2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)

常用邏輯用語[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系、判定定理與充分條件的關(guān)系以及數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.知識梳理1.充分條件、必要條件與充要條件的概念p是q的

條件p?q,且q

pp是q的

條件p

q,且q?pp是q的

條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p

q,且q

p必要不充分充要充分不必要釋疑充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p是q的充分條件,則A?B;④若p是q的充要條件,則A=B.口訣:小充分,大必要.知識梳理2.全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“

”表示.含有

的命題,叫做全稱量詞命題.(2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“

”表示.含有

的命題,叫做存在量詞命題.?全稱量詞?存在量詞知識梳理3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含量詞命題含量詞命題的否定結(jié)論?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)存在量詞命題的否定是

命題?x∈M,p(x)?x∈M,﹁p(x)全稱量詞命題的否定是

命題全稱量詞存在量詞基礎(chǔ)自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)設(shè)集合A={1,3,5,7},B={1,3},則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件.(

)(2)“三角形的內(nèi)角和180°”是全稱量詞命題.(

)(3)當(dāng)p是q的充要條件時,也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

)(4)“?x∈M,p(x)”與“?x∈M,﹁p(x)”的真假性相反.(

)×√√√基礎(chǔ)自測2.(人教A版必修第一冊P30例4改編)已知命題p:?x∈R,x3+1=0,則﹁p為(

)[A]?x∈R,x3+1≠0[B]?x∈R,x3+1=0[C]?x∈R,x3+1≠0[D]?x?R,x3+1=0C【解析】命題p:?x∈R,x3+1=0,則﹁p:?x∈R,x3+1≠0.故選C.基礎(chǔ)自測3.(人教A版必修第一冊P34復(fù)習(xí)參考題1T5改編)已知a,b,c∈R,則“a=b”是“ac2=bc2”的(

)[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件A【解析】若a=b,則ac2=bc2,即充分性成立;若ac2=bc2,例如a=1,b=－1,c=0,可得ac2=bc2=0,滿足題意,但a≠b,即必要性不成立.綜上所述,“a=b”是“ac2=bc2”的充分不必要條件.故選A.基礎(chǔ)自測4.(人教A版必修第一冊P35復(fù)習(xí)參考題1T7改編)下列命題的否定中,是全稱量詞命題且為真命題的有(

)C基礎(chǔ)自測考點(diǎn)一充分、必要條件的判斷[例1](1)已知p:|x－1|<2,q:x+2≥0,則p是q的(

)[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件AC[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法:根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.解題策略(1)(2025·山東濟(jì)寧模擬)已知a∈R,若集合M={1,a},N={0,1,2},則“a=0”是“M?N”的(

)[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件[針對訓(xùn)練]A[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件B考點(diǎn)二充分、必要條件的應(yīng)用D[例2](1)(2025·山東濟(jì)南模擬)已知A={x|1<x<2},B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,則a的取值范圍是(

)[A](－∞,1] [B][1,+∞)[C](－∞,2] [D][2,+∞)(2)(多選題)(2025·四川達(dá)州模擬)“關(guān)于x的不等式ax2－2ax+1>0對?x∈R恒成立”的必要不充分條件有(

)[A]0≤a<1 [B]0<a<1[C]－1≤a<1 [D]－1<a<2CD【解析】(2)關(guān)于x的不等式ax2－2ax+1>0對?x∈R恒成立,當(dāng)a=0時,不等式為1>0,滿足題意;當(dāng)a≠0時,則必有a>0且Δ=(－2a)2－4a×1<0,解得0<a<1.綜上,a的取值范圍為{a|0≤a<1}.故“關(guān)于x的不等式ax2－2ax+1>0對?x∈R恒成立”的必要不充分條件所對應(yīng)的集合真包含集合{a|0≤a<1},考查選項(xiàng)知C,D滿足條件.故選CD.解題策略(1)對于充分、必要條件的探求,一般轉(zhuǎn)化為集合問題.根據(jù)“小充分、大必要”判斷求解其充分、必要條件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“沒它不行”.(2)求參數(shù)問題的解題策略.①把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解;②要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).[針對訓(xùn)練]D(1)方程ax2+bx+c=0兩根異號的一個充分不必要條件是(

)[A]ab<0 [B]ac>0[C]ac<0 [D]a=1,b=2,c=－3考點(diǎn)三全稱量詞命題與存在量詞命題B[例3](1)命題“?a>1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為(

)[A]?a>1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減[B]?a>1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增[C]?a≤1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減[D]?a≤1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增【解析】(1)因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題,所以命題“?a>1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為“?a>1,函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增”.故選B.B(2)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知命題p:?x∈R,|x+1|>1;命題q:?x>0,x3=x,則(

)[A]p和q都是真命題[B]﹁p和q都是真命題[C]p和﹁q都是真命題[D]﹁p和﹁q都是真命題【解析】(2)對于p,取x=－1,則有|x+1|=0<1,故p是假命題,﹁p是真命題,對于q,取x=1,則有x3=13=1=x,故q是真命題,﹁q是假命題,綜上,﹁p和q都是真命題.故選B.[A](0,4) [B](1,5)[C](－∞,3) [D](－∞,4)C解題策略(1)含量詞命題的否定,一是要改寫量詞,二是要否定結(jié)論.(2)判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個x,使p(x)成立即可.(3)由命題真假求參數(shù)的取值范圍,一是直接由命題的含義,利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍;二是利用等價命題,即p與﹁p的關(guān)系,轉(zhuǎn)化成由﹁p

的真假求參數(shù)的取值范圍.[針對訓(xùn)練]B(1)(2025·河南鄭州模擬)命題“?x>0,x2+x－1>0”的否定是(

)[A]?x>0,x2+x－1>0[B]?x>0,x2+x－1≤0[C]?x≤0,x2+x－1>0[D]?x≤0,x2+x－1≤0【解析】(1)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題,即命題“?x>0,x2+x－1>0”的否定為“?x>0,x2+x－1≤0”.故選B.AD(2)(多選題)(2025·內(nèi)蒙古呼倫貝爾模擬)下列命題是假命題的有(

)[A]?x∈R,x3≥0[B]?x∈R,x3=3[C]?x∈{－2,－1,0,1,2},|x－2|<2[D]?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解A(3)若命題“?x∈R,x2－4x+a≠0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)[A](－∞,4] [B](－∞,4)[C](－∞,－4) [D][－4,+∞)【解析】(3)因?yàn)椤?x∈R,x2－4x+a≠0”為假命題,所以“?x∈R,x2－4x+a=0”是真命題,即方程x2－4x+a=0有實(shí)數(shù)根,則Δ=(－4)2－4a≥0,解得a≤4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,4].故選A.[選題明細(xì)表]單選每題5分,多選每題6分.知識點(diǎn)、方法題號充分、必要條件2,5,7,9,11,12,13全稱量詞命題與存在量詞命題1,3,4,6,8,10,14,15基礎(chǔ)鞏固練D2.(2025·廣東湛江模擬)已知a,b均為實(shí)數(shù),則“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的(

)[A]充要條件[B]必要不充分條件[C]充分不必要條件[D]既不充分也不必要條件D【解析】因?yàn)閍2=b2,所以a=±b,由a2+ab=2b2,得(a－b)(a+2b)=0,得a=b或a=－2b,所以“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的既不充分也不必要條件.故選D.D3.(2025·山東濰坊模擬)十七世紀(jì),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“對任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解”,經(jīng)歷三百多年,數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明,使它終成費(fèi)馬大定理,則費(fèi)馬大定理的否定為(

)[A]對任意正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn都沒有正整數(shù)解[B]對任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解[C]存在正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解[D]存在正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,故只有D滿足題意.故選D.A4.若“?x∈M,|x|>6”為真命題,“?x∈M,x<5”為假命題,則集合M可以是(

)[A]{x|x>6} [B]{x|x<－6}[C]{x|x<6} [D]{x|x>－6}【解析】“?x∈M,x<5”為假命題,則其否定“?x∈M,x≥5”為真命題.對A,M={x|x>6},則|x|>6,滿足“?x∈M,|x|>6”,也滿足“?x∈M,x≥5”,故A正確;對B,M={x|x<－6},則其不滿足“?x∈M,x≥5”,故B錯誤;對C,M={x|x<6},舉例x=2,此時|x|<6,不滿足“?x∈M,|x|>6”,C錯誤;對D,M={x|x>－6},舉例x=2,此時|x|<6,不滿足“?x∈M,|x|>6”,D錯誤.故選A.B5.若x,y∈R,則“x<|y|”是“x2<y2”的(

)[A]充分不必要條件[B]必要不充分條件[C]充要條件[D]既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)x<0,且|x|>|y|時,x2<y2不成立,所以是不充分條件;當(dāng)x2<y2時,即|x|<|y|,則必有x<|y|,所以是必要條件.故選B.6.(多選題)下列說法正確的是(

)[A]命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題[B]命題“?x∈R,x2+2<0”是全稱量詞命題[C]命題“?x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量詞命題[D]命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是存在量詞命題,且是真命題BCD【解析】A中命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題,故A錯誤;B中命題“?x∈R,x2+2<0”是全稱量詞命題,故B正確;C中命題“?x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量詞命題,故C正確;D中命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”就是“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”是一個全稱量詞命題,這是一個假命題,因此其否定是存在量詞命題且是真命題,故D正確.故選BCD.7.(多選題)若p是q的充分不必要條件,q是s的必要條件,t是q的必要條件,t是s的充分條件,則(

)[A]t是p的必要不充分條件[B]t是q的充要條件[C]p是s的充要條件[D]q是s的充要條件ABD【解析】因?yàn)閠是q的必要條件,t是s的充分條件,q是s的必要條件,所以q?t?s,且s?q,則q?t?s,所以B,D正確.因?yàn)閝?t?s,且p是q的充分不必要條件,所以p是s的充分不必要條件,t是p的必要不充分條件,所以A正確,C不正確.故選ABD.?x∈R,?n∈N*,n≤x28.(5分)(2025·內(nèi)蒙古赤峰模擬)命題“?x∈R,?n∈N*,n>x2”的否定是“

”.

【解析】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知,命題“?x∈R,?n∈N*,n>x2”的否定是“?x∈R,?n∈N*,n≤x2”.[－5,0]9.(5分)若不等式|x+a|≤3成立的一個充分不必要條件是2≤x≤3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍