北京市中央美術(shù)學院附屬實驗學校2024-2025學年數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量，，若，，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.362．已知復數(shù)z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i3．若，則下列結(jié)論中不恒成立的是（）A． B． C． D．4．若在曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”.下列方程：①②；③④對應的曲線中存在的“自公切線”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．7．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則(?UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}8．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．9．已知，，，則的大小關(guān)系為()．A． B． C． D．10．在正方體中，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A． B．與所成角為C．平面 D．與平面所成角的余弦值為11．由命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”可猜想：在表面積為定值的長方體中（）A．正方體的體積取得最大B．正方體的體積取得最小C．正方體的各棱長之和取得最大D．正方體的各棱長之和取得最小12．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）①；②；③；④14．在極坐標系中，過點并且與極軸垂直的直線方程是__________．15．數(shù)列的前n項和記為，則__________.16．正方體ABCD-A1B1C1D三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中國已經(jīng)成為全球最大的電商市場，但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構(gòu)隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人，對他們的主要購物方式進行問卷調(diào)查.現(xiàn)對調(diào)查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計，得到如下圖表：主要購物方式年齡階段網(wǎng)絡(luò)平臺購物實體店購物總計40歲以下7540歲或40歲以上55總計（1）根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法從通過網(wǎng)絡(luò)平臺購物的消費者中隨機抽取8人，然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設(shè)抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.臨界值表：18．（12分）已知都是正數(shù)（1）若，求證：；（2）若，求證：19．（12分）（12分）某同學參加3門課程的考試。假設(shè)該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為45，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p＞qξ

0

1

2

3

p

6125a

b

24125(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求數(shù)學期望Eξ。20．（12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有人獨立來該租車點則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望21．（12分）已知函數(shù)，.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實數(shù)的值；（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）為了研究廣大市民對共享單車的使用情況,某公司在我市隨機抽取了111名用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337831女6544621合計1187111451認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎共享單車”.(1)分別估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率；(2)請完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%把握,認為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).不喜歡騎共享單車喜歡騎共享單車合計男女合計附表及公式：k2=nP(1.151．111.151.1251.1111.1151.111k2.1722.7163.8415.1246.6357.87911.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由求出，進而，由此求出.【詳解】解：因為，，，所以，解得或（舍），由，所以.故選：A.本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】解：因為z=1-i，所以z23、D【解析】分析兩數(shù)可以是滿足，任意數(shù)，利用特殊值法即可得到正確選項．詳解：若，不妨設(shè)a代入各個選項，錯誤的是A、B，

當時，C錯．

故選D．點睛：利用特殊值法驗證一些式子錯誤是有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

化簡函數(shù)的解析式,結(jié)合函數(shù)的圖象的特征,判斷此函數(shù)是否有自公切線．【詳解】①是一個等軸雙曲線,沒有自公切線;②,在和處的切線都是,故②有自公切線;③此函數(shù)是周期函數(shù),過圖象的最高點的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線;④即結(jié)合圖象可得,此曲線沒有自公切線.故選:.本題考查命題的真假判斷與應用,考查學生的數(shù)形結(jié)合的能力,難度一般.5、C【解析】

利用導數(shù)研究函數(shù)y=的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】設(shè)y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當x∈（1，e）時，y′＞1，函數(shù)為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，y′＜1，函數(shù)為減函數(shù)．∴當x=e時，函數(shù)取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫出函數(shù)圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運用，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關(guān)鍵有兩點，其一是利用導數(shù)準確畫出函數(shù)的圖像，其二是化簡得到f（x）=m或f（x）=．6、C【解析】點是曲線上任意一點,所以當曲線在點P的切線與直線平行時，點P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點為.點到直線的距離最小值是.選C.7、A【解析】

先化簡已知條件,再求.【詳解】由題得,因為,,故答案為A本題主要考查集合的化簡，考查集合的補集和交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.8、B【解析】

由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．故選B.9、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】顯然，，，，因此最大，最小，故選A.本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用．10、C【解析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E與BF不垂直，故A錯誤；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F與BD所成角為90°，故B錯誤；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），?0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正確；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），設(shè)A1F與平面ABCD所成角為θ，則sinθ，∴cosθ．∴A1F與平面ABCD所成角的余弦值為，故D錯誤．故選：C．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．11、A【解析】

根據(jù)類比規(guī)律進行判定選擇【詳解】根據(jù)平面幾何與立體幾何對應類比關(guān)系：周長類比表面積，長方形類比長方體，正方形類比正方體，面積類比體積，因此命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”，類比猜想得：在表面積為定值的長方體中，正方體的體積取得最大，故選A.本題考查平面幾何與立體幾何對應類比，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用函數(shù)的周期求出的值，利用逆向變換將函數(shù)的圖象向左平行個單位長度，得出函數(shù)的圖象，根據(jù)平移規(guī)律得出的值.【詳解】由于函數(shù)的周期為，，則，利用逆向變換，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以，因此，，故選：C.本題考查正弦型函數(shù)周期的計算，同時也考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數(shù)解析式，可簡化計算，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為：對于曲線上任意一點，在曲線上存在著點使得，據(jù)此逐項判斷曲線是否為曲線.【詳解】①的圖象既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，且圖象是封閉圖形，所以對于任意的點，存在著點使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個夾角為的區(qū)域，當在雙曲線同一支上，此時，當不在雙曲線同一支上，此時，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對稱，連接，再過點作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.本題考查曲線與方程的新定義問題，難度較難.(1)對于新定義的問題，首先要找到問題的本質(zhì)：也就是本題所考查的主要知識點，然后再解決問題；(2)對于常見的，一定要能將其與向量的數(shù)量積為零即垂直關(guān)系聯(lián)系在一起.14、【解析】

由題意畫出圖形，結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系得答案．【詳解】如圖，由圖可知，過點（1，0）并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ＝1．故答案為．本題考查了簡單曲線的極坐標方程，是基礎(chǔ)題．15、【解析】試題分析：由可得：，所以,則數(shù)列是等比數(shù)列，首項為3，公比為3，所以?？键c：數(shù)列求通項公式。16、60°【解析】

由正方體的性質(zhì)可以知道：DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【詳解】如圖所示：連接AB1,因為DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關(guān)；（2）見解析【解析】

(1)先由頻率分布直方圖得到列聯(lián)表，再根據(jù)公式計算得到卡方值，進而作出判斷；（2）消費者中40歲以下的人數(shù)為，可能取值為3，4，5，求出相應的概率值，再得到分布列和期望.【詳解】（1）根據(jù)直方圖可知40歲以下的消費者共有人，40或40歲以上的消費者有80人，故根據(jù)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如下：主要購物方式年齡階段網(wǎng)絡(luò)平臺購物實體店購物總計40歲以下754512040歲或40歲以上255580總計100100200依題意，的觀測值故可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關(guān).（2）從通過網(wǎng)絡(luò)平臺購物的消費者中隨機抽取8人，其中40歲以下的有6人，40歲或40歲以上的有2人，從這8名消費者抽取5名進行答謝，設(shè)抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為，則的可能取值為3，4，5且，，，則的分布列為：345故的數(shù)學期望為3.75.求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】

（1）根據(jù)基本不等式得，，再利用不等式性質(zhì)三式相乘得結(jié)果，（2）根據(jù)基本不等式得，，再三式相加得結(jié)果【詳解】證明：因為為正數(shù)，所以，同理，所以因為，所以（2）證明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即為，則成立．本題考查利用基本不等式證明不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（I）1-P(ξ=0)=1-6125=119125，（II）【解析】(1)可根據(jù)其對立事件來求：其對立事件為：沒有一門課程取得優(yōu)秀成績.(2)P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(建立關(guān)于p、q的方程，解方程組即可求解.(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.事件Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，iP(A1)=4（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-6（II）由題意知P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(整理得pq=6125，p+q=1由p>q，可得p=3（III）由題意知a=P(ξ=1)=P(=45(1-p)(1-q)+b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=58Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=920、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

數(shù)學期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解析】（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為．（2）的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：