圓的概念及性質(zhì)圓的概念及性質(zhì)一、圓的相關(guān)概念圓的定義描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點叫做圓心，叫做半徑．集合性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑．圓的表示方法：通常用符號表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作”“，讀作”圓“．同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓．注意：注意：同圓或等圓的半徑相等．弦和弧弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦．直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的圓弧記作，讀作弧．等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。雸A：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。危河上壹捌渌鶎Φ幕〗M成的圖形叫做弓形．圓心角和圓周角圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分為等份，每一份的弧對應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．二、圓的對稱性旋轉(zhuǎn)對稱性圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．軸對稱性圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸．圓的軸對稱性垂徑定理．三、圓的性質(zhì)定理圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等．所對的兩圓心角相等所對的兩圓心角相等所對的兩條弦相等所對的兩條弧相等所對的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．垂徑定理定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：①平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。普?：圓的兩條平行線所夾的弧相等．注意：若“過圓心的直線”、“垂直于弦”、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對的優(yōu)弧”、“平分弦所對的劣弧”中的任意兩個成立，則另外三個都成立．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進行計算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個量中知道任何兩個量就可以求出第三個量．一、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)判斷題：（1）直徑是弦 ()（2）弦是直徑 ()（3）半圓是弧 ()（4）弧是半圓 ()（5）長度相等的兩條弧是等弧 ()（6）等弧的長度相等 ()（7）兩個劣弧之和等于半圓 ()（8）半徑相等的兩個圓是等圓 ()（9）兩個半圓是等弧 ()（10）圓的半徑是，則弦長的取值范圍是大于且不大于 ()【鞏固】如圖，在兩半徑不同的同心圓中，，則（）A．B．C．的度數(shù)的度數(shù)D．的長度的長度如圖，點在半圓上，四邊形均為矩形，設(shè)，，則下列格式中正確的是()A．B．C．D．【鞏固】如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為，則該半圓的半徑為____________．如圖①，，，，為四個等圓的圓心，A，B，C，D為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是；如圖②，，，，，為五個等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這五個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是．二、圓的性質(zhì)定理圓周角定理如圖，，則弧所對圓周角的度數(shù)是（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，是的外接圓，已知，則的大小為__________．如下左圖，四個邊長為的小正方形拼成一個大正方形，是小正方形頂點，的半徑為，是上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于__________．如圖，量角器外沿上有兩點，它們的度數(shù)分別是，則的度數(shù)為_________．【鞏固】如圖，量角器外緣邊上有三點，它們所表示的讀數(shù)分別是，，，則的大小為（）A． B． C． D．如圖，是的外接圓，已知，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【鞏固】如圖，是的直徑，是⊙O的弦，連接，若，則的度數(shù)為．CCBDOA如圖所示的半圓中，是直徑，且，則的值是________．【鞏固】如圖，是的直徑，，設(shè)，則_____________．如圖，為的直徑，是的弦，的延長線交于點，若，求的度數(shù)．【鞏固】如圖所示是的直徑，，交于，且，求的度數(shù)．如圖，在中，的度數(shù)為，是上一點，是上不同的兩點(不與兩點重合)，則的度數(shù)為____________．【鞏固】如圖，是的直徑，弦交于點，弦交于點，且．若，則___________．如圖所示，在中，，，則的半徑為（）【鞏固】如圖，的三個頂點都在上，，則的半徑為______．【鞏固】如圖是半圓的直徑，點在弧上，且平分，已知，求的長．如圖，是的內(nèi)接三角形，點是優(yōu)弧上一點(點不與重合)，設(shè)，．（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）猜想與之間的關(guān)系，并給予證明．【鞏固】如圖，與相交于、兩點，是的直徑，且把分成度數(shù)比為的兩條弧，是上的動點(不是、重合)，連結(jié)、分別交于、兩點．（1）當(dāng)是鈍角三角形時，判斷的形狀．（2）當(dāng)是直角三角形時，判斷的形狀．（3）當(dāng)是銳角三角形時，判斷的形狀．這種情況加以證明．圓及相交于點及．圓的圓心落在的圓周上，圓的弦交于點（如圖），證明：線段與是互相垂直的．【鞏固】兩圓相交于、，是大圓上一點，過、和、分別作直線交小圓于、，過、作直徑．求證：如圖，已知是的直徑，點是上一點，連結(jié)，過點作直線于點，點是上一點，直線交于點，連結(jié)，與直線交于點．求證：．【鞏固】如圖，已知：在中，直徑，點是上任意一點，過作弦，點是上一點，連接交于，連接．⑴求證：；⑵猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；⑶探究：當(dāng)點位于何處時，？并加以說明．如圖，，，是圓中的三條弦，點在上，且．請你說明以下各式成立的理由：（1）；（2）．【鞏固】在中，，點、分別是的外心、垂心．點、分別在邊、上，使得，，已知．求的面積．圓內(nèi)接四邊形如圖，為的直徑，交于點，交于點，，．現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是A．①②B．②③C．②④D．③④【鞏固】已知：如圖，面積為的四邊形內(nèi)接于，對角線經(jīng)過圓心，若，則的長等于．已知是的直經(jīng)，是弦，若，求由四點構(gòu)成的四邊形的周長．【鞏固】如圖，已知四邊形內(nèi)接于直徑為3的圓，對角線是直徑，對角線和的交點，，且，求四邊形的周長．如圖，四邊形為正方形，過正方形的頂點和對角線的交點，分別交于點．（1）求證：（2）若的半徑為，，求的值．圓內(nèi)接四邊形，，交于，于，交于．求證：．【鞏固】圓內(nèi)接矩形，過作圓的切線，分別與、的延長線相交于、，求證：．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓中，的度數(shù)小于，且，那么弦和弦的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．無法確定【鞏固】如圖所示在中，，那么（）與的大小關(guān)系不能確定已知是的弦，平分交于，弦交于，求證：平分．【鞏固】如圖，過的直徑上兩點，分別作弦，若．求證：⑴；⑵．已知點、、、順次在上，，于點，求證：．【鞏固】在中，，是它的外接圓上包含點的弧的中點，上的點使得，求證：．如圖，是的內(nèi)接三角形，，為中上一點，延長至點，使是關(guān)于的方程的兩根．求證：；⑵若，求證：．【鞏固】如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，且其對角線交于點，點在線段上，使得．若，求的值．已知：如圖，是中直角邊上的一點，以為直徑的圓交斜邊于點，連結(jié)交此圓于點，交于點．求證：．【鞏固】是半圓的直徑，點在圓上，過點、分別作過點的切線的垂線、，、為垂足，求證：．三、垂徑定理如果兩條弦相等，那么（）A．這兩條弦所對的弧相等 B．這兩條弦所對的圓心角相等C．這兩條弦的弦心距相等 D．以上答案都不對【鞏固】下列判斷中正確的是（）A．平分弦的直線垂直于弦B．平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧C．弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條弧D．平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦如圖，的直徑過弦的中點，，則等于（）A． B． C． D．【鞏固】如圖，內(nèi)接于，點是延長線上一點，若，則等于（）A． B． C． D．如圖，的直徑，弦于，，的半徑為，則弦的長為（）A． B．C． D．【鞏固】如圖，是的外接圓，于點，交于點，，如果的半徑為，則結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．D．如圖，兩個同心圓的半徑分別為3cm和5cm，弦AB與小圓相切于點C，則AB的長為（）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【鞏固】如圖，⊙P內(nèi)含于⊙，⊙的弦切⊙P于點，且．若陰影部分的面積為，則弦的長為（）A．3 B．4C．6 D．9如圖所示，同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點，試證明：．【鞏固】如圖，同心圓中，大圓的弦交小圓于兩點，，的弦心距等于，那么，大圓半徑與小圓半徑之比是_________．在半徑為的圓中，垂直平分半徑的弦長是_______．【鞏固】中，弦的長為cm，圓心到的距離為，則的半徑長為（）【鞏固】若中等于的劣弧所對的弦長為，則的半徑是_______．如圖，已知的半徑是，點到圓心的距離為，求過點的所有弦中最短弦的長度．【鞏固】如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2如圖，是等邊三角形的外接圓，的半徑為2，則等邊三角形的邊長為（）A． B． C． D．【鞏固】如圖所示，中，，，求其外接圓的半徑．如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為米，拱的半徑為米，則拱高為（）A．米B．米C．米D．米【鞏固】某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為，求這個圓形截面的半徑．如圖所示，在中，，，若以為圓心、的長為半徑的圓交于，則．【鞏固】如圖所示，在與三角形所組成的圖形中，，求證．在半徑為的中，弦的長分別為和，則的度數(shù)為________．【鞏固】如圖所示，已知的直徑和弦相交于點，，，，求的長．已知的直徑是，的兩條平行弦，，求弦與間的距離．【鞏固】已知在中，半徑，是兩條平行弦，且，求的長．如圖，是的弦，，垂足為，交于點，點在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【鞏固】如圖所示，已知為的直徑，是弦，且于點．連接．（1）求證：．（2）若，求的直徑．如圖，分別是中長度相等但不平行的兩條弦的中點．求證：．【鞏固】如圖，中，是直徑，弦，交于．求證：．如圖，是的兩條直徑，弦，交于點，求證：．【鞏固】當(dāng)是的直徑，弦，相交于點，求證：．如圖，是的直徑，且，弦的長為，若弦的兩端在圓上滑動時，始終與相交，記點到的距離分別為，則等于（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，的直徑，有一條定長為的動弦在上滑動（點與，點與點不重合），且交于，交于．（1）求證：．（2）在動弦滑動的過程中，四邊形的面積是否為定值？若為定值，請求出這個定值；若不是，請說明理由．如圖，半徑為的內(nèi)有互相垂直的兩條弦相交于點．（1）求證：；（2）設(shè)的中點為，連結(jié)并延長交于，求證：；（3）若，求的長．【鞏固】如圖，已知：在中，直徑，點是上的任意一點，過作弦，點是上一點，連接交于連接．（1）求證：；（2）猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；（3）探究：當(dāng)點位于何處時，？并加以說明．（1）如圖1，圓心接中，，、為的半徑，于點，于點，求證：陰影部分四邊形的面積是的面積的．（2）如圖2，若保持角度不變，求證：當(dāng)繞著點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是的面積的．如圖，是的直徑，過上一點作，垂足為，其延長線交于點，弦交于點．⑴如果，求證：；⑵如果弦交于點，且，求證：．如圖，內(nèi)接于，，的平分線與交于點，與交于點，延長與的延長線交于點，連結(jié)，是的中點，連結(jié)．⑴判斷與的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；⑵求證：；⑶若，求的面積．如圖，是的直徑，點在上，，，則___________．如圖，已知是的圓周角，，則圓心角是（）A． B． C． D．如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，點是劣弧上不同于點的任意一點，則的度數(shù)是()如圖，為的直徑，過點的弦平行于半徑，若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．如圖，已知為⊙O的直徑，，，則______．如圖，是的直徑，點，，都在上，若，求．如圖，是的直徑，點，，都在上，若，求．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是．為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺．如圖，內(nèi)接于，，為的直徑，，那么_________．已知的弦長等于圓的半徑，求該弦所對的圓周角．已知，如圖：為的直徑，，交于點，交于點，．給出以下五個結(jié)論：①，；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正確結(jié)論的序號是．如圖，半圓的直徑，點在半圓上，．（1）求弦的長；（2）若為的中點，交于點，求的長．如圖，外接于正方形，為弧上一點，且，，求的長．如圖，是的兩條弦，它們相交于點，連結(jié)，已知，，求的長．已知是一段圓弧上的兩點，且在直線的同側(cè)，分別過這兩點作的垂線，垂足為，是上一動點，連結(jié)，且．⑴如圖⑴，如果，且，求的長；⑵如圖⑵，若點恰為這段圓弧的圓心，則線段之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)分別在直線兩側(cè)且，而其余條件不變時，線段之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明．如圖，將圓沿折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則等于．A．60°B．90°C．120°D．150°如圖所示，是的直徑，，與交于點，則圖中與相等的角有（）A．2個B．3個C．4個D．5個的半徑為，是的一條弦，且，則弦所對圓周角的度數(shù)為_____________．若中等于的劣弧所對的弦長為，則的半徑是_______．如圖，是的弦，于交于，則下列說法錯誤的是（）A． B．C．D．的半徑為