江蘇考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((-\infty,-1)\)D.\((-\infty,-1]\)2.設(shè)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(f^\prime(h)\)C.\(f^\prime(0)\)D.\(f(a)\)3.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)4.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(2,4,6)\)的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面5.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)6.已知\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則下列說法正確的是（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)7.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\lt0)\)等于（）A.\(0\)B.\(0.5\)C.\(1\)D.不確定8.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(x=-1\)B.\(x=1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)9.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)10.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)答案：1.A2.A3.B4.B5.A6.B7.B8.A9.A10.D二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\sinx\)2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)B.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最小值3.下列向量組中，線性相關(guān)的有（）A.\(\vec{a}=(1,0,0)\)，\(\vec=(0,1,0)\)，\(\vec{c}=(0,0,1)\)B.\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(2,4,6)\)C.\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(1,2,3)\)，\(\vec{c}=(2,3,4)\)D.\(\vec{a}=(0,0,0)\)，\(\vec=(1,2,3)\)4.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的有（）A.若\(z\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則\(z\)在該點連續(xù)B.若\(z\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(z\)在該點可微C.若\(z\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則\(z\)在該點可微D.若\(z\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)，則\(z\)在該點偏導(dǎo)數(shù)存在5.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)6.設(shè)隨機變量\(X\)、\(Y\)相互獨立，且\(X\)服從\(N(1,4)\)，\(Y\)服從\(N(2,9)\)，則下列說法正確的有（）A.\(E(X+Y)=3\)B.\(D(X+Y)=13\)C.\(E(X-Y)=-1\)D.\(D(X-Y)=13\)7.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計算的有（）A.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)D.\(\int_{0}^{2}\frac{1}{x-1}dx\)8.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂區(qū)間可能是（）A.\((-R,R)\)B.\([-R,R]\)C.\((-R,R]\)D.\([-R,R)\)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可逆的有（）A.\(|A|\neq0\)B.\(A\)滿秩C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)10.函數(shù)\(y=\cosx\)的性質(zhì)有（）A.是偶函數(shù)B.周期是\(2\pi\)C.值域是\([-1,1]\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減答案：1.ACD2.ABCD3.BD4.AC5.ABCD6.ABCD7.BC8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續(xù)。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)。（）3.若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的數(shù)量積\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。（）4.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)就是函數(shù)\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)。（）5.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^T=A^TB^T\)。（）6.設(shè)隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(E(X)=D(X)=\lambda\)。（）7.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）8.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑\(R=1\)。（）9.若矩陣\(A\)經(jīng)過初等行變換化為矩陣\(B\)，則\(A\)與\(B\)等價。（）10.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^4-2x^2+3\)的極值。答案：對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=-1,0,1\)。當\(x\lt-1\)，\(y^\prime\lt0\)；\(-1\ltx\lt0\)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt1\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt1\)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值\(y(0)=3\)，極小值\(y(\pm1)=2\)。2.計算二重積分\(\iint_Dxyd\sigma\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)所圍成的區(qū)域。答案：積分區(qū)域\(D\)為\(0\leqy\leqx\)，\(0\leqx\leq1\)。則\(\iint_Dxyd\sigma=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}xydy=\int_{0}^{1}x[\frac{1}{2}y^2]_0^xdx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{1}{8}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣。答案：先求行列式\(|A|=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)。答案：根據(jù)期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^2dx=2\times[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{2}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性。答案：\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)\)，\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，但\(f(1)\)無定義，所以\(f(x)\)在\(x=1\)處不連續(xù)，是可去間斷點。2.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。答案：對于線性方程組\(Ax=b\)，\(A\)為系數(shù)矩陣，\((A|b)\)為增廣矩陣。若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有無窮多解；若\(r(A)\neqr(A|b)\)，無解。3.討論多元函數(shù)極值存在的條件及如何判斷是極大值還是極小值。答案：多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在駐點\((x_0,y_0)\)處，若\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,