上海高中2025屆高二下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的點(diǎn)，且，若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于實(shí)半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3．展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．354．若全集，集合，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．6．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．07．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，則（）A． B． C． D．8．圓ρ=8sinθ的圓心到直線A．2 B．3 C．2 D．29．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．某學(xué)校為了調(diào)查高三年級的200名文科學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對該年級的文科學(xué)生進(jìn)行編號,從001到200,抽取學(xué)號最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,則這兩種抽樣的方法依次為()A．分層抽樣,簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣,分層抽樣C．分層抽樣,系統(tǒng)抽樣 D．簡單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣12．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是________14．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（1,2）到直線的距離為_________15．已知二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)與第項(xiàng)之和為零，那么等于____________.16．某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按1、2、3、…、52隨機(jī)編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中還有一個職工的編號是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個相異零點(diǎn)，，求證：.18．（12分）如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，．（1）求橢圓的離心率；（2）過右焦點(diǎn)作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．19．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．20．（12分）某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該年級的學(xué)生中抽查100名同學(xué)．如果以身高達(dá)到165厘米作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計，得到以下列聯(lián)表：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計100（1）完成上表；（2）能否有犯錯率不超過0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？（的觀測值精確到0.001）．參考公式：，參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（12分）已知函數(shù)（I）求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程.（II）求的最小值.22．（10分）已知拋物線，過定點(diǎn)作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn).（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）設(shè)線段的垂直分線與x軸交于點(diǎn)，求n的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求解不等式可得，據(jù)此結(jié)合交集、并集、子集的定義考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】求解不等式可得，則：，選項(xiàng)A錯誤；，選項(xiàng)B錯誤；，選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、B【解析】

利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與c之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質(zhì)，突出了對計算能力和綜合運(yùn)用知識能力的考查，屬中檔題．3、C【解析】

利用多項(xiàng)式乘法將式子展開,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)即可求得的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)為則展開式的通項(xiàng)為則展開式中的項(xiàng)為則展開式中的系數(shù)為故選:C本題考查了二項(xiàng)定理展開式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

分別化簡求解集合U,A，再求補(bǔ)集即可【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C本題考查集合的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.5、D【解析】

求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞減，故，解得答案.【詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故，解得或.故選：.本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.6、B【解析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．7、D【解析】

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式分別表示出與，化簡即可得到的值【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，則，故選D．本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解析】

先把圓和直線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】由ρ=8sinθ得x2+y直線tanθ=3的直角坐標(biāo)方程為所以圓心到直線3x-y=0的距離為0-4故選：C本題主要考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因?yàn)樗詁<a所以b<a<c.故選D．10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、D【解析】第一種抽樣是簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣是指從樣本中隨機(jī)抽取一個，其特點(diǎn)是容量不要太多．第二種是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣就是指像機(jī)器一樣的抽取物品，每隔一段時間或距離抽取一個．而分層抽樣，必需是有明顯的分段性，然后按等比例進(jìn)行抽?。蔬xD12、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應(yīng)至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點(diǎn)：1.四種命題；2.命題的否定．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由復(fù)數(shù)的幾何意義解得點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段，表示線段上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則到的距離之和為，所以點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段，表示線段上的點(diǎn)到的距離，可得最小距離是與的距離，等于；最大距離是與的距離，等于；即的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，所以若，則表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.14、【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式完成計算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為：.故答案為：.本題考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，難度較易.已知點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離為：.15、1【解析】

用項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)公式求得第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，由其和為0求得．【詳解】二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)為，第5項(xiàng)為，∴，解得．故答案為：1．本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．16、19【解析】按系統(tǒng)抽樣方法，分成4段的間隔為＝13，顯然在第一段中抽取的起始個體編號為6，第二段應(yīng)將編號6＋13＝19的個體抽出．這就是所要求的．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】分析：（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可知的極大值為；（2），就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的極大值為.（2），①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；②若，有唯一零點(diǎn)；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）由已知得，所以，故等價于即．不妨設(shè)，令，，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來說明．而要證明零點(diǎn)滿足的不等式，則需要根據(jù)零點(diǎn)滿足的等式構(gòu)建新的目標(biāo)等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為易證的不等式．18、（1）；（2）．【解析】

（1）由可得，計算進(jìn)而得答案。（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，代入的面積公式計算整理即可?！驹斀狻浚?），，，，，解得，，故．（2）由（1）知橢圓方程可化簡為．①易求直線的斜率為，故可設(shè)直線的方程為：．②由①②消去得．，．于是的面積，．因此橢圓的方程為，即本題考查橢圓的離心率以及通過弦長公式求橢圓的相關(guān)量，屬于一般題。19、（1）見解析（2）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．20、(1)身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100(2)不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系．【解析】

（1）由分層抽樣的計算方法可求得積極參加鍛煉與不積極參加鍛煉的人數(shù)，填入表格中，根據(jù)表格中的總計及各項(xiàng)值求出其它值即可；（2）由公式計算出，與參考數(shù)據(jù)表格中3.841作比較，若小于3.841則不可以，若大于3.841則可以.【詳解】（Ⅰ）填寫列聯(lián)表如下：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100（Ⅱ）K2的觀測值為≈1.333＜3.841.所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系．本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)抽樣方法進(jìn)行計算填表，將數(shù)值