上海外國語大學附中2025年高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a，b為實數，則“”是“”的A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分必要條件2．已知函數為偶函數，記，，，則的大小關系為()A． B． C． D．3．“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”，這是我們常說的口頭禪，主要是說集體智慧的強大.假設李某智商較高，他獨自一人解決項目M的概率為；同時，有個水平相同的人也在研究項目M，他們各自獨立地解決項目M的概率都是.現(xiàn)在李某單獨研究項目M，且這個人組成的團隊也同時研究項目M，設這個人團隊解決項目M的概率為，若，則的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．64．設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上，恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，已知當時，在上是“凸函數”，則在上()A．既有極大值,也有極小值 B．既有極大值,也有最小值C．有極大值,沒有極小值 D．沒有極大值,也沒有極小值5．設,，，則（）A． B． C． D．6．設向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．07．大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為（）A． B． C． D．8．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．9．在區(qū)間上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．10．設實數，滿足不等式組則的最小值是（）A． B． C． D．11．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點，且到l、m的距離相等，則點P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線12．當時，總有成立，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則________14．設全集，集合，則______.15．若的二項展開式中的的系數為，則__________．16．已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組成，且英文字母在前，數字在后.已知英文字母是，，，，這5個字母中的1個，數字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中的一個，則共有__________個不同的編號（用數字作答）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，，.（1）求，，；（2）判斷數列是否為等比數列，并說明理由.18．（12分）在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的直角坐標.19．（12分）為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數11356193318442121100經計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數的數學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.20．（12分）某學校為調查高三年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（2））.已知圖（1）中身高在的男生有16名.（1）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少名？（2）根據頻率分布直方圖，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分數）的把握認為身高與性別有關？身高身高總計男生女生總計參考公式：，其中參考數據：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.82821．（12分）設，復數，其中為虛數單位.（1）當為何值時，復數是虛數？（2）當為何值時，復數是純虛數？22．（10分）在中,角所對的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結果.【詳解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎題型.2、C【解析】試題分析：因為為偶函數，所以，在上單調遞增，并且，因為，，故選C．考點：函數的單調性【思路點睛】本題考察的是比較大小相關知識點，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調性法和中間量法，本題的題設中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?，即可求出參數的值，所以我們采用單調性法，經觀察即可得到函數的單調性，然后根據可以通過函數的奇偶性轉化到同一側，進而判斷出幾個的大小，然后利用函數的單調性即可判斷出所給幾個值的大?。?、B【解析】

設這個人團隊解決項目的概率為，則，由，得，由此能求出的最小值．【詳解】李某智商較高，他獨自一人解決項目的概率為，有個水平相同的人也在研究項目，他們各自獨立地解決項目的概率都是0.1，現(xiàn)在李某單獨研究項目，且這個人組成的團隊也同時研究，設這個人團隊解決項目的概率為，則，，，解得．的最小值是1．故選．本題考查實數的最小值的求法，考查次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率的計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．4、C【解析】此題考查函數極值存在的判定條件思路：先根據已知條件確定m的值，然后在判定因為時，在上是“凸函數”所以在上恒成立，得在是單調遞減，的對稱軸要滿足與單調遞增單調遞減，當時有極大值，當時有極小值所以在上有極大值無極小值5、A【解析】

先研究函數單調性，再比較大小.【詳解】,令，則因此當時，即在上單調遞減，因為，所以，選A.本題考查利用導數研究函數單調性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.6、A【解析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎題．7、C【解析】

基本事件總數n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學的概率．【詳解】解：大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，基本事件總數n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數m12，∴小明恰好分配到甲村小學的概率為p．故選C．本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.9、A【解析】因為,若,則,，故選A.10、B【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線在軸上截距的變化，找到該直線在軸上的截距取得最小值時的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數可得出答案．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當直線經過可行域的頂點時，此時該直線在軸上的截距最小，取得最小值，即，故選B．本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數的最值問題，一般利用平移直線的思想，利用其在坐標軸上截距最值的思想找出最優(yōu)來處理，考查數形結合思想，屬于中等題．11、D【解析】

作出直線m在平面α內的射影直線n，假設l與n垂直，建立坐標系，求出P點軌跡即可得出答案．【詳解】解：設直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設l與n垂直，設直線m與平面α的距離為d，在平面α內，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點軌跡為雙曲線．故選：D．本題考查空間線面位置關系、軌跡方程，考查點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．12、C【解析】

構造函數，然后判斷的單調性，然后即可判斷的大小.【詳解】令，則所以在上單調遞增因為當時，總有成立所以當時，所以故選：C解答本題的關鍵是要善于觀察條件中式子的特點，然后構造出函數.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先用同角三角函數平方和關系求出，再利用商關系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【詳解】因為，，所以，.本題考查了同角三角函數的平方和關系和商關系，考查了二倍角的正切公式.14、【解析】

根據集合的補集運算即可．【詳解】2，，；

．

故答案為：．本題主要考查了列舉法的定義，以及補集的運算，屬于容易題．15、1【解析】

，所以9-3r=6,r=1,=9,,故填1.16、45【解析】

通過分步乘法原理即可得到答案.【詳解】對于英文字母來說，共有5種可能，對于數字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個不同的編號.本題主要考查分步乘法原理的相關計算，難度很小.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，.(2)是首項為，公比為的等比數列；理由見解析.【解析】分析：（1）先根據遞推關系式求，，；，再求，，；（2）根據等比數列定義證明為等比數列.詳解：(1）由條件可得：，將代入，得，而，∴，將代入，得，∴，∴，，.（2）是首項為2，公比為3的等比數列.由條件可得：，即，又，∴是首項為2，公比為3的等比數列.點睛：證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可.等比數列的判定方法18、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時M(,).【解析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(Ⅱ)設M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數知識即可求解．【詳解】(Ⅰ)曲線的參數方程為(為參數),普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，直角坐標方程為，即；(Ⅱ)設M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當且僅當α=2kπ-(k∈Z)時,|MN|取得最小值,此時M(,).本題考查參數方程化成普通方程，利用三角函數知識即可求解，屬于中等題.19、（1）；（2）設備的性能為丙級別.理由見解析【解析】

（1）對于次品個數的數學期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數/樣本總數，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個數求得，再根據該分布符合，進行期望的求值（2）根據（2）提供的評判標準，再結合樣本數據算出在每個對應事件下的概率，通過比較發(fā)現(xiàn)，，，三個條件中只有一個符合，等級為丙【詳解】解：（1）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共計6件，從設備的生產流水線上任取一件，取到次品的概率為，依題意，故；（2）由題意知，，，，，，，所以由圖表知道：，，，所以該設備的性能為丙級別.對于正態(tài)分布題型的數據分析，需要結合的含義來進行理解，根據題設中如；②；③來尋找對應條件下的樣品數，計算出概率值，再根據題設進行求解，此類題型對數據分析能力要求較高，在統(tǒng)計數據時必須夠保證數據的準確性，特別是統(tǒng)計個數和計算，等數據時20、（1）男生40名，女生40名；（2）列聯(lián)表見解析，【解析】

（1）由圖（1）可知，身高在的男生的頻率為，設抽取的學生中，男生有名，由算出即可（2）由（1）及頻率分布直方圖知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.【詳解】解：（