖1中確定格點(diǎn)。，并畫出一個以A、8、C、。為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖形（一種情況即

可）；

（2）直接寫出圖2中△/G〃的面積是；

（3）在圖3中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于17.

7.（2022春?山東濟(jì)寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在8X4的正方形網(wǎng)格中，按△4BC的形狀要求，分別找出

格點(diǎn)C,且使8。=5,并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積.

必考點(diǎn)7勾股定理與折疊問題

1.（2022秋.浙江寧波.八年級?？计谥校┤鐖D，在4/1BC中，48=4。，點(diǎn)0在線段4c上，現(xiàn)將148。沿著

翻折后得到zL4'BD,48交4c于點(diǎn)E,4D〃BC且4。=8C,若BD=2a,則zL48c的面積為

2.（2022秋?浙江?八年級期末）A/IBC中，AB=472,AC=6,乙4=45。，折疊△力BC,使點(diǎn)C落在力B邊

上的點(diǎn)。處，折痕￡7咬力C于點(diǎn)￡當(dāng)點(diǎn)。由B向A連續(xù)移動過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長記為77i，則8c=

m=_______

3.（2022秋?河南周口?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，44cB=90。，AC=2,8c=4,點(diǎn)E

為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動點(diǎn)，把AACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)AAEF為直角三角形

時，CD的長為.

4.（2022春?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，48AC=90。,乙？=30。,A8=3,點(diǎn)。為4?的中點(diǎn),

點(diǎn)、E在BC邊上,將△（?/）￡沿著DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，當(dāng)FE1/1C時，F(xiàn)E=.

5.（2022秋?廣東深圳?八年級深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片48CD沿MN折疊，

使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)”處，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為。，連接4。'交邊CO于點(diǎn)E,連接C。，若48=9,710=6,

A點(diǎn)為SC的中點(diǎn)，則線段￡?的長為.

6.（2022秋?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末）在△力8C中，48=25,AC=IOA/5,AP垂直直線BC于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)8C=25時，求4P的長；

（2）當(dāng)4P=20時,

①求8c的長；

②將AACP沿直線AC翻折后得到A4CQ,連接8Q,請直接寫出ABCQ的周長為.

必考點(diǎn)8k以弦圖為背景的計(jì)算

1.（2022春.浙江.八年級期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了以

勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定

理.在RtazlBC中，Z-BAC=90°,AC=a,AB=b（a<b）.如圖所示作矩形H"PQ,延長CB交HF于點(diǎn)G.若

正方形BCDE的面積等于矩形石面枳的3倍，則三的值為（）

b

2.（2022秋?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中

就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1,是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面

積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點(diǎn)D,E,F,G,H,

I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）

D.90

3.（2022秋?全國?八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要

紐帶.數(shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗(yàn)證了勾股定理.以直角三角形A8C的三條邊為邊長向外作E方形AG//,

正方形46KQ,正方形8CGF,連接6/,CD,過點(diǎn)C作C/_L3E于點(diǎn)./,交4?于點(diǎn)K.設(shè)正方形4cm的

面積為正方形8CGF的面積為S2,矩形的面積為S3,矩形KJE8的面積為S，下列結(jié)論中:①次，”）：

②5/：LACO=2：1；③SI-5W=S3-S2；④S&=S3s2,正確的結(jié)論有（）

H

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2022秋.江蘇.八年級期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

中A,B,C,D四個小正方形的面積之和等于8,則最大正方形的邊長為

5.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的卜個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢

達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周幗算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

圖1圖2圖3

圖4

（1）①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選?種來證明該

定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；

②如圖1,大正方形的面積是17,小正方形的面積是5,如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2

的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面枳.

⑵如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形

中面積關(guān)系滿足&+$2=53的有個；

（3）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為Si、S2,直角三角形面積為工，請判斷工、S2、S?的關(guān)系______.

必考點(diǎn)9勾股定理的證明方法―ZQ|

1.（2022秋?江蘇南京?八年級南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰赗SA/3C中，N4C8=9（）。，BC=a,AC

=b,AB=c.將RsA3c繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90。、180。和270。，構(gòu)成的圖形如圖所示.該圖是我國占代數(shù)學(xué)

家趙爽制作的“勾股圓方圖“，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002

年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù).

（1）請利用這個圖形證明勾股定理；

（2）請利用這個圖形說明〃2+/之2時，并說明等號成立的條件；

（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為弟寬為），的長方形，其周長為8,求當(dāng)x,y取何值時，該

長方形的面積最大？最大面積是多少？

2.（2022秋?河南鄭州?八年級?？计谥校?）我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個矩形分成

四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖I）,這個矩形稱為趙爽弦

圖，驗(yàn)證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊4、力與斜邊。滿足關(guān)系式。2+〃=/,稱為勾

股定理.

證明：???大正方形面積表示為5=/,,又可表示為S=4x3/〃+（〃-a）2,

+（〃—a）2=c2.

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

（2）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2）,也能驗(yàn)證這個結(jié)論，請你

幫助小明完成驗(yàn)證的過程.

⑶如圖3所示，NABC=NACE=90。，請你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論/+〃=。2.

3.（2022?山東濰坊?八年級統(tǒng)考期中）公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖1876

年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)C三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明.△ACB與△BCB，是一

樣的直角三角板，兩直角邊長為a,b,斜邊是c.請用此圖1證明勾股定理.

拓展應(yīng)用1：如圖2,以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形ACED,過點(diǎn)F、

E分別作BC的垂線段FM、EN,則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？宜接寫出結(jié)論.

拓展應(yīng)用2：如圖3,在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD,已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線m、n上，過

點(diǎn)D作直線已知1、n之間距離為1,1、m之間距離為2.則正方形的面積是.

4.（2022秋?江蘇蘇州?八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎菐缀螌W(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，

人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個

新的證法.證法如下：

把兩個全等的直角三角形如圖1放置，Z.DAB=Z.B=90°,ACJ.DE點(diǎn)E在邊

AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△力CB兩直角邊長分別為CB=a、CA=b,斜邊長為48=c,請用a、b、c分別表示出梯

形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理

（1）請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理

（2）如圖2,鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點(diǎn)）,

AD1AB,BCA.AB,垂足分別為A、B,AO=25千米，8c=16千米，則兩個村莊的距離為一千米.

（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BO16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P,使得

PC=PD,請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離.

（4）借助上面的思考過程，當(dāng)時，求代數(shù)式-上一2%+5+-22X+130的最小值.

圖1圖2

5.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢

達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周作算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

圖1圖2圖3

圖4

（1）①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選?種來證明該

定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；

②如圖1,大正方形的面積是17,小正方形的面積是5,如果將如圖I中的四個全等的直角三角形按如圖2

的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積.

⑵如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形

中面積關(guān)系滿足&+$2=$3的有個；

⑶如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為工、$2,直角三角形面積為工，請判斷工、S2、S?的關(guān)系______.

必考點(diǎn)10々體幾何中求最短路徑Q|

1.（2022秋?吉林長春?八年級?？计谀┤鐖D，一長方體木塊長力8=6,寬BC=S,高8當(dāng)=2,一直螞

蟻從木塊點(diǎn)4處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)G位置最短路徑的長度為（）

A.V89B.\/85C.\^125D.V80

2.（2022秋?江蘇?八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個

楂長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒

子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形A8CO爬行，爬到邊CD匕后再在邊CO上爬行3cm,

最后在沿內(nèi)壁面正方形ABC。上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁8C的中點(diǎn)M,甲蟲所走的最短路程是cm

3.（2022秋?陜西西安?八年級?？计谀┤鐖D，長方體的長為3,寬為2,高為4,點(diǎn)8在棱上，點(diǎn)B離點(diǎn)C的

距離為1,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,需要爬行的最短路程是.

4.（2022秋?陜西西安?八年級校考期末）如圖，圓柱底面半徑為金m,高為9cm,點(diǎn)4,8分別是圓柱兩底

n

面圓周上的點(diǎn)，且A,〃在同一條豎直直線上，用一根棉線從4點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線

的長度最短為cm.

B

A

5.（2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶南開中學(xué)校考期末）在一個長6+2企米，寬為4米的長方形草地上，

如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬4D,木塊的主視圖的高是魚米的等腰直角三

角形，一只螞蟻從點(diǎn)4處到C處需要走的最短路程是.

6.（2022秋?江蘇?八年級期末）如圖①，長方體長為8cm,寬8c為6cm,高8F為4cir.在該長體

的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）蛆蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G,且經(jīng)過棱E/上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長.

（2）設(shè)該長方體上底面對角線EG、F”相交于點(diǎn)O（如圖②），則尸=OG=O”=5cm.

①螞蟻從點(diǎn)8爬行到點(diǎn)。的最短路徑的長為_cm：

②當(dāng)點(diǎn)。在8c邊上，設(shè)8。長為“cm,求螞蟻從點(diǎn)。爬行到點(diǎn)。的最短路的長（用含〃的代數(shù)式表示）.

必考點(diǎn)11勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

1.（2022春?廣東東莞?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路

2.（2022秋?浙江紹興?八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，A、8兩塊試驗(yàn)田相距200m,。為水源地，AC=160加,

BC=\20ni,為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

水源池

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；

乙方案：過點(diǎn)。作4"的垂線，垂足為先從水源地C修筑一條水渠到人“所在直線上的H處.再從，分

別向A、8進(jìn)行修筑.

（1）請判斷AABC的形狀（要求寫出推理過程）：

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計(jì)算說明.

3.（2022秋?重慶?八年級校聯(lián)考期末）如圖，公路MN和公路尸。在點(diǎn)P處交匯，月/QPN=30。，在A處

有一所中學(xué)，4P=120米，此時有一輛消防車在公路MN上沿尸N方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車

行駛時周圍100米以內(nèi)有噪音影響.

（1）學(xué)校是否會受到影響？請說明理由.

（2）如果受到影響，則影響時間是多長？

4.（2022秋?陜西西安?八年級西安市第八十五中學(xué)?？计谥校締栴}探究】

⑴如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn)，請?jiān)贏B上找一點(diǎn)F,使EF=：AE,并說明理由；

（2）如圖②，點(diǎn)M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點(diǎn)，求：AM+MC的最小值：

【問題解決】

（3）如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的最短距離

為360km.今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M,再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每

千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最

小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置，并求出AM的長.（結(jié)果保留根號）

5.（2022春?湖南長沙?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量48=BC=

力0=100米，CO=100百米，且48=90。.

（1）求的度數(shù)：

（2）若8A為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)。處安裝一個監(jiān)控裝置來

監(jiān)控道路84的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到

6.（2022秋?陜西寶雞?八年級?？茧A段練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千

米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，此時某臺風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千

米，其中心風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心25千米，臺風(fēng)就會減弱一級，如圖所示，該臺風(fēng)中心正以20千

米/時的速度沿8c方向移動.已知AO_L8C且AD=|AB,且臺風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到

或超過4級，則稱受臺風(fēng)影響.試問：

（1）A城市是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由.

（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？

（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？

必考點(diǎn)124勾股定理與全等綜合

I.（I）如圖I,在△4BC中，AB=5,AC=3,力。為BC邊上的中線.求中線力。的取值范圍；（提示：延

長4。到點(diǎn)E,使0E=4D,連接BE）

（2）如圖2,在△ABC中，44=90。，。是邊的中點(diǎn)，Z.EDF=90°,OE交于點(diǎn)E,。戶交/1C于點(diǎn)F,連

接EF,求證：BE2+CF2=EF2；

（3）如圖3,四邊形ABCD中，44=90。，△0=120。，E為4。中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別邊48、CD上，且EF1EG,

若HF=4,DG=2V3,求G/長.

2.如圖，已知△/1C8和中，Z,ACB=Z.ECF=90°,AC=BC,CE=CF,連接力E.8"交于點(diǎn)0.

E

(I)求證：AACENABCF；

⑵求4/10B的度數(shù)；

222

(3)連接BE,AF,求證BE?+AF=2(AC+CF).

3.己知△ABC中，AB=AC.

(1)如圖1,在△4￡>￡中，AD=AE,點(diǎn)。在線段8c上，ZDAE=ZBAC=9Q°,連接CE,請寫出：①8。

和CE之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、:

②3D、CD和AE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,在AAOE中，AD=AE,連接BE、CE,若NQ4E=NBAC=60。，CEJ_4D于點(diǎn)兄AE=4,AC

=、少，求線段/法的長；

(3)如圖3,點(diǎn)。是等邊△43C外一點(diǎn)，ZADC=75°,若8=3,AD=>/2,則4。的長為,請簡

要寫出解答過程.

4.如圖1,A/ICB和AECD都是等腰直角三角形，&4=C8,CE=CD,△4CB的頂點(diǎn)A在△ECO的斜邊DE上.

(1)證明/EC4=乙。力8：

(2)猜想力E,力8,力。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)如圖2,若川？=4,力。=質(zhì)，點(diǎn)尸是4。的中點(diǎn)，求CF的長.

5.如圖①，在等腰Rt△力BC中，AC=8C,Z,ACB=90°,CD平分乙4Q?交AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P為線段CD上

一點(diǎn)(不與端點(diǎn)C.D重合).PE1PA.PB與BC的延長線交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F,連接AE、AP、

BP.

(1)求證：AP=BP.

(2)求/及4P的度數(shù).

(3)探究線段BC.PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.如圖，在△ABC中，ZA=90°,。是8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線DF、DE交直線力C、AB于點(diǎn)F、E,且DE1DF,

連接E凡

(1)如圖1,求證：EF2=BE2+CF2；

(2)如圖2,若NC=30。，4B=6,AF=痘,請直接寫出線段EE的長度.(不必寫過程)

7.【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【性質(zhì)探究】如圖1,四邊形力8C。是垂美四邊形，試探究兩組對邊48,CD與BC,力。之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論；

⑵【拓展應(yīng)用】如圖2,RSABC中，LACB=90°,分別以力C和力8為直角邊向外作等腰RsACD和等腰

專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題

【北師大版】

必考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問題

1.(2022秋?廣東茂名?八年級茂名市第一中學(xué)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

次函數(shù)y=&%+匕(匕00)的圖象經(jīng)過做一1,0),8(0,2),。三點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上方，點(diǎn)C在

x軸正半軸上，且。C=5O4連接BC,CD,已知S0九=2S.8L

⑴求直線力8的表達(dá)式；

⑵求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶在線段4。，CD上分別取點(diǎn)M,N,使得MN||%軸，在x軸上取一點(diǎn)P,連接

MN,NP,MP,是否存在點(diǎn)M,使得△MNP為等腰直侑三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴線段4B的表達(dá)式y(tǒng)=2x+2

⑵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)

⑶存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或(一熱苫)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求直線48的解析式；

(2)根據(jù)三角形面積公式得到。到4C的距離等于8點(diǎn)到4c的距離的2倍，即。點(diǎn)的縱坐

標(biāo)為4,然后利用直線48的解析式計(jì)算函數(shù)值為4所對應(yīng)的自變量的值，從而得到。點(diǎn)坐

標(biāo).

(3)先求出直線CO的表達(dá)式，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3-2a,2Q+2),分情況討論即可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)A(-l,0),B(0,2)代入y=履+蚣工0),得｛一"^］。解得(屋;

二線段4B的表達(dá)式y(tǒng)=2x+2

(2)已知0C