第十四講 第十四講 幾何圖形剪拼幾何圖形剪拼主要包括圖形的分割與拼接兩方面．無論是分割還是拼接，圖形的面積都是保持不變的，既不能憑空多出一塊，也不能有任何一塊無故消失．本講主要考察對于圖形的直觀感覺與判斷，所以大家要勤于動手，勇于實(shí)踐，擅于總結(jié)規(guī)律，這才是解決圖形剪拼問題的法寶．例題1請?jiān)趫D中標(biāo)出分割線，把圖形沿格線分割成形狀、大小都相同的四個(gè)部分．（如果兩個(gè)圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合，就認(rèn)為它們的形狀、大小是相同的）．分析：圖中有16個(gè)小正方形，我們要沿格線把圖分割成4個(gè)相同的部分，每個(gè)部分就都應(yīng)該由4個(gè)小正方形組成．4個(gè)小正方形能組成哪些圖形呢？練習(xí)1請?jiān)趫D中標(biāo)出分割線，把圖形沿格線分割成形狀、大小都相同的四個(gè)部分．（如果兩個(gè)圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合，就認(rèn)為它們的形狀、大小是相同的）．例題2下圖是由五個(gè)相同大小的小正方形拼成的．請把圖形分別剪成四個(gè)形狀、大小都相同的圖形．分析：題目中沒有說要沿著格線分割，所以可以嘗試著把圖形畫出格線再進(jìn)行分割．練習(xí)2下圖是由一個(gè)正方形和一個(gè)等腰直角三角形拼成的圖形．請把這個(gè)圖形剪成四個(gè)形狀、大小都相同的圖形．在圖形分割中，除了利用面積保持不變的特點(diǎn)，我們往往還會利用圖形的對稱性來分割．常見的對稱性有以下兩種：（1）軸對稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做這個(gè)圖形的對稱軸．下圖是一些常見的軸對稱圖形，其中虛線是對稱軸．（2）旋轉(zhuǎn)對稱：如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形．特別地，如果圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與自身完全重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形，這一點(diǎn)叫做圖形的對稱中心．下圖是一些旋轉(zhuǎn)對稱圖形，虛線表示某一方向旋轉(zhuǎn)的角度．例題3從一張邊長為7厘米的正方形紙片中，最多能裁出多少個(gè)長4厘米、寬1厘米的長方形紙條？請畫圖說明剪裁方法．分析：大正方形的面積是平方厘米，小長方形的面積是平方厘米．由于，因此似乎最多能裁出12個(gè)這樣的長方形．真的能裁出12個(gè)長方形嗎？練習(xí)3從一張長10厘米、寬8厘米的長方形紙片中，最多能裁出多少個(gè)長5厘米、寬3厘米的長方形紙條？請畫圖說明剪裁方法．例題4將下圖分割成大小、形狀都相同的四部分，使得每一塊中都有A、B、C、D各一個(gè)．CCDDBCDAAABBBACCD分析：每塊中有A、B、C、D各1個(gè)，所以相鄰的兩個(gè)字母如果相同，它們之間一定有一條分割線，我們可以先畫出在相鄰字母之間的分割線，如左圖．注意到正方形可以按照旋轉(zhuǎn)分割的方法分割成大小、形狀都相同的四部分，如右圖．每條分割線繞中心旋轉(zhuǎn)90度后仍是一條分割線．我們可以在左圖中試著畫出這樣旋轉(zhuǎn)對稱的分割線．CCDDBCDAAABBBACCD練習(xí)4將下面的圖形分割成形狀、大小都相同的四部分，使得每一塊中都有A、B、C、D各一個(gè)．CCDCBBBAAAABCDCDD例題5將左圖分割成三部分，拼成右圖的正方形．請?jiān)谧髨D中畫出分割線，在右圖中畫出拼接線．4474133分析：左圖的面積是多少？拼成的正方形的邊長是多少？如果兩個(gè)圖形的每邊長度都是整數(shù)，能否把它們看成是由若干個(gè)邊長為1的小正方形組成的圖形呢？例題6左圖是一塊（單位：厘米）的長方形紙片．現(xiàn)在要沿虛線將它分割成三部分，再拼成右圖所示的邊長為35厘米的正方形紙片．請?jiān)谧髨D中畫出分割線，在右圖中畫出拼接線．在這里，虛線劃分成的小長方形的大小均為（單位：厘米）．分析：怎樣的分割線才可以橫向去掉14厘米，同時(shí)縱向增加10厘米呢？課堂內(nèi)外課堂內(nèi)外幾何能直觀地利用圖形描述問題和分析問題．把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果．簡單地說：就是指依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、想象．?dāng)?shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離．

——華羅庚如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法．——斯蒂恩（美國數(shù)學(xué)家）.數(shù)形結(jié)合思想作業(yè)如圖，請把圖形沿格線分割成形狀、大小都相同的四個(gè)部分，并在圖中標(biāo)出分割線．（如果兩個(gè)圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合，就認(rèn)為它們的形狀、大小是相同的）

○○○○○如圖，請把右圖沿格線分成形狀、大小都相同的五部分，使得每部分都恰好含有一個(gè)“○”．○○○○○如圖，從一張邊長為10厘米的正方形紙片中，最多能裁出多少個(gè)長4厘米、寬2厘米的長方形紙條？請畫圖