（14）三角形及其全等（知識(shí)精煉）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精煉與綜測(cè)重難講解1.三角形的三邊關(guān)系及角的關(guān)系分類按角分：按邊分：性質(zhì)三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.角的關(guān)系：（1）內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.（2）內(nèi)外角關(guān)系：a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖，b.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角如圖，邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）三角形具有穩(wěn)定性2.三角形中的重要線段名稱圖形性質(zhì)重要結(jié)論中線三角形的三條中線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，這個(gè)點(diǎn)稱為重心.中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.高，即銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部，這個(gè)點(diǎn)稱為垂心.角平分線三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，這個(gè)點(diǎn)稱為內(nèi)心.中位線且中位線所截得的三角形與原三角形相似，其相似比為1:2，面積比為1:43.線段的垂直平分線線段的垂直平分線圖形性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等直線是線段的垂直平分線，為上一點(diǎn)，則；反過來，若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上知識(shí)詳解（1）由線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，比利用兩三角形全等證明更簡(jiǎn)捷.線段的垂直平分線的性質(zhì)在求線段的長(zhǎng)及平面圖形的周長(zhǎng)中都有廣泛的應(yīng)用.（2）線段的垂直平分線的判定是畫線段垂直平分線的依據(jù)4.角平分線的性質(zhì)內(nèi)容符號(hào)語(yǔ)言圖形角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等如果點(diǎn)在的平分線上，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，那么知識(shí)詳解（1）性質(zhì)中的距離是指點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長(zhǎng).（2）性質(zhì)中有兩個(gè)條件：一是點(diǎn)在角的平分線上，二是這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離，即這個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)度，兩者缺一不可.（3）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.（4）應(yīng)用角平分線的性質(zhì)解題的格式：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，.（5）角平分線的性質(zhì)的作用：由于角平分線的性質(zhì)的結(jié)論是兩條線段相等，因此角平分線的性質(zhì)常被用來證明兩條線段相等5.角平分線的判定內(nèi)容符號(hào)語(yǔ)言圖形角平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上如果點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，那么點(diǎn)在的平分線上知識(shí)詳解（1）角平分線的性質(zhì)與判定的關(guān)系：點(diǎn)在角的平分線上（角的內(nèi)部的）點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.要正確理解，明確條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的交換，性質(zhì)是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù).（2）應(yīng)用角平分線的判定解題的格式：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，平分6.全等三角形的性質(zhì)與判定概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高、角平分線、中位線都相等判定邊邊邊（）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等邊角邊（）：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等角邊角：（）：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等角角邊（）：兩角對(duì)應(yīng)相等，且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形相等斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，無(wú)論用哪種方法，都要有三組元素對(duì)應(yīng)相等，且其中最少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等延伸拓展1.三角形內(nèi)角、外角平分線相交構(gòu)成的角有如下規(guī)律：（1）（兩個(gè)內(nèi)角的平分線）如圖所示，在中，與的平分線交于點(diǎn)，則.（2）（一個(gè)內(nèi)角的平分線和一個(gè)外角的平分線）如圖所示，在中，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則.（3）（兩個(gè)外角的平分線）如圖所示，和是的兩個(gè)外角，與的平分線交于點(diǎn)，則.2.構(gòu)造三角形中位線的方法中位線具有平移角度、倍分轉(zhuǎn)化的功能.在遇到與中點(diǎn)相關(guān)的題目時(shí)，有時(shí)需要通過添加輔助線構(gòu)造三角形中位線，常用的構(gòu)造方法有：①如圖（1），若已知一邊中點(diǎn)，則取另一邊中點(diǎn)；②如圖（2），若已知兩邊中點(diǎn)，則連接第三邊；③如圖（3），若已知一邊中點(diǎn)，則將另一邊倍長(zhǎng)，再連接第三邊；④如圖（4），若已知一條線段與角平分線垂直，則延長(zhǎng)這條線段構(gòu)造等腰三角形，結(jié)合已知條件得到中位線.解題方法1.解三角形的三邊關(guān)系問題三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.利用三角形三邊之間的關(guān)系可以解決以下兩類問題：（1）判斷三條線段能否組成三角形：三條線段中，如果較短的兩條線段之和大于最長(zhǎng)的線段，那么這三條線段能組成一個(gè)三角形.（2）確定三角形第三邊的取值范圍：三角形兩邊為，則第三邊必滿足，由此便可確定第三邊的取值范圍.【方法總結(jié)】判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段之和大于最長(zhǎng)的線段，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.在給出一組線段，判斷它們能否圍成三角形時(shí)，應(yīng)先分類討論確定有多少種選擇，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一進(jìn)行驗(yàn)證.2.求等腰三角形的邊長(zhǎng)問題解決已知等腰三角形的周長(zhǎng)和一邊長(zhǎng)求另兩邊長(zhǎng)問題的方法：當(dāng)題目沒有明確已知邊是底邊還是腰時(shí)，則已知邊可能是底邊，也可能是腰，此時(shí)要分類討論，并利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)每種情況進(jìn)行檢驗(yàn)，看能否組成三角形；若已經(jīng)明確已知邊是腰或底邊，則不需要分類討論.3.解與三角形的高、中線有關(guān)的問題三角形的高和中線是三角形中的兩條重要線段.①?gòu)娜切我粋€(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫作三角形的高；利用三角形的高可解決三角形相關(guān)角度的計(jì)算和面積計(jì)算的問題.鈍角三角形由兩條高線在三角形外部，對(duì)于無(wú)附圖的幾何題一般需要進(jìn)行分類討論.②三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫作三角形的中線，三角形的每條中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形，因此這兩個(gè)三角形的面積相等.【方法總結(jié)】由三角形的高可得的角，與三角形內(nèi)角和、外角和相聯(lián)系可解決三角形相關(guān)角度的計(jì)算問題，同時(shí)三角形的高是計(jì)算三角形面積的重要條件.4.證明線段的和差關(guān)系或位置關(guān)系證明線段的和差問題，通常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，即一種是在“和線段”上截取一部分等于一個(gè)“分線段”，再證剩余部分等于另一“分線段”，這種方法叫“截長(zhǎng)法”；另一種是延長(zhǎng)“分線段”，使其等于“和線段”，再證延長(zhǎng)部分等于另一“分線段”，這種方法叫“補(bǔ)短法”.5.三角形全等的開放性問題一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則可再找兩角的夾邊相等或一組對(duì)應(yīng)邊相等；若已知一邊一角，則找另一組角，或找夾這個(gè)角的另一組邊相等.6.運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問題①證明線段的和差問題：要證一條線段等于另兩條線段的和，可采用轉(zhuǎn)化法，即將“大量”分成兩部分，證它們分別等于兩個(gè)“小量”.過角的平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分