專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】.................................................................1

【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】..........................................................5

【題型3平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】................................................................10

【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】........................................................13

【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算】........................................................17

【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】............................................21

【題型7由平行線的判定與性質(zhì)瓊定角度定值問題】...............................................28

【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】...................................................37

【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】.................................................44

【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】...................................................49

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)平行線的性質(zhì)】

1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.

2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.

3.兩條平行線被第三條直線所做同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】

【例1】（2023下?福建廈門?八年級(jí)校考期中）如圖，CD||AB,OE平分乙4OD,。/10E,OG1CD,aDO=50°,

則下歹lj結(jié)論：?Z-AOE=65°；②OF平分，800；③NGOE=zDOF；④4力OE=^GOD.其中正魂的有.

［答案］???

【分析】由CDII4B,ACD0=50%根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得NB。。的度數(shù)，N/0E的度數(shù)；

又由。/_LOE,即可求得4BOF的度數(shù)，得到。/平分48。0,由OG_LCO,即可求得4GOE與ND。尸的度數(shù),

得到結(jié)論

【詳解】解：二以）||45,“DO=50。,

:.乙BOD=Z.CDO=50°,

J.LAOD=1SO°-￡BOD=130°,

YOE平分〃OD,

；

J./.AOE=-2^AOD=65°

故①正確；

?：OF1OE,

：.LEOF=90°,

"BOF=180°—乙EOF-Z.AOE=25°,

■:乙BOD=50°,

???0/平分48。/）；

故②正確；

*：0G1CD,CDWAB,

：,0G1AB,

：.AAOG=90°,

：,LGOE=90°-/LAOE=25°,

?:乙DOF=LLBOD=25°,

2

LGOE=乙DOF；

故③正確：

'：LGOE=zDOF=25°,4EO尸=90°,

：.LGOD=乙EOF-Z.GOE-乙DOF=40%

'：LAOE=65°,

/.Z/lOE*乙GOD

故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

【變式1?1】（2023上?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D所示，已知MIICD,點(diǎn)￡在線段力。上（不

與點(diǎn)力、點(diǎn)。重合)，連接若/C=15。，LAEC=60°,則乙4的值為()

A.45°B.75°C.46°D.76°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】*：/-C+Z.ADC=/.AEC.

：.LADC=Z-AEC-zC=60°-15°=45°,

,：AB\\CD,

???，力=LADC=30°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023下?陜西西安?八年級(jí)?？计谀?如圖,已知AMIIBN,〃=60。，點(diǎn)P是射線4M上一動(dòng)點(diǎn)

(與A不重合)，BC、8。分別平分4ABp和/P8N,交射線AM于C、D,(推理時(shí)不需要寫出每一步的理由)

⑴求乙CBD的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變叱？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)

找出變化規(guī)律.

【答案】(l)NCBD=60°；

(2)不變，理由見解析

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)可求得乙43N,再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得“8。：

(2)由平行線的性質(zhì)可得ZAP8="BN,乙ADB=3BN,再由角平分線的定義可求得結(jié)論.

【詳解】(1)-AM||BN,

???乙ABN+乙4=180°,

【詳解】（1）如圖1,???乙4cB=90。，乙A=40。，

:./.ABC=50°,

,:8G平分匕ABC,

???Z.CBG=25°,

???DEIIBC,

Z.CDE=乙BCD=90°,

vDG平分NAOE,

:.4CDF=45°,

:.Z.CFD=45°,

:.LG=乙CFD-乙CBG=45°-25°=20°：

（2）如圖2,乙4=2乙G,理由是：

由（1）如：乙ABC=2乙FBG,乙CDF=4CFD,

設(shè)乙48G=x,乙CDF=y,

vZ.ACB=乙DCF,

二乙4+Z.ABC=乙CDF+Z.CFD,即乙4+2x=2y,

???y=：乙4+x,

同理得心力+LABG=匕。+乙CDF,

乙，即

*,?z71+%=G+y+%=Z-G42—z./l+x,

???z/l=2LG:

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解決該題型題目時(shí)，利用平行線

的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵.

【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】

【例2*2023下?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對(duì)邊互相平行的紙條，E尸是折痕，若4巨尸8=

34%則以下結(jié)論正確的是（）

①/C'EF=34°：?Z,AEC=146°；③4BGE=68°：?Z-BFD=112°

A.??B.??C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析，即可解答.

【詳解】解:4"8=34。，

乙CEF=乙EFB=34°,①結(jié)論正確；

由折疊可知，Z,C'EF=Z.CEF=34°,

???￡AEC=180°-LC'EF-乙CEF=180°-34°-34°=112°,②結(jié)論錯(cuò)誤：

-ACWBD1,^AEC=112°

:?乙BGE=180°-^AEC=68°,③結(jié)論正確；

vCE\\DF,B.ABGE=Z.CGF=68°,

匕BFD=180°-乙CGF=112°,④結(jié)論正確；

所以，以上結(jié)論正確的是①③④，

故逐C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì).

【變式2-1]（2023上?福建福州?八年級(jí)期中）如圖,在△力8C中，DEWBC,乙8=50。，將△40E沿DE折疊

得到△4DE,則48n4]的度數(shù)為°.

【分析】由兩直線平行，同位角相等推知乙4DE=乙3=50。；由圻疊的性質(zhì)知乙4DE=乙4以乩結(jié)合三角形

的內(nèi)角和即可求得乙8。4的度數(shù).

【詳解】解：TDEIIBC,

Z.ADE=匕8=50°.

又,：LADE=Z-A^DE,

???z.AxDA=2/8,

:.Z.BDA1=180°-2乙B=180°-2x50°=80°.

故答案為：80°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)、翻折變換（折疊問題），折疊II勺性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于

軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角把等是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023下.廣東佛山?八年級(jí)校考期中）如圖，已知長方形紙片四。。，點(diǎn)E,F在4）邊上，點(diǎn)G,

”在8c邊上，分別沿EG,FH折疊，使點(diǎn)。和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若a+0=12O。，則匕EMF的度數(shù)為（）

A.57°B.58°C.59°D.60°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙OEG=a,LAFH=/?,由折疊得乙。EM=2/.DEG=2a,Z.AFM=2乙AFH=

2口，求出乙MEF和4然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。即可求出答案.

【詳解】解：工?在長方形力BCD中,ADHBC,

LDEG=a,￡.AFH=p,

由折疊得：4DEM=24DEG=2a,Z.AFM=2Z.AFH=2/7,

：.LMEF=180°-2a,ZMFF=180°-2/?,

：.LEMF=180°-（180°-2a）-（180°-2￡）

=2（a+/?）-180°,

*：a+p=120%

：.LEMF=240°-180°=60°；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和

等于180。與軸對(duì)稱的性質(zhì).

【變式2-3](2023下?浙江臺(tái)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，有一張長方形紙條A8CD,AD\\BC,在線段CF上

分別取點(diǎn)G,H,將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點(diǎn)C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為U,DL將四邊形A8FE沿直線EF折

疊，點(diǎn)A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,B',設(shè)/EFB=a(0VaV90。).

⑴若。'在直線4。的上方,當(dāng)％=50。且滿足C'HII"F時(shí)，求乙G/G的度數(shù).

(2)在(1)的條件下，猜想直線￡7和GH的位置關(guān)系，并證明

(3)在點(diǎn)G,〃運(yùn)動(dòng)的過程中，若CY/II＞凡請(qǐng)直接用含有cr的式子表示NC〃G的度數(shù)

【答案】(1)40。

(2)EF1GH,理由見解析過程

(3)iCHG=90°-a或1800-a

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得：NB尸9=2乙EFB=100°,乙CHG=^CHC^由平行線的性質(zhì)可得/CHC'=

Z-B'FH=80。，即可求解：

(2)由平行線的性質(zhì)可求乙P/H=/CHG=40。，可求乙EFP=90。，即可得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)解：由折疊得：Z.BFB'=2Z.EFB=100°,乙CHG=三乙CHC1

:?2B'FH=180°-100°=80°,

?.?C'HllB'F,

：.Z.CHCr=乙B'FH=80°,

：.LCHG=-Z.CHC,=40°；

2

(2)解：猜想：EFA.GH,理由如下：

如圖，過點(diǎn)尸作FPIIHG交4D于點(diǎn)P,

AB9

BFH

J.LPbH=Z.CHG=4U\

?:乙EFB=50°,

:.乙EFP=180°-40°-50°=90°,

即EF1FP.

又

：.EF1GH；

(3)解：如圖‘當(dāng)C'、》在直線4)的上方時(shí),

由折疊得：乙BFB，=2乙EFB=2a,Z.CHG=giCHU,

工國FH=180°-2a.

???CHIEF,

:?乙CHC=乙B'FH=180°-2a,

?"CHG=沁m=90。-a；

如圖，當(dāng)C'、。在直線4。的下方時(shí)，

由折疊得：乙BFB'=2乙EFB=2a,乙DGH=^DGD,

VZDH5C,

=乙FPG=2a,乙DGH+乙CHG=180°,

:C'HllB'F,C'HIID'G,

???D'G||B'F,

:?乙DGD'=乙FPG=2a.

???，DG”=〃DGD'=a,

.\ZCHG=18Uu-a,

綜上所述：Z-CHG=90°-a或180。一a.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題

是解題的關(guān)鍵.

【題型3平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【例3】（2023下?河北滄州,八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面48與

CD平行,入射光線〃?與出射光線〃平行，若入射光線,與鏡面48的夾角崖1=40。，且42=40。,則46的

度數(shù)為（）

A.100°B.90°C.80°D,70°

【答案】A

【分析】先根據(jù)乙1和上2的度數(shù)，求出45的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可.

【詳解】解：???21=40。，42=40。，21+42+45=180。，

:.Z5=180°-40°-40°=100°,

???入射光線m與出射光線n平行，

/.Z6=Z5=100°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2023下?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖,

已知AGIIEGAB||DE,若4DEF=120。，則NA的度數(shù)為()

圖①圖②

A.60°B.65°C.70°D,75°

【答案】A

【分析】連接CF，根據(jù)4811c尸，從。||￡?可得出乙。^=乙84;，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接CF,延長AG交C尸于點(diǎn)H,作MNIIAG,如圖

圖①圖②

vAB||CF||DE,乙DEF=120°

：?/.CEF=180°一120°=60°.Z.AHF=/.BAG

*：AG||EF,AG||MN

LAHF=乙MNF,EFIIMN

???Z.CFE=乙FNM=/.BAG=60°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?天津?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）光線在不問介質(zhì)中的傳播速度不問，因此當(dāng)光線從水

中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，如圖，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.若

水面和杯底是互相平行的，且=45°,乙2=122°,則43=。，Z4=。.

空氣

W

【答案】4558

【分析】先根據(jù)EG〃FH得出/3的度數(shù)，再由AB〃CD得出NECD的度數(shù)，根據(jù)CE〃DF即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖:

G8

//H

空氣

A

CD

VEG/7FH,Nl=45。,

.\Z3=Z1=45°.

VAB/7CD,Z2=122°,

.?.ZECD=180o-122o=58°.

VCE/7DF,

???Z4=ZECD=58°.

故答案是：45；58.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等.解題的關(guān)鍵是熟練掌握

平行線的性質(zhì)進(jìn)行解題.

【變式3-3］（2023下?吉林松原?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，公交站亭裝上了太陽能

電池板.當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線），如圖2,電池板43與最大夾角時(shí)刻的太陽光線相垂直，要

使4BIICD,需將電池板CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，a=.（0<a<90）

（圖1）（圖2）

【答案】20

【分析】先根據(jù)48與太陽光線互相垂直，得出"EB=28。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，乙GFD=

乙FEB,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：與太陽光線互相垂直，

/.zFE5=90o-62o=28°,

當(dāng)4BIICD時(shí)，^GFD=/.FEB=28°,

，需將電池板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)48。-28°=20°,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例4】（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┩瓿上旅娴淖C明：

如圖，已知ABIIEF,EPIEQ,zl+/.APE=90°,求證：ABWCD.

證明："ABWEF,

:.Z.APE=(),

vEP1EQ,

???/PEQ=().

即/2+Z3=90°,

???/APE+Z3=90°,

vZ1+N4PE=90°,

:.zl=,

:.||CO().

又???A8IIEF,

ABWCD().

【答案】Z2,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：90。，垂直定義；Z3：EF,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行：平行于同一

直線的兩條直線互相平行

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙4Pf=d再根據(jù)余角的性質(zhì)得到42+△3=90。，再根據(jù)平行線的判

定及性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：-ABWEF,

：?，APE=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

???EP1EQ,

」PEQ=90°（垂直定義）,

即，2+Z.3=90°.

:.Z.APE+43=90。，

vZ1+Z.APE=900,

???zl=z.3,

???EFWCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

X-.ABWEF,

ABWCD（平行于同一直線的兩條直線冗相平行）.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023下?山東濰坊?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，已知48IIDC,AE^^BAD,CZ）與力E相交于

點(diǎn)兒Z.CFE=ZE,試證明：ADWBC.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出=根據(jù)角平分線定義得出48/1E=4小4幾求出尸二4。根

據(jù)平行線的判定得出即可.

【詳解】證明：??NB||DC,

:.Z.BAE=Z.CFE,

-AE^^/-BAD,

Z.BAE=Z.DAF,

???/CFE=/-DAF,

,:乙CFE=Z.F,

AZ.DAF=乙E,

：.AD\\BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2023下?貴州遵義?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A、D、E、尸四點(diǎn)共線,已知BE||CF,L5=4

求證：zl=z2.完善下面的解答過程.

證明：因?yàn)?3=乙4（已知），

所以AEII（）,

所以NW=Z5（）,

因?yàn)?5=Z.A（已知），

所以4EOC=,

所以DC||AB,

所以乙5+乙ABC=180%（）

即：45+43+/2=180°,

因?yàn)锽EIICF（已知），

所以NBC/+43=180°,

即：z5+zl+Z3=180°,

因此41=Z2（）.

【答案】8C;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；乙4,同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換

【分析】由內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行可得AEIIBC,則有乙EDC=>5,從而可求得“DC=乙力，即可得DC||4B,

乙5+匕48c=180°,即可求證.

【詳解】解：??23="（已知），

A/F||BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

：^EDC=Z5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

Vz5=乙4（已知），

:.乙EDC=44.

???DCIIAB,

?"5+〃8C=180。（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

即：45+43+42=180°,

*：BE\\CF（己知）,

：.LBCF+Z3=180°,

即：匕5+匕1+43=180°,

?"1=c2（等量代換）.

故答案為：BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等：44同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理與性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

【變式4-3］（2023下?遼寧大連?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Z-GDB+zF=180°,乙DEF=乙B.用等式表示上4ED

與/"CK的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】LAED=乙HCK,證明見解析

【分析】根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一=4BD凡進(jìn)而證明力B||EF得到乙8DE+AE產(chǎn)=180。，由此可得NB+

4RDE=180。得到DE||BC,再由平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可證明乙力EC=乙HCK.

【詳解】解：乙AED=LHCK,證明如下：

■:乙GDB+ZF=180°,乙GDB+乙BDF=180°,

=乙BDF,

：.AB||EF,

，乙8DE+4DE/=180°,

???/8=乙DEF,

:.乙B+(BDE=180°,

：.DE||BC,

J.Z.AED=LACB,

又TLHCK=Z.ACB,

：.^.AED=乙HCK.

【點(diǎn)睛】本題主要考兗了平行線的性質(zhì)與判定，對(duì)頂角相等，同景的補(bǔ)角相等等知識(shí)，熟知平行線的性質(zhì)與

判定條件是解題的關(guān)鍵.

【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算】

【例5】(2023下?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期中)綜合與實(shí)踐

如圖，三角形力8c中，4ABe=30°,Z.BCA=90°,LBAC=60°.將三角形/BC向右平移得至U三龜尺DEF.分

別連接AD，CF,BE.

備用圖

(I)線段力0與。尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是：,其依據(jù)是

(2)求證：Z.ADF+Z.BEF=90°；

(3)猜想4氏40與乙夙??的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)40=CF,ADWCF；圖形平移前后，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等

⑵見解析

(3)LBAD-LBCF=30°.理由見解析

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)即可解答；

(2)延長。尸至點(diǎn)G.由題意可知L4DI尸GII8E,根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出乙IOF二乙。FG,乙BEF=LGFE,從

而得出4ADF+4BEF=ZDFG+ZGFE=4DFE,由三角板的特點(diǎn)可知4DFE=90°,即得出4力。尸+乙BEF=

90°；

(3)延長E8至H,由40I8E,可推出484。=乙48H.由CF||8E,可推出匕8。/=乙CBH,從而即可得出乙BAD-

ZBCF=々ABH-ZCBH=々ABC.由三角板的特點(diǎn)可知乙4BC=30°,即得出/8力。-乙BCF=30°.

【詳解】(1)4C=CF,ADWCF；圖形平移前后，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等；

（2）證明：如圖，延長CF至點(diǎn)G.

：.Z.ADF=Z.DFG,乙BEF=LGFE,

AzADF+ZBEF=zDFG4-zGFE=zDFE=90°,

(3)/.BAD-Z-BCF=30°.理由如下：

如圖，延長E8至H,

：.ABAD=乙ABH,

：.ABCF=MBH,

AzBAD-zBCF=4ABH-zCBH=zABC=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角板中的角度計(jì)算.正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.

【變式5?1】（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D,已知DEIIBC,乙48c=105°,

點(diǎn)F在射線B4上，月/EOF=125',則功FB的度數(shù)為.

A

；DE

BC

【答案】20°或130°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，分兩種情況討論，畫出圖形，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到的

度數(shù)，解題的關(guān)鍵是知道分兩種情況對(duì)點(diǎn)F討論.

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖，延長E0交48于G,

VDEHFC,

：.LFGD=（B=105°,

又,：乙EDF=125°,

工乙DFB=125°-105°=20°；

②如圖，過戶作FGIIBC,

VDEH5C,

：.FG\\DE\\BC,

：,LEDF+乙DFG=180°,乙B+LBFG=180°,

又1?々ABC=1050,4ED"=125°,

：.LBFG=75°,Z.DFG=55°,

?"DFB=750+55°=130。，

故答案為:20。或130。.

【變式5-2］（2023上?安徽合肥?八年級(jí)校考期中）如圖，在△48C中，點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E在/1C上，40交BE于

F.己知EGIIAD交8c于G,EG平分4BE",EH上BE交BC于H.

A

BDGHC

⑴求乙8FD的度數(shù).

(2)若乙84D=乙EBC,乙C=47°,求乙區(qū)4。的度數(shù).

【答案】(1)45。

(2)88°

【分析】(1)由EH1BE得到=90°,由EG平分NBE斤得到/BEG=45°,進(jìn)而由4。IIEG得到乙BFD=

45°；

(2)由三角形的外角性質(zhì)得到MAD=KBAD+418E,然后結(jié)合48/10="8。得到"18。=LBFD=45°,

再結(jié)合“=47。和三角形的內(nèi)角和求得MAC的度數(shù).

【詳解】(1)解：???EH1BE,

???乙BEH=90°,

VEG平分乙BE",

4BEG=乙HEG=口BEH=45°,

2

又WAD,

:.Z.BFD=乙BEG=45°；

(2)解：???(BFD=乙BAD+/.ABE,乙BAD=4EBC,

:.乙BFD=乙EBC+乙ABE=匕ABC=45°,

vLC=47°,

???LBAC=180°-乙ABC一乙C=180°—45°-47°=88°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)求得ZBFD的度數(shù).

【變式5-3](2023下?江蘇泰州?八年級(jí)?？计谥?如圖，在ZMBC中，點(diǎn)。、尸在8c邊上，點(diǎn)E在48邊上，

點(diǎn)G在4c邊上，EF與GO的延長線交于點(diǎn)H,乙BDH=AAEH=^ADH.

GC

(1)￡H與4。平行嗎？為什么？

(2)若乙H=40。,求乙BAD的度數(shù).

【答案】⑴平行，見解析

(2)40°

【分析】⑴EHIMD,理由如下：由已知條件，乙BDH=LB,根據(jù)平行線的判定可得IIGH,根據(jù)平行

線的性質(zhì)得284。+AADH=180°,等量代換得到4酸。+^AEH=180°,即可得出答案；

(2)結(jié)合(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)EH||AD,理由如下：

■:乙BDH=乙B,

???AB||GH,

：?^DAD十^LADII=180°,

vZ.AEH=Z.ADH,

:./.BAD+Z.AEH=180°,

:.EH||4D；

(2)v乙BAD+乙ADH=180°,

又?；EH||AD,

:.z//+Z.ADH=180°,

乙H=乙BAD,

vZ/7=40°,

???Z.BAD=40°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例6】(2023下?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，直線mil幾，直線PQ和直

線執(zhí)、n分別交于D兩點(diǎn)，點(diǎn)4,8分別在直線m、九上，點(diǎn)。在直線PQ上，連接。4OB.

(1)猜想：如圖1,若點(diǎn)。在線段“Q上,Z.OAC=25。Z-OBD=3。。則4A08=.

(2)探究：如圖1,若點(diǎn)。在線段PQ上,寫出〃。8,乙。4C,乙。30之間的數(shù)最關(guān)系并說明理由;

(3)拓展：如圖2,若點(diǎn)。在射線CP上或在射線0Q上時(shí)，寫出4108,^OAC,乙。80之間的數(shù)量關(guān)系并說明

理由.

【答案】(1)55°

(2)乙40B=40力。+乙08。，理由見解析

(3)乙A0B="BD-WAC^AOB=Z.0AC-乙0BD,理由見解析

【分析】(1)如圖所示，過點(diǎn)。作0E||m,可得m||n||0E,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得〃。E=WAC=

25。，乙BOE=Z.0BD=30°,由此即可求解；

(2)證明方法同(1)；

(3)根據(jù)點(diǎn)的不同位置，分類討論，①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在射線CP上時(shí)，過點(diǎn)。作OE||m：②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在

射線DQ上時(shí)，過點(diǎn)。作OEII771；根據(jù)平行性的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析?，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點(diǎn)。作。Elim,

'：ra||n,

AmIInII0E,

：.LA0E=LOAC=25°,乙BOE=乙OBD=30°,

：.LAOB=LAOE+乙BOE=LOAC+乙OBD=25°+30°=55。,

故答案為:55°.

(2)解：LAOB=^.OAC+^OBD,理由如下：

如圖1,過點(diǎn)。作?！闕Im,

*.*nIIn,

：,raIInIIOE,

：.LAOE=Z.OAC,乙BOE=^OBD,

：.^AOB=^AOE+乙BOE=^OAC十乙OBD,U\l^AOD=^OAC十乙ODD.

(3)解：/-AOB=Z-OBD-WAC^AOB=^OAC-AOBD,理由如下：

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在射線CP上時(shí)，過點(diǎn)。作。E||m,

：.ra||n||OE,

：.LAOE=Z.OAC,乙BOE=LOBD,

：,LAOB=乙BOE-AAOE=Z.OBD-2LOAC,即N408=Z.OBD-^OAC；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在射線Z)Q上時(shí)，過點(diǎn)。作?！闕Im,

:.TnIInIIOF,

：.LAOE=AOAC,乙BOE=LOBD,

：,LAOB=^AOE-乙BOE=/.OAC-乙OBD,^i￡AOB=Z.OAC-乙OBD；

綜上所述，LAOB=乙OBD-4O4C或/A08=Z-OAC-乙OBD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的美鍵.

【變式6-1](2023下?四川宜賓?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，將線段4B平移至DC,使點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)8與

點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，連接4Q,BC.E為BC延長線上一點(diǎn)，連接DE,BD,且NECO=NEDC,作平分/BDE交BE于

點(diǎn)F.

(1)若當(dāng)44DC=70°f^BDE=110°時(shí)，求/C。尸的度數(shù)；

(2)若乙CDF=a/D8C=/7,試探究a與/7之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)15。

(2)a=1/?,理由見解析

【分析】(1)平移，得到力DIIBC,推出=乙EDC=70°,角平分線的定義，得至尸=乙BDF=

-ABDE=55°,再根據(jù)乙CDF="DE-N/DE進(jìn)行求解即可；

2

(2)設(shè)乙FOE=x/CDF=a,得到乙DCE=乙CDE=X+a,角平分線推出48DC=(BDF-乙CDF=x-a,

進(jìn)而得到/DBC=乙DCF-乙BDC=(x+a)-(x-a)=2a=2乙CDF,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???將線段88平移至DC,

：.AD||BC,

：.LADB=乙DBC,乙ADC=乙ECD=70°,

工乙ECD=乙EDC=70°,

:“ADC=乙EDC,

???。/'卜分乙BDE,

AzFDF=Z.BDF=底BDE=55°,

2

：.LCDF=乙CDE-乙FDE=15。；

(2)a=-/?,

2L

理由：^FDE=x,Z.CDF=a,

則，DCE=Z-CDE=x+a,

???。尸平分48困

:?乙BDF=LEDF=x,

:?乙BDC=Z-BDF—乙CDF=x—a,

：.LDBC=乙DCF-Z.BDC=(x+a)-(%-a)=2a=2zCDF,

:?〃:DF=、￡DBC,g|Ja=-/?.

22廣

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算.解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)，理

清角之間的和差，倍數(shù)關(guān)系.

【變式6-2](2023下?上海靜安?八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥?已知：四邊形ABC。，/DII8C(如圖

1),點(diǎn)。在直線。上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸和點(diǎn)C,D不重合，點(diǎn)尸，A,8不在同一條直線上，若記ZD4P,乙APB,

圖1

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出乙a,邛,乙y之間的關(guān)系并說出理由.

圖2

(2)如果點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)，探究△。，邛,4y之間的關(guān)系，并說明理由.

【答案】(l)NS=Na+NV

(2)/0=zy-za

【分析】（1）過點(diǎn)P作PE||4。，如圖1,由「。得=由40118c得PE||BC,fflzy=^BPE,

所以4?=Z.APE+乙BPE=La+zy；

（2）如圖2,根據(jù)平行線的性質(zhì)由A。IIBC得"BC=41,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得乙1=LPAD+乙1PB,

所以44P3=々P3C—4P/4。，即乙夕=乙丫一乙2.

【詳解】（1）乙0=4。+乙丫.理由如下：

過點(diǎn)P作PEIIAD,如圖1,

???PE||AD,

:.za=zAPE,

VAD||BC,

.??PE||BC,

???zy=zBPE,

???zp=zAPE+zBPE=za4-Zy：

（2）如圖2,AD||BC,

???zPBC=z.1,

而Z.1=4PAD4-ZAPB,

???ZAPB=ZPBC-ZPAD,

即=zy—za.

rai圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等.

【變式6-3］（2023下?河南焦作?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,已知乙4=50。，C為射線力。上一點(diǎn)［不與點(diǎn)A重

合），連接BC

【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點(diǎn)C作CEIL48

（1）若乙BCD=730,求NB的度數(shù);

（2）若乙B=30°,求/BCD的度數(shù);

【探究】直接寫出圖1中乙4,NB和乙BCD之間的數(shù)量關(guān)系：_；

【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題.

如圖3/4=50。，C為射線AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），在射線BC上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)O作直線MN,使MNIIAD,

8E平分4/18C交力。于點(diǎn)E,。產(chǎn)平分乙80N交力。于點(diǎn)尸，0G||8E交710于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C沿著射線710方向運(yùn)動(dòng)

時(shí)，NF0G的度數(shù)是否會(huì)變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)不變的值.

【答案】(1)23。(2)80°

【探究】乙BCD=/.BAD+乙B

【拓展】不變，25。

【分析】【發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)=乙ECD=50°,再求出ZBCE的度數(shù)，利用內(nèi)錯(cuò)角相等可求

出角的度數(shù)；（2）由（1）可得出ZBCD=44+=50°+30°=80°；

【探究】過點(diǎn)C作CEIIAB,類似（1）利用平行線的性質(zhì)，得出三個(gè)角的關(guān)系;

【拓展】運(yùn)用（2）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，可求出ZFOG度數(shù)，可得結(jié)論.

【詳解】【發(fā)現(xiàn)】⑴???CE||48,

=LDCE=50。，4B=乙BCE,

■:乙BCD=73°

：.LB=乙BCE=乙BCD-乙DCE=23°

(2)由(1)可知NBCD=44+"=SO。+30°=80°

【探究】々BCD=乙BAD+乙B,

理由：過點(diǎn)。作CEWAB,如圖2,

則乙84。=乙ECD,乙B=乙BCE,

.:乙BCD=Z.ECD+Z.BCE,

:?乙BCD=乙BAD+乙B；

故答案為：乙BCD=4BAD+乙B

【拓展】不變，設(shè)乙48E=X,

平分4/1BC,

..LCBE=Z.ABE=x,

由【探究】結(jié)論可知N8CD=乙BAD+匕ABC,且乙BAD=50。，

則：^BCD=50°+2x,

'：AD||MN,

，乙BCD=乙BON,

?；OF平分乙BON,

Z.COF=Z.NOF="ON=25>+x,

2

*：OG||BE/COG=Z.CBE=%,

：,LFOG=Z.COF-乙COG=25°+x-x=25°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握用平行線的性質(zhì)證明角相等，通

過等量代換等方法得出角之間的關(guān)系.

【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】

【例7】(2023下?湖北十堰?八年級(jí)校考期中)如圖,已知7MIIBN,乙4=60。，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與

點(diǎn)A不重合)，BC,8D分別平分U8P和NPBN,交射線4M于點(diǎn)C,D.

[\}LCBD=°：

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，堞是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使ZACB=zABD時(shí)，求“BC的度數(shù).

【答案】（1）60

（2）是定值，2

（3）30°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，和平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線的定義，進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及推出Z08N=進(jìn)而推出2448C+2408N=44=

120°,即可得解.

【詳解】（1）解：V/1M||BN,LA=60°,

???/ABN=180°一4A=120°,

,：BC,8。分別平分ZA8P和上PB/V,

/.乙PBC=-乙PBA,乙PBD=-乙NBP,

22

?:乙ABN=LABP+乙PBN,

:?乙CBD=乙PBC+乙PBD=^（APBA+乙NBP）=^Z-ABN=60°,

故答案為：60.

（2）黑是定值，理由如下：

L/IS

???BD平分乙PBN,

???乙PBN=2乙DBN,

設(shè)乙DBN=x,則/P8N==2%,

AM\\BN,

:.Z.ADB=Z.DBN=x,Z.APB=LPBN=2x,

△APB2X

???------=——=2.

Z.4DBx

⑶???4MII8N,

AZ.ACB=乙CBN,

vZ.ACB=UBD,

/.CBN=乙ABD,

乙CBN-乙CBD=乙ABD-乙CBD,

???乙DBN=乙4BC,

?：AM\\BN,

???/ABN+44=180°,

vLA=60°,

???乙4BN=180°—NA=120°,

又?:BC平分z/BP,

Z.ABP=2/.ABC,

由（2）知，乙PBN=2乙DBN,

v"BN=乙ABP+乙PBN,

2Z.ABC+2乙DBN=4/.ABC=120°,

???/.ABC=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義.熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是

解題的關(guān)鍵.

【變式7-1](2023下?四川達(dá)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知直線4BIICD,點(diǎn)￡、尸分別在直線48、C。上,連接EF,

FG平分/EFO.

(1)如圖I,連接EG,若EG平分NBEF.求NG的度數(shù)；

(2)如圖2,連接EG,若乙BEG=cFEH,猜想NEHF和乙G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)皿圖3,點(diǎn)”為線段EF(端點(diǎn)除外)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H作EF的垂線交力8于M,連接MG,若MG平

分/EMH,問乙G的度數(shù)是否為定值？若是，求出NG的度數(shù)：若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(l)NEG/=90。

(2)/EGF+NEHF=1800；理由見解析

(3)/MG/的度數(shù)是為定值，且NMG尸=45。

【分析】(1)根據(jù)EG、FG分別平分N8E”和NEH),得至ljN8"=2NF￡G,ZEFD=2ZGFE,白干BE||CF

到/8//+/石/。=180。，于是得到2/莊6+2/6尸。=180。，即可得到結(jié)論：

(2)過點(diǎn)G作GNIIAB,因?yàn)?BIICD,所以GNIICD.設(shè)/EGN=4BEG=a,ZNGF=ZGFD=(i.由已

知可得/反；/=/8七6+/6尸。=。+4，ZEHF=180°-ZEFG-ZFEH=180°-a-//,即可解答；

(3)過點(diǎn)G作GN||AB,因?yàn)锳BIICD,所以GNIICD.所以設(shè)/MGN=NBMG=a,/NGF=/GFD=。.即

NMGF=NBMG+NGFD=a+￡,根據(jù)NEFO的平分線相交于G,得到NMEF=NEFD=2仇所

以NHME=90。-NMEF=90°-2日.再因?yàn)?WH_LEF,所以/月用七=90。一/加七F=90。-2/?.再根據(jù)MG平分

NBMH,利用等量代換即可得到結(jié)論MH所以/〃加上=90。-/用￡/=90。-2/7.再根據(jù)條件MG平分

/BMH,得到NEMG=45。-夕，即可得解.

【詳解】(1)解：?:EG、/G分別平分和NE/7),

:,乙BEF=2乙FEG,/EFD=2/EFG,

'：ABIICD,

AZBEF4-ZEFD=180°,

???2ZFEG+2ZGFE=180°,

.*.ZFEG4-ZGFE=90°,

NEGF+ZFEG-\-ZGFE=180%

.\ZEGF=90°.

(2)解：猜想：ZEGF+ZE/7F=180°,

過點(diǎn)G作GN||AB,

*：AB||CD,

:,GN||CD,

設(shè)NEGN=NBEG=a,ZNGF=ZGFD=fl,

???NEGF=/BEG+/GFD=a+§,

??YG平分NE尸O,

:.NEFG=NGFD=6,

,/ZEHF=180°-ZEFG-ZFEH=180°-a-^,

，ZEHF=\SO°-a-p=\SOQ-ZEGF,

???N￡G/+NE”F=180°.

(3)解：結(jié)論：/MGF=45。，理由如下：

過點(diǎn)G作GGIIAB,

'：ABIICD,

???GNIICD,

，設(shè)4MGN=4BMG=a,ZNGF=ZGFD=fi,

NMGF=/8MG+/GFD=a+8,

???FG平分/七/。，

:.NEFG=NGFD=B，

?:AB||CD,

:.NMEF=/EFD=26,

VMH1EF,

???ZHME=90°-ZMEF=90°-2^,

?，WG平分N8M”，

?

??NEMG=ZGMH=a=2-ZHME,

:.ZEMGHME=^90°-2^=45°-/f,

:.NMGF=a+￡=45。一/6=45。,

:.NMG/=45。，

??.NMG尸的度數(shù)是為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023下?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖①，Z.EFH=90°,點(diǎn)A,C分別在射線FE和FH上,

AB\CD.

(I)若NF4B=150。，則NHC。的度數(shù)為_____；

(2)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，無論乙凡48如何變化，乙凡4B-N，CO的值始終為定值，并給出了一種證明該發(fā)現(xiàn)的輔助

線作法：如圖②，過點(diǎn)A作/1MIIFH,交CQ于點(diǎn)M.請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)提供的輔助線，確定該定值，并說

明理由；

(3)如圖③，把2EPH=90?！备臑?EFH=120。"，其他條件保持不變，猜想乙凡48與ZJ7CD的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【答案】(1)60。

(2)90°,理由見解析

(3)LFAB-Z.HCD=60°,理由見解析

【分析】(1)過點(diǎn)尸作如圖，由已知尸G〃八8,ZM?=150°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N4PG+

N以4=180。，可計(jì)算出N/W7G的度數(shù)，由NEF〃=9()。，可計(jì)算出NC尸G的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)即可得

出答案；

(2)由已知條件AM〃/77,NEFH=90。,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NE/7/+N以M=180。，計(jì)算出NFAM的

度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得N8AM=/AMC