PAGEPAGE1第1講基礎(chǔ)小題部分一、選擇題1．(2024·高考全國卷Ⅲ)若sinα＝eq\f(1,3)，則cos2α＝ ()A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)解析：∵sinα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9).故選B.答案：B2．(2024·高考天津卷)將函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,5))的圖象向右平移eq\f(π,10)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù) ()A．在區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上單調(diào)遞增B．在區(qū)間[－eq\f(π,4)，0]上單調(diào)遞減C．在區(qū)間[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增D．在區(qū)間[eq\f(π,2)，π]上單調(diào)遞減解析：y＝sin(2x＋eq\f(π,5))＝sin2(x＋eq\f(π,10))，將其圖象向右平移eq\f(π,10)個單位長度，得到函數(shù)y＝sin2x的圖象．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.令k＝0，可知函數(shù)y＝sin2x在區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上單調(diào)遞增．故選A.答案：A3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝ A.eq\f(2π,3) B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析：由3sinA＝5sinB，得3a＝5b又因?yàn)閎＋c＝2a所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\f(5,3)b2＋b2－\f(7,3)b2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).答案：A4．若先將函數(shù)y＝sin(4x＋eq\f(π,6))圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，則所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是 ()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,2)解析：由題意知變換后的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，易知其一條對稱軸的方程為x＝eq\f(π,2)，故選D.答案：D5．(2024·湘中名校高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，ω>0，x∈R，且f(α)＝－eq\f(1,2)，f(β)＝eq\f(1,2).若|α－β|的最小值為eq\f(3π,4)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．[－eq\f(π,2)＋2kπ，π＋2kπ]，k∈ZB．[－eq\f(π,2)＋3kπ，π＋3kπ]，k∈ZC．[π＋2kπ，eq\f(5π,2)＋2kπ]，k∈ZD．[π＋3kπ，eq\f(5π,2)＋3kπ]，k∈Z解析：由f(α)＝－eq\f(1,2)，f(β)＝eq\f(1,2)，|α－β|的最小值為eq\f(3π,4)，知eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)，即T＝3π＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(2,3)，所以f(x)＝sin(eq\f(2,3)x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(2,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,2)＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故選B.答案：B6．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則 ()A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4解析：∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－eq\f(1－cos2x,2)＋2＝eq\f(3,2)cos2x＋eq\f(5,2)，∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4.故選B.答案：B7．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB·(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，則△ABC為()A．等邊三角形B．鈍角三角形C．銳角非等邊三角形D．等腰直角三角形解析：由2acosB＝c?2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c?a2＝b2，所以a＝b.因?yàn)閟inAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2eq\f(C,2)＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因?yàn)閏osC≠2，所以sinAsinB＝eq\f(1,2)，因?yàn)閍＝b，所以sin2A＝eq\f(1,2)，所以A＝B＝eq\f(π,4)，所以C＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰直角三角形，故選D.答案：D8．三角函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＋cos2x的振幅和最小正周期分別是 ()A.eq\r(3)，eq\f(π,2) B.eq\r(3)，πC.eq\r(2)，eq\f(π,2) D.eq\r(2)，π解析：f(x)＝sineq\f(π,6)cos2x－coseq\f(π,6)sin2x＋cos2x＝eq\f(3,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos2x－\f(1,2)sin2x))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，故選B.答案：B9．已知f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，若將它的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸的方程為 ()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,2)解析：由題意知g(x)＝2sin[2(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝2sin(2x－eq\f(π,6))，令2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(π,3)＋eq\f(k,2)π，k∈Z，當(dāng)k＝0時，x＝eq\f(π,3)，即函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸的方程為x＝eq\f(π,3)，故選C.答案：C10．(2024·昆明模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若滿意c＝eq\r(2)，acosC＝csinA的△ABC有兩個，則邊長BC的取值范圍是()A．(1，eq\r(2)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2) D．(eq\r(2)，2)解析：因?yàn)閍cosC＝csinA，由正弦定理得sinAcosC＝sinCsinA，易知sinA≠0，故tanC＝1，所以C＝eq\f(π,4).過點(diǎn)B作AC邊上的高BD(圖略)，垂足為D，則BD＝eq\f(\r(2),2)BC，要使?jié)M意條件的△ABC有兩個，則BC>eq\r(2)>eq\f(\r(2),2)BC，解得eq\r(2)<BC<2.故選D.答案：D11．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的最小正周期是π，若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度后所得的函數(shù)圖象過點(diǎn)P(0，1)，則函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) ()A．在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞減B．在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞增C．在區(qū)間[－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)]上單調(diào)遞減D．在區(qū)間[－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)]上單調(diào)遞增解析：依題意得ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，平移后得到函數(shù)y＝sin(2x＋φ＋eq\f(2π,3))的圖象，且過點(diǎn)P(0,1)，所以sin(φ＋eq\f(2π,3))＝1，因?yàn)椋校鸡眨?，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))，易知函數(shù)f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞增，故選B.答案：B12．張曉華同學(xué)騎電動自行車以24km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點(diǎn)B時與電視塔S的距離是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km解析：畫出示意圖如圖，由條件知AB＝24×eq\f(15,60)＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(ABsin30°,sin45°)＝3eq\r(2).答案：B二、填空題13．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)＝________.解析：由正弦定理得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2·eq\f(sinA,sinC)·cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(52＋62－42,2×5×6)＝1.答案：114．(2024·高考江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，則φ的值為________．解析：由函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，得sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝±1，因?yàn)椋璭q\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)＋φ<eq\f(7π,6)，則eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(π,6).答案：－eq\f(π,6)15．(2024·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)＞0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx有下列命題：①若存在x1，x2有x1－x2＝π，則f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞增；③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(π,12)，0)中心對稱；④將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(5π,12)個單位后將與y＝2sin2x的圖象重合．其中正確命題的序號是________．(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)解析：f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx＝2cos