中學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法

方法一函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它滲透在數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容中，始終是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)的思想，就

是用運(yùn)動(dòng)改變的觀點(diǎn)，分析和探討詳細(xì)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)特征，重在對(duì)問題的變量的動(dòng)態(tài)探討，從變量的運(yùn)

動(dòng)改變、聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路.方程的思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：-是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等

式、解方程以及探討參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的探討中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所探討的

問題轉(zhuǎn)化為探討函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解

決問題的目的.

【例1】設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前“項(xiàng)的和為S,,已知%=12,52>0,53<0.

（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出52、…、Sn中哪一個(gè)值最大，并說明理由.

【分析】（1）利用公式%與S“建立不等式，簡(jiǎn)潔求解d的范圍；（2）利用S,是"的二次函數(shù)，將中哪一個(gè)值

最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S“取最大值的函數(shù)最值問題.

【解】（1）由4=%+24=12,得到%=12—2d,

所以Sn=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42”>0,

5,3=13（11+78d=13（12-2^）+786/=156+52J<0.

24

解得：——<d<-3.

7

（2）解法一：（函數(shù)的思想）

11,5

Sn=nat+—n（n+\）d=—dn'+（12—d）n

d

2

因?yàn)閐<0,故最小時(shí)，S“最大.

241(斗］<6.5,故正整數(shù)〃=6時(shí)

由——<4<一3得6<〃——5-最小，所以§6最大.

72(

解法二：（方程的思想）

由d<0可知q>。2>%>>“3?

因此，若在中存在自然數(shù)〃，使得q>0,<0,

則S〃就是5，冬，…，S”中的最大值.

L，4八>0

S12>0q+5d〉——>0?6

5.3<0?<0

q+6d<07

故在，、$2、…、幾中§6的值最大.

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前“項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析，即用函

數(shù)方法來解決數(shù)列問題；也可以利用方程的思想，利用不等式關(guān)系，將問題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快.由此可見，利

用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求敏捷地運(yùn)用、奇妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性.

XV-

【例1】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓一+2-=1的左右頂點(diǎn)為人上，右頂點(diǎn)為F,設(shè)過點(diǎn)T(r,〃z)

95

的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(F，M),N(x29y2)f其中m>0,必>0,%<。

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿意PF2-PB1=4，求點(diǎn)P的軌跡;

(2)設(shè)玉=2,》2=；，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的肯定點(diǎn)(其坐標(biāo)腎?無關(guān)).

【解】(1)由題意知7(2,0),4(3,0),設(shè)P(x,y),則

(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4

9

化簡(jiǎn)整理得x=‘.

2

(2)把3=2,々=；代人橢圓方程分別求出M(2,g)，7V(1,y)

直線AM:y=g(x+3)①

直線BN:y=—』(x—3)②

6

①、②聯(lián)立得了',日).

(3)T(9,m),

直線力4:y=%(x+3),與橢圓聯(lián)立得M(—3。獷-80),40)

12m+80m+80

直線=-?與橢圓聯(lián)立得N(筆置,一入)

4020

直線MN?y+20=療+8。+療+型3(420)]

222

一0血2+20_3(/n-80)_3(w-20)|<m+20J

m2+80m2+20

20103(320)、

化簡(jiǎn)得y+小―40('/+20,

蘇+20

令y=0,解得x=l,即直線肱V過x軸上定點(diǎn)(1,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求簡(jiǎn)潔曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力和探究問題的

實(shí)力.而且，本題在解決問題時(shí)，無論求點(diǎn)的坐標(biāo)，還是求點(diǎn)P的軌跡方程，都敏捷運(yùn)用了方程的思想，特殊是在證明

過程中更是很好地利用方程的有關(guān)學(xué)問，使問題畫繁為簡(jiǎn)，華難為易.

方法二數(shù)形結(jié)合的思想方法

正確利用數(shù)形結(jié)合，應(yīng)留意三個(gè)原則：

(1)等價(jià)性原則

數(shù)形信息的轉(zhuǎn)換應(yīng)當(dāng)是等價(jià)的、充要的.要留意由于圖形的直觀性，往往可以成為嚴(yán)格推證的啟導(dǎo)，但有時(shí)不能完

整表現(xiàn)數(shù)的一般性，考慮問題可能不完備.

(2)雙向性原則

數(shù)形結(jié)合的含意是雙向的，即考慮問題既留意代數(shù)問題幾何化，也留意幾何問題代數(shù)化，而不僅僅指前者.

(3)簡(jiǎn)潔性原則

有了解題思路，思索用幾何方法，還是代數(shù)方法，還是兩者兼而用之，要取決于解題的簡(jiǎn)潔性原則，而不能形而上

學(xué)地讓幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化成為一種機(jī)械模式.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的途徑主要有三條：

第一，以形助數(shù)：把一些數(shù)式的幾何意義明朗化，構(gòu)造出解題的幾何模型，突顯問題的直觀性，使解題思路變得形

像而通暢；

其次，以數(shù)助形：利用幾何圖形或圖像圖表中隱含的數(shù)式特征，構(gòu)造出解題的代數(shù)模型(必要時(shí)建立坐標(biāo)系)，突顯

問題的本質(zhì)，另辟解題的捷徑；

第三，數(shù)形互助：依據(jù)問題的須要，將以形助數(shù)和以數(shù)助形二方面結(jié)合運(yùn)用.

數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用是廣泛的，數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)主要集中在以下幾個(gè)方面：

1.探討函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、值域與最值等)，可從函數(shù)圖像的直觀性得到顯明的啟示.

2.利用數(shù)軸與坐標(biāo)系(包括直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系)，使數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，使函數(shù)與圖像、方程與曲線結(jié)合，使代數(shù)與幾

何聯(lián)結(jié).這樣，可利用坐標(biāo)或向量的運(yùn)算，探究幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)；利用函數(shù)圖像與方程曲線的直觀性，探究函數(shù)或

方程的性質(zhì).

3.從統(tǒng)計(jì)圖表、圖像中，收集分析出“數(shù)”的信息，由破譯的數(shù)量關(guān)系建立代數(shù)模型，探究相關(guān)的結(jié)論.這類數(shù)形

信息的轉(zhuǎn)換實(shí)力是近年高考的新亮點(diǎn).

4.三角函數(shù)與單位圓、三角函數(shù)曲線的聯(lián)系.

5.復(fù)平面與復(fù)數(shù)、向量的溝通.

6.利用類比法、換元法(如三角換元)、構(gòu)造法、坐標(biāo)法等構(gòu)造代數(shù)問題的幾何模型、幾何問題的代數(shù)模型，開拓解

題的新思路.

【例1】(12年上海模擬)若函數(shù)y=/(x)(xeR)滿意/(x—2)=f(x),且時(shí)，f(x)=\-x2,函數(shù)

Ig(-r-l),x>1

^(x)=-,x<0,則函數(shù)/?(x)=/(x)-g(x)在區(qū)間［-5,6］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

x

0,0<%<1

【答案】9

【解】由題意，干脆求解會(huì)很麻煩，且不易得到正確的答案，所以該題中求/z(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化

為求為X)與g(x)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn).則畫出為X)與g(x)的圖像,由于/1(X)在上為為X)=l-》2,且為周期函

數(shù),周期為2,而g(x)是分段函數(shù)，留意其圖像共分為三部分,如圖，可等共有9個(gè)交點(diǎn),其中有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，即其中1個(gè)交

點(diǎn)為(1,0)很簡(jiǎn)潔被遺漏.

【點(diǎn)評(píng)】要求/z(x)=/(x)-〃(x)在區(qū)間［-5,6］內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求/(x)與〃(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以作

出圖形，視察圖形易得交點(diǎn)的個(gè)數(shù).本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，正是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的途徑中的以形助

數(shù).

【例2】函數(shù)y=/(x)的圖像為圓心在原點(diǎn)的兩段圓弧，試解不等式?r)>_A—x)十X.

【解】解法一：(以數(shù)助形)

由題意及圖像，有［也不-0<x-',

［-Vl-x2-1<x<0

(1)當(dāng)0<XW1時(shí),小)次~x)+x得71-X2>—-(-x)2+%,解得0<x<—^―;

(2)當(dāng)一lWxvO時(shí)，得一—+x,解得一IWXV一號(hào)

原不等式的解集為［-1,--y-)U(O,q).

解法二：(數(shù)形互助)

由圖象知人x)為奇函數(shù)，原不等式為＜x)＞］,而方程火x)=］的解為廣土孚，據(jù)圖像可知原不等式解集

為［-1,-竽)U(0,孚).

【點(diǎn)評(píng)】本題以形看數(shù)(解式，奇偶性)，以數(shù)解形(曲線交點(diǎn)A、B),最終以形解數(shù)(不等式)，這才是真正意義

上的數(shù)形結(jié)合，揚(yáng)長避短.

方法三分類探討的思想方法

1.通常引起分類探討的緣由，大致可歸納為如下幾點(diǎn)：

(D涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；

(2)涉及運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；

(3)涉及題中所給的限制條件或探討對(duì)像的性質(zhì)而引起的；

(4)涉及數(shù)學(xué)問題中參變量的不同取值導(dǎo)致不同結(jié)果而引起的；

(5)涉及的幾何圖形的形態(tài)、位置的改變而引起的；

(6)一些較困難或特別規(guī)的數(shù)學(xué)問題，須要采納分類探討的解題策略解決的.

2.分類探討的步驟一般可分為以下幾步：

(1)確定探討的對(duì)像及其范圍；

(2)確定分類探討的標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；

(3)逐類探討，分級(jí)進(jìn)行；

(4)歸納整合，作出結(jié)論.

其中最重要的一條是“不漏不重”,學(xué)生必需對(duì)相關(guān)學(xué)問點(diǎn)或涉及的概念、定義、定理相當(dāng)清晰，對(duì)于一些結(jié)論成

立的條件駕馭堅(jiān)固，這樣才能在解題時(shí)思路清晰，才能知道何時(shí)必需進(jìn)行分類探討，而何時(shí)無須探討，從而可以知道怎

樣進(jìn)行分類探討.

【例1】(12年上海二模)點(diǎn)。(x,y)是函數(shù)—1圖像上的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P(0,5),則P、。兩點(diǎn)之間距離的

最小值是.

【答案】而

【解】①當(dāng)5—1<0時(shí)，>'=l-y,|P2|2=x2+(y-5)2=(y-6)2-9.

了—6=±3時(shí)，即y=9或y=3,|P0取最小值0,但/=2-2y都為負(fù)數(shù)，.?.不成立；

22

②當(dāng)、一120時(shí)，y=]—1，歸?！?/+()'-5)2=(曠-4)2+11.當(dāng)丫=4時(shí)，歸。取最小值為而.綜上所述，P、

。兩點(diǎn)之間距離的最小值為而.

【點(diǎn)評(píng)】由于題中給出的是肯定值函數(shù)，須要利用分類探討的思想去掉肯定值，然后再求解.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念是

分類定義的而引起的分類探討.

【例2】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項(xiàng)和S“>0(w=l,2,3,),求q的取值范圍.

【分析】在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q=l和qNl兩種狀況.

【解】｛4｝是等比數(shù)列,且前“項(xiàng)和S“>0(〃=1,2,3,?),

,q=5]>0,且q。0

當(dāng)夕=1時(shí)，SH—nax>0；

4~)〉0,即上《

當(dāng)qwl時(shí)，S“二>05=1,2,3,).

i-q「q

]_/>0l-q"<0

上式等價(jià)于①或②,

1—q>0l—q<0

由①得q>l,由②得一1<4<1,

q的取值范圍為(一1,0)_(0,討).

【點(diǎn)評(píng)】本題正是分類探討中運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的體現(xiàn).

2x+a,x<1,

【例4】已知實(shí)數(shù)。/0,函數(shù)f(x)=若/(I—a)=〃l+〃)，則〃的值為

-x-2a,x>1.

3

【答案】—

4

【解】首先探討1—a,1+a與1的關(guān)系.

當(dāng)a>0時(shí)，1—a<l,1+av1,所以/(1—a)=—(1—〃)一=—1—a；

/(l+Q)=2(l+a)+a=3a+2.

3

因?yàn)?(1一a)=/(l+a),所以一l-a=3a+2,所以a=—

當(dāng)a<0時(shí)，l-a>l,\+a>\,所以/(l-a)=2(l-a)+a=2-a；

/(l+a)=-(1+ci)—2a=-3a—1.

3

因?yàn)?(1一a)=/(l+a),所以2—。=一3。一1,所以a=-j(舍去).

綜上，滿意條件的。=-23.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題的解題關(guān)鍵在于探討1-a,1+a與1的關(guān)系，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中參變量的不同取值導(dǎo)致不同結(jié)

果而引起的分類探討.

方法四概括歸納的思想方法

概括是在思維中將同一種類型的對(duì)像共同的本質(zhì)屬性集中起來，結(jié)合為一般類型的屬性.歸納是一種邏輯型的思維

形態(tài)，是從幾個(gè)特殊情形做出一般結(jié)論的不完全的屬性.一類是性質(zhì)和法則的歸納，如數(shù)列的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算的法

則的歸納過程；另一類是解題方法的歸納，如向量在物理中的應(yīng)用等；第三類是歸納猜想，如由表格所給數(shù)據(jù)歸納幾個(gè)

連續(xù)奇數(shù)的和等.

【例2】在數(shù)列｛4｝中，q=13,且前〃項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第"項(xiàng)的2〃-1倍(〃GN*).

(1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)歸納猜想｛a“｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【分析】(1)利用數(shù)列｛%｝前八項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第〃項(xiàng)的2"T倍，推出關(guān)系式，通過〃=2,3,4,5求出此

數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)通過(1)歸納出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.第一步驗(yàn)證〃=1成立；其次步，假設(shè)”=上

猜想成立，然后證明”=%+1時(shí)猜想也成立.

【解】(1)由已知q=-,q++:+_=(2n-l)a,分別取"=2,3,4,5,得a,=-a.,

3n-53x515

生=焉(4+%)=擊=/

%4(%+%+%)=為*,％=上(4+%+%+4)=出得，

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：4=—,。2=--，%=---，。4=--->%=--1

'3-15335463、99

(2)由(1)中的分析可以猜想對(duì)=-----!-------(neN*).

(2〃-1)(2〃+1)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃二1時(shí)，猜想明顯成立.

②假設(shè)當(dāng)且kGN*)時(shí)猜想成立，即4=-------------.

那么由已知，得"|+/+%++%+%”=Qk+1)&M,

攵+1

2

即—+。2+/++%=(2左2+3k)ak+l.所以(2公-k)ak=(2k+3k)ak+l,

即(2Z—l)a=(2%+3)4M，又由歸納假設(shè)，得(2左一1)--~~-=(2k+3)a,

(2k—1)(2Zc+1)k+1

所以%+1=—1~二——，即當(dāng)”=%+1時(shí)，猜想也成立?

*+,(2左+1)(24+3)

綜上①和②知，對(duì)一切“GN*,都有%=------'------成立.

”(2?-1)(2?+1)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，留意證明中必需用上假設(shè)，

考查計(jì)算實(shí)力，分析問題解決問題的實(shí)力.正是體現(xiàn)了概括歸納的思想方法.

方法五化歸與等價(jià)變換的思想方法

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題干脆求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)新問題(相對(duì)來說，對(duì)自己較熟識(shí)

的)，通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這一思想方法我們稱之為“轉(zhuǎn)換化歸思想”.而轉(zhuǎn)換化歸思想的基

本原則就是：化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化未知為己知.

1.利用轉(zhuǎn)換化歸思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)必需明確三個(gè)問題：

(1)把什么東西進(jìn)行轉(zhuǎn)換化歸，即化歸對(duì)像；

(2)化歸轉(zhuǎn)換到何處，即化歸轉(zhuǎn)換的目的；

(3)如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換化歸，即轉(zhuǎn)換化歸的方法.

2.化歸與轉(zhuǎn)化常遵循以下幾個(gè)原則.

(1)目標(biāo)簡(jiǎn)潔化原則：將困難的問題向簡(jiǎn)潔的問題轉(zhuǎn)化；

(2)和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行,

使問題的條件和結(jié)論更勻稱和恰當(dāng)；

(3)熟識(shí)化原則：將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的學(xué)問、閱歷和問題來解決；

(4)直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決；

(5)正難則反原則：即當(dāng)問題正面探討遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解.

3.轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法

(1)干脆轉(zhuǎn)化法：把問題干脆轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.

（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降基等，把較困難的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為

易于解決的基本問題.

（3）數(shù)形結(jié)合法：探討原問題中數(shù)量關(guān)系（解式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過相互變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.

（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.

（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑.

（6）類比法：運(yùn)用類比推理，揣測(cè)問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑.

（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題.

（8）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的.

（9）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充

分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，比如在證明不等式時(shí)：原命題往往難以得證，這時(shí)常把結(jié)論加強(qiáng),

使之成為原命題的充分條件，從而易證.

（10）補(bǔ)集法：假如下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A,而包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為

全集U,通過解決全集U及補(bǔ)集CuA使原問題得以解決.

化歸與等價(jià)變換的思想方法所涉及到的詳細(xì)問題許多許多，假如不斷努力地用這種方法去解決一些數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)

范疇以外的問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)事半功倍的奇妙效果.

【例1】設(shè)x、yGR且3x?+2）a=6x,求/+;/的范圍.

【解】方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化法（轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題）

由6%-2丁=3/》。得0WxW2.

設(shè)％=f+y2,則y2=%—/，代入已知等式得：/-6%+2%=0,

1,

即上=一一X2+3X,其對(duì)稱軸為X=3.

2

由0WxW2得女e[0,4].

所以f+y?的范圍是:0WX?+W4.

方法二：數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解幾何問題）：

由3d+2y2=6x得—=即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)./+丁的范圍就是橢圓上

2

的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn).設(shè)圓方程為

x2+y2^k,代入橢圓中消y得/-6%+2左=0.由判別式A=36-8Z=0得&=4,所以/+產(chǎn)的范圍是：

0<x2+y2<4.

方法三：三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）:

2|x-l=cosa

由3/+2產(chǎn)=6%得（x—iy+4=l,設(shè)，76，則

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