上海市浦東新區(qū)建平中學2025年高二數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于分為優(yōu)秀，分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表．根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)判斷有多少的把握認為“成績與班級有關系”（）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班乙班合計臨界值表：參考公式：．A． B． C． D．3．已知集合，，則A． B． C． D．4．下列說法中，正確說法的個數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個分類變量與之間的關系時，隨機變量的觀測值越大，說明“與有關系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，則A．0 B．1 C．2 D．35．拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是A． B． C． D．6．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中的記錄的產(chǎn)量與相應的生產(chǎn)能耗的幾組對應數(shù)據(jù)如圖：根據(jù)下表數(shù)據(jù)可得回歸方程，那么表中的值為（）A． B． C． D．7．已知某隨機變量的概率密度函數(shù)為則隨機變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．8．若復數(shù)（）不是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．且9．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種10．設隨機變量ξ～N（μ，σ2），函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，則μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能確定11．設，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．12．在區(qū)間[0,2]上隨機取兩個數(shù)x，y，則xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)有且只有一個零點，是上兩個動點（為坐標原點），且，若兩點到直線的距離分別為，則的最大值為__________.14．函數(shù)y=3sin(2x+π15．設分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當線段長最小時橢圓的離心率為_______．16．已知△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，且△ABC的面積為2＋，則AC邊長的最小值是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù),（）.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設點，是函數(shù)圖象的不同兩點，其中，，是否存在實數(shù)，使得，且函數(shù)在點切線的斜率為，若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）在件產(chǎn)品中，有件正品，件次品，從這件產(chǎn)品中任意抽取件.（1）共有多少種不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少種？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少種？20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點，以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，求的值21．（12分）為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.22．（10分）某儀器配件質(zhì)量采用值進行衡量，某研究所采用不同工藝，開發(fā)甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)該配件，為調(diào)查兩條生產(chǎn)線的生產(chǎn)質(zhì)量，檢驗員每隔分別從兩條生產(chǎn)線上隨機抽取一個配件，測量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產(chǎn)線各抽取的30個配件值莖葉圖.經(jīng)計算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產(chǎn)線抽取的第個配件的值.（1）若規(guī)定的產(chǎn)品質(zhì)量等級為合格，否則為不合格.已知產(chǎn)品不合格率需低于，生產(chǎn)線才能通過驗收，利用樣本估計總體，分析甲，乙兩條生產(chǎn)線是否可以通過驗收；（2）若規(guī)定時，配件質(zhì)量等級為優(yōu)等，否則為不優(yōu)等，試完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“配件質(zhì)量等級與生產(chǎn)線有關”？產(chǎn)品質(zhì)量等級優(yōu)等產(chǎn)品質(zhì)量等級不優(yōu)等合計甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據(jù)題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數(shù)與方程思想的應用，屬于基礎題.2、C【解析】

計算出的觀測值，利用臨界值表找出犯錯誤的概率，可得出“成績與班級有關系”的把握性.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，，因此，有的把握認為“成績與班級有關系”，故選C.本題考查獨立性檢驗的基本思想，解題的關鍵就是計算出的觀測值，并利用臨界值表找出犯錯誤的概率，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．【詳解】因為，，所以，故選C．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系.4、D【解析】

①分類變量與的隨機變量越大,說明“A與B有關系”的可信度越大②對同取對數(shù)，再進行化簡，可進行判斷③根據(jù)線性回歸方程，將，代入可求出值【詳解】對于①,分類變量A與B的隨機變量越大,說明“A與B有關系”的可信度越大,正確;

對于②,,兩邊取對數(shù),可得,

令,可得,.即②正確;

對于③,根據(jù)具有線性相關關系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中,,,則.故

③正確因此，本題正確答案是:①②③答案選D二聯(lián)表中越大，說明“A與B有關系”的可信度越大；將變量轉(zhuǎn)化成一般線性方程時，可根據(jù)系數(shù)對應關系對號入座進行求解；線性回歸方程的求解可根據(jù),代入求出值5、B【解析】

由拋物線方程化標準方程為，再由焦半徑公式，可求得?！驹斀狻繏佄锞€為，由焦半徑公式，得。選B.拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。6、D【解析】

計算出、，將點的坐標代入回歸直線方程可求出的值.【詳解】由題意得，，由于回歸直線過樣本的中心點，所以，，解得，故選：D.本題考查回歸直線方程的應用，解題時要熟悉回歸直線過樣本中心點這一結(jié)論的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、B【解析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【詳解】由隨機變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機變量在這一區(qū)間上概率．8、A【解析】

先解出復數(shù)（）是純虛數(shù)時的值，即可得出答案．【詳解】若復數(shù)（）是純虛數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義有：，則復數(shù)（）不是純虛數(shù)，故選A本題考查虛數(shù)的分類，屬于基礎題．9、B【解析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．10、B【解析】試題分析：由題中條件：“函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點”可得ξ＞4，結(jié)合正態(tài)分布的圖象的對稱性可得μ值．解：函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點，即二次方程x2+4x+ξ=0無實根得ξ＞4，∵函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正態(tài)曲線的對稱性知μ=4，故選B．考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．11、C【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)的最大值即可．【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、C【解析】試題分析：由題意所有的基本事件滿足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件滿足0≤y≤2x，畫出可行域如圖，總的區(qū)域面積是一個邊長為2的正方形，其面積為4，滿足0≤y≤2x的區(qū)域的面積為考點：幾何概型二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值，然后根據(jù)判斷出中點的軌跡，再根據(jù)轉(zhuǎn)化關系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點到直線的距離最大值，由此求解出結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，又因為有唯一零點，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，設的中點為，，如下圖所示：所以，又因為，所以，所以的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為的圓，所以當取最大值時，為過垂直于的線段與的交點，所以，所以.故答案為：.本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.14、π【解析】

∵函數(shù)y=sinx的周期為∴函數(shù)y=3sin(2x+π故答案為π.15、【解析】

將代入橢圓方程可得，從而，利用基本不等式可知當時，線段長最小，利用橢圓的關系和可求得結(jié)果.【詳解】橢圓過得：由橢圓方程可知：，又（當且僅當，即時取等號）當時，線段長最小本題正確結(jié)果：本題考查橢圓離心率的求解問題，關鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據(jù)等號成立條件可得到橢圓之間的關系，從而使問題得以求解.16、【解析】

分析：由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求的值，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得邊的最小值.詳解：成等差數(shù)列，，又，由，得，，因為，，解得，的最小值為，故答案為.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用分類討論法解不等式得解集；（2）先求出，，再解不等式得解.【詳解】解：（1）不等式可化為當時，，，所以無解；當時，，所以；當時，，，所以.綜上，不等式的解集是.（2），若，恒成立，則，解得：.本題主要考查分類討論法解不等式，考查絕對值三角不等式和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.18、（1）的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在實數(shù)取值范圍是.【解析】

（1）分別研究，兩種情況，先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，再根據(jù)，得到，得出，再由導數(shù)的幾何意義，結(jié)合題中條件，得到，構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.【詳解】(1)當時,,令得,令得.當時，，所以在上是增函數(shù)。所以當時，的增區(qū)間為,減區(qū)間為；(2)由題意可得：，，所以，，令，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,，當時，，所以存在實數(shù)取值范圍是.本題主要考查導數(shù)的應用，通常需要對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法研究單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）從這件產(chǎn)品中任意抽出件，是組合問題，利用組合數(shù)的定義可得出結(jié)果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用組合計數(shù)原理和分步計數(shù)原理可得出結(jié)果；（3）在件產(chǎn)品中任意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，用間接法求解．【詳解】（1）從這件產(chǎn)品中任意抽出件，共有種不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有種不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法種數(shù)，可以在件產(chǎn)品中任意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，因此，共有種不同的抽法.本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．20、(1).(2).【解析】分析：(1)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方程，整理得到，由此，根據(jù)極坐標與平面直角坐標之間的關系，可以求得曲線C的極坐標方程；(2)將直線的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用直線方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合韋達定理，求得結(jié)果.詳解：（1）的普通方程為，整理得，所以曲線的極坐標方程為.（2）點的直角坐標為，設，兩點對應的參數(shù)為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由參數(shù)的幾何意義可知，，，所以.點睛：該題考查的是有關坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，曲線的平面直角坐標方程向極坐標方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，在解題的過程中，要認真分析，細心求解.21、（1）；（2）設備的性能為丙級別.理由見解析【解析】

（1）對于次品個數(shù)的數(shù)學期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數(shù)/樣本總數(shù)，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個數(shù)求得，再根據(jù)該分布符合，進行期望的求值（2）根據(jù)（2）