PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(十一)函數(shù)與方程(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝log2x＋x－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))C．(2,3) D．(3,4)C[∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)－4＝－eq\f(9,2)＜0，f(1)＝0＋1－4＝－3＜0，f(2)＝1＋2－4＝－1＜0，f(3)＝log23＋3－4＝log23－1＞0，f(4)＝2＋4－4＝2＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)，故選C.]2．(2024·黃山一模)已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，－1)B[方程f(x)＝k可化為e|x|＝k－|x|，由題意可知，函數(shù)y＝e|x|與y＝k－|x|的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖，故只需k＞1即可，故選 B．]3．若方程lnx＋x－5＝0在區(qū)間(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一實(shí)根，則a的值為()A．5 B．4C．3 D．2C[設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋x－5(x＞0)，則f′(x)＝eq\f(1,x)＋1＞0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞增．因?yàn)閒(3)·f(4)＝(ln3＋3－5)(ln4＋4－5)＝(ln3－2)(ln4－1)＜0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上有一零點(diǎn)，即方程lnx＋x－5＝0在區(qū)間(3,4)上有一實(shí)根，所以a＝3.]4．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值為()A．0 B．－eq\f(1,4)C．0或－eq\f(1,4) D．2C[當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).綜上，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋1，x≤1，,lnx，x＞1，))若方程f(x)－ax＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,3)))D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B[方程f(x)－ax＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，即直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＝lnx，得f′(x)＝eq\f(1,x)，設(shè)直線y＝kx與函數(shù)f(x)＝lnx(x＞1)的圖像相切，切點(diǎn)為(x0，y0)，則eq\f(y0,x0)＝eq\f(lnx0,x0)＝eq\f(1,x0)，解得x0＝e，則k＝eq\f(1,e)，即y＝eq\f(1,e)x是函數(shù)f(x)＝lnx(x＞1)的圖像的切線，當(dāng)a≤0時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0＜a＜eq\f(1,3)時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)＝lnx(x＞1)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，但與射線y＝eq\f(1,3)x＋1(x≤1)也有一個(gè)交點(diǎn)，這樣就有三個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a≥eq\f(1,e)時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；只有當(dāng)eq\f(1,3)≤a＜eq\f(1,e)時(shí)，直線y＝ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意．故選 B．]二、填空題6．已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個(gè)根比2大，另一個(gè)根比2小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(－∞，1)[設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋mx－6，則依據(jù)條件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0＜x＜4，,－\f(1,2)x＋6，x≥4，))若方程f(x)＋k＝0有三個(gè)不同的解a，b，c，且a＜b＜c，則ab＋c的取值范圍是________．(9,13)[依據(jù)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0＜x＜4，,－\f(1,2)x＋6，x≥4，))畫出函數(shù)圖像如圖，因?yàn)閒(a)＝f(b)＝f(c)，所以－log2a＝log2b＝－eq\f(1,2)c＋6，所以log2(ab)＝0,0＜－eq\f(1,2)c＋6＜2，解得ab＝1,8＜c＜12，所以9＜ab＋c＜13.]8．若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________．(0,2)[由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝ B．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖像，如圖所示，則當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)．]三、解答題9．已知a是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．[解]f(x)＝2ax2＋2x－3－a的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,2a).①當(dāng)－eq\f(1,2a)≤－1，即0＜a≤eq\f(1,2)時(shí)，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥1，))∴無(wú)解．②當(dāng)－1＜－eq\f(1,2a)＜0，即a＞eq\f(1,2)時(shí)，須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－3－a≤0，,a≥1，))解得a≥1，∴a的取值范圍是[1，＋∞)．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x＞0)．(1)作出函數(shù)f(x)的圖像；(2)當(dāng)0＜a＜b且f(a)＝f(b)時(shí)，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍．[解](1)如圖所示．(2)∵f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)．由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2.(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根．B組實(shí)力提升1．(2024·濟(jì)南一模)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))D[法一：當(dāng)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(3)＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(a,2)))(10－3a)＜0，解得eq\f(5,2)＜a＜eq\f(10,3)；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜\f(a,2)＜3，,Δ＝a2－4≥0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞0，,f3＞0))時(shí)，函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有一個(gè)或兩個(gè)零點(diǎn)，解得2≤a＜eq\f(5,2)；當(dāng)a＝eq\f(5,2)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為eq\f(1,2)和2，符合題意；當(dāng)a＝eq\f(10,3)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為eq\f(1,3)或3，不符合題意．綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，故選 D．法二：由x2－ax＋1＝0得ax＝x2＋1，∴a＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，令g(x)＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，易知g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上遞減，在[1,3)上遞增，∴g(x)min＝g(1)＝2.又∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，g(3)＝eq\f(10,3)，∴g(x)max＝eq\f(10,3)，∴a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).]2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2 B．1C．2 D．3C[作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0))的圖像(圖略)，令f(x)＝t，關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等價(jià)于t2－at＋1＝0，因?yàn)閠1·t2＝1，所以t1，t2同號(hào)，只有t1，t2同正時(shí)，方程才有根，假設(shè)t1＜t2，則0＜t1＜1，t2＞1，此時(shí)關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5個(gè)不同的根，只有t1＝t2＝1，關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3個(gè)不同的根，此時(shí)a＝2，故選C.]3．(2024·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值是________．－eq\f(7,8)[令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ只有一個(gè)實(shí)根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個(gè)實(shí)根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).]4．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)－4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解](1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)因?yàn)間