湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．2．若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能確定3．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列0，，，，…的一個通項(xiàng)公式是()A． B．C． D．5．已知，，的實(shí)部與虛部相等，則（）A．2 B． C．2 D．6．為了了解我校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．12 B．24 C．48 D．567．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，左式為在驗(yàn)證時，左邊所得的代數(shù)式為（）A．B．C．D．9．如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．已知圖中直角三角形兩個直角邊的長分別為2和1．若從圖中任選一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．10．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．1011．函數(shù)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線,則的圖象的頂點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)，測出、的距離是，，，則、兩點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是__________．14．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的數(shù)值范圍為________.16．若，分別是橢圓：短軸上的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，.（1）若，①求的值；②猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，證明：當(dāng)時，.18．（12分）已知橢圓：，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.20．（12分）為了紀(jì)念國慶70周年,學(xué)校決定舉辦班級黑板報主題設(shè)計大賽,高二某班的同學(xué)將班級長米、寬米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分:取中點(diǎn),連接,以為對稱軸,過兩點(diǎn)作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點(diǎn),作垂足為,作交于點(diǎn).在四邊形內(nèi)設(shè)計主題,其余區(qū)域用于文字排版,設(shè)的長度為米.(1)求長度的表達(dá)式,并寫出定義域；(2)設(shè)四邊形面積為,求當(dāng)為何值時,取最大值,最大為多少平方米?21．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，⊥平面且.(1)求證：平面⊥平面；(2)若設(shè)與平面所成夾角為，且，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】試題分析：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結(jié)論．解：如圖所示：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)線．3、A【解析】

本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．4、A【解析】在四個選項(xiàng)中代n=2,選項(xiàng)B,D是正數(shù)，不符，A選項(xiàng)值為，符合,C選項(xiàng)值為，不符．所以選A.對于選擇題的選項(xiàng)是關(guān)于n的關(guān)系式，可以考慮通過賦特殊值檢驗(yàn)法，來減少運(yùn)算，或排除選項(xiàng)．5、C【解析】

利用待定系數(shù)法設(shè)復(fù)數(shù)z，再運(yùn)用復(fù)數(shù)的相等求得b.【詳解】設(shè)（），則即.故選C.本題考查用待定系數(shù)法，借助復(fù)數(shù)相等建立等量關(guān)系，是基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，第組的頻數(shù)為，前組的頻率和為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖與頻數(shù)．7、B【解析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內(nèi)函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．8、B【解析】試題分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，左式為在驗(yàn)證時，左邊所得的代數(shù)式應(yīng)為；故選B考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法．9、C【解析】

直接根據(jù)幾何概型計算得到答案.【詳解】，，故.故選：.本題考查了幾何概型，意在考查學(xué)生的計算能力.10、C【解析】分析：先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據(jù)題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點(diǎn)睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應(yīng)的圖形表示出來，之后應(yīng)用定積分求得結(jié)果，正確求解積分區(qū)間是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】

設(shè)，則，由圖可知，從而可得頂點(diǎn)在第一象限.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過原點(diǎn)，所以可設(shè)，，由圖可知,，則函數(shù)的頂點(diǎn)在第一象限，故選A.本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，考查了直線與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.12、A【解析】

利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【詳解】由三角形的內(nèi)角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故選：A本題考查了正弦定理在生活中的應(yīng)用，需熟記正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題可知有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,再根據(jù)二次函數(shù)的判別式法求解即可.【詳解】由題,有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,故,即,解得或.故的取值范圍是.故答案為：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)范圍的問題,同時也考查了二次函數(shù)的根的分布問題,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

作出函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)f（a）=f（b）=t，根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可．【詳解】作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：設(shè)f（a）=f（b）=t，則0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，則f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，則a=lnt，b=（t+1），則a﹣2b=lnt﹣t﹣1，設(shè)g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（t）=﹣1=，則當(dāng)0＜t≤時g′（t）＞0，此時函數(shù)g（t）為增函數(shù)，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即實(shí)數(shù)a﹣2b的取值范圍為（﹣∞，﹣﹣2]，故答案為：（﹣∞，﹣﹣2]．本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．15、.【解析】

根據(jù)在上的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】依題意可知且，所以.由于在上遞增，所以即，解得.故答案為：本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16、2【解析】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．由題意得，解得．答案：2點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①；；②(2)見證明【解析】

（1）①根據(jù)遞推公式，代入求值即可；②觀察已知的數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)其特征，先猜想其通項(xiàng)公式，之后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得結(jié)果；（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】(1)當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，②由此猜想：證明如下：①當(dāng)時，，成立；②假設(shè)當(dāng)時，猜想也成立，即,則當(dāng)時，.即當(dāng)時，猜想也成立．由①②得，猜想成立，即.()(2)當(dāng)時，即當(dāng)時，由知不等式成立．假設(shè)當(dāng)時，命題也成立，即.由即當(dāng)時，命題也成立．由①②得，原命題成立，即當(dāng)時，.該題考查的是數(shù)列的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)，根據(jù)已知的數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，屬于中檔題目.18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)直線l1的方程為y﹣1=k（x﹣1），根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率k，問題得以解決，（2）根據(jù)弦長公式分別求出|AB|，|CD|，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設(shè)，，則.∵中點(diǎn)為，∴，則.∴直線的方程為，即.（2）由（1）知.設(shè)直線的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調(diào)遞減，∴或.故或.即.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．19、（1）；（2）3【解析】

（1）利用零點(diǎn)分類討論法解不等式.(2)先化成分段函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)的圖像即得其最大值.【詳解】⑴①當(dāng)x＜-1時，；②當(dāng)-1≤x≤2時，，；③當(dāng)時，，；綜上，不等式的解集為；⑵，由其圖知，.(1)本題主要考查零點(diǎn)討論法解絕對值不等式，考查分段函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)分類討論是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想，要注意小分類求交，大綜合求并.20、(1)(2)當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求最值即可.【詳解】⑴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.所以,所以直線為因?yàn)閽佄锞€是以為對稱軸，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以因?yàn)?，所以，所以⑵因?yàn)?，，所以四邊形的面積設(shè)，由，解得：t1+0-↗極大值↘所以當(dāng)時，取極大值且是最大值答：當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為該題考查的是有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的問題，涉及到的知識點(diǎn)有求函數(shù)的解析式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題目.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用分段討論法去掉絕對值，求出不等式f（x）-f（2x+4）＜2的解集；（2）由絕對值不等式的意義求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出關(guān)于m的不等式，求解即可．【詳解】解：（1）由題知不等式，即，等價于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集為，，；（2）由題知，的最小值為3，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．本題考查了含有絕對值的不等式解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)題．22、(1)見解析;(2).【解析】

（1）根據(jù)已知可得和，由線面垂直判定定理可證平面，再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，設(shè)，以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夾角公式，計算即可得到所求的值.解法二：三垂線法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，過點(diǎn)F做FM⊥EC于M，連OM，由已知可以證明FO⊥面AEC，∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角，通過菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面積法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，根據(jù)已知條件計算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連結(jié)四邊形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：設(shè)，四邊形是菱形，，、為等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，⊥平面，，在中有，，，以為原點(diǎn)，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則所以，，設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)二面角的為，則結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1連接AC交BD于O，連接EO、FO菱形ABCD中，