第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，王師傅家的院子里有一塊矩形空地，他準(zhǔn)備在空地中間修建一個矩形水池，其余地方種植蔬菜．已知矩形空地的長為，寬為，矩形水池的長為，寬為．(1)求矩形空地的周長；（結(jié)果化為最簡二次根式）(2)求種植蔬菜的面積．2．列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，矩形由10塊形狀大小相同的小長方形紙片拼接而成．(1)求一塊小長方形紙片的長和寬；(2)求由小長方形拼接的矩形的面積．3．如圖，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求矩形的面積．4．如圖①，有一張平行四邊形紙片，將紙片沿著對角線剪開，形成兩個全等的三角形，．如圖②，將沿著的方向以每秒的速度平移得到；設(shè)運(yùn)動時間為t秒，連接．(1)四邊形的形狀為；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形是菱形？請說明你的理由；(3)四邊形能是矩形嗎？若能，求出t的值及此時矩形的面積；若不能，說明理由．5．如圖，在矩形中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上且平分，連接并延長交于點(diǎn)F，連接．(1)判斷四邊形的形狀，并證明；(2)若，，求四邊形的面積．6．菱形中，是對角線上一動點(diǎn)，為射線上一動點(diǎn)，．(1)如圖1，點(diǎn)在點(diǎn)右邊，當(dāng)，時，與的大小關(guān)系為___________；___________度．(2)如圖2，若點(diǎn)三點(diǎn)共線，且于，四邊形和面積分別記為，求．(3)如圖3，若，，求當(dāng)___________度時，的最小，最小值是___________．7．如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點(diǎn)O，平分，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．8．如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，連結(jié)，，．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖1，若，求證：；(3)如圖2，當(dāng)平行四邊形為菱形時，若，，求四邊形的面積．9．如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩條弧交于內(nèi)一點(diǎn)P，連接，過點(diǎn)P作直線，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線，交于點(diǎn)F．(1)判斷四邊形的形狀；(2)若，，求四邊形的面積．10．如圖，在四邊形中，，對角線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形；(3)在（2）的條件下，若菱形的面積為，求的長．11．在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用邊長分別為，的兩個正方形，（如圖）進(jìn)行擺放，其中，現(xiàn)有兩種擺放方式：方式一，如圖，將正方形放在正方形內(nèi)部；方式二，如圖，將正方形，并列放置在邊長為的正方形內(nèi)部．若記圖中正方形，的面積之和為，記圖，圖中陰影部分的面積分別為，，解答下列問題：(1)______，______，______；（用m，n的代數(shù)式表示）(2)若的三邊長分別為，，．試猜想是哪一類三角形，并證明你的猜想．12．綜合實(shí)踐，長方體中蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識，善思小組開展長方體中數(shù)學(xué)知識的探究如圖①是底面為正方形的長方體盒子，，，，該小組把長方體的兩側(cè)面，剪下來，沿著和剪開，得到四個全等的直角三角形，可拼成如圖②和如圖③所示的“弦圖”，【探究一】（1）如圖②，若每個直角三角形較小銳角為30°，小正方形的面積為16，求大正方形的面積：【探究二】（2）如圖③、若小正方形的面為5，，則大正方形的面積為_____；【探究三】（3）為了使長方體盒子更加美觀，現(xiàn)準(zhǔn)備在長方體外表面從點(diǎn)A到點(diǎn)G粘貼一條彩色條（寬度忽略不計）．設(shè)所用彩色條的長度為，探究的最小值（用含，的代數(shù)式表示）．該小組探究如下：將長方體盒子側(cè)面，展開成圖④所示的平面圖形，連接，在中，，即的最小值為．上述探究結(jié)果是否正確？若不正確，畫圖并求出的最小值．13．四邊形和四邊形都是正方形、、、三點(diǎn)在同一直線上．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，延長，分別交，于點(diǎn)，，連接，，．①若，求三角形的面積；②若正方形和正方形的邊長分別為，且，，記三角形的面積為，四邊形的面積為，用含有，的代數(shù)式表示，并求出的值；(2)如圖2，點(diǎn)，分別在線段，的延長線上，連接，記正方形和正方形的面積分別為，．若，，則直接寫出的面積．（用含，的代數(shù)式表示）14．在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，已知．(1)當(dāng)為銳角，且時，求的值；(2)當(dāng)時，畫出圖形，并求與重疊部分的面積；(3)將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，取中點(diǎn)為，求動點(diǎn)到距離的最大值．15．如圖，已知正方形的邊長為a，正方形的邊長為，點(diǎn)G在邊上，點(diǎn)E在邊的延長線上，交邊于點(diǎn)H．連接、．(1)填空：用a，b表示的面積（寫出化簡后結(jié)果）；(2)用a，b表示的面積，并化簡；(3)如圖2，若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，連接、、，試比較的面積和的面積的大?。▽懗鲞^程）．參考答案1．(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，理解題意，正確列式是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的周長公式，結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡求解即可；（2）先由矩形空地的面積減去矩形水池的面積得到種植蔬菜的面積即可求解．【詳解】（1）解∶，答：矩形空地的周長為；（2）解∶，答：種植蔬菜的面積為．2．(1)一塊長方形紙片的長為，寬為(2)【分析】此題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，長方形的性質(zhì)，根據(jù)長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．（1）首先設(shè)一塊長方形紙片的長為，寬為，然后用的代數(shù)式分別表示出長方形的兩條長邊分別為，，寬為,進(jìn)而根據(jù)長方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可得出答案；（2）根據(jù)長方形的面積計算公式即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)一塊長方形紙片的長為，寬為．依題意得：，解得：，答：一塊長方形紙片的長為，寬為．（2）由小長方形拼接的矩形的面積為．答：小長方形拼接的矩形的面積為．3．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，則可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)菱形的判定即可得證；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得，由此即可得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．（2）解：由（1）已證：四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴矩形的面積為．4．(1)平行四邊形(2)，見解析(3)能，，面積為【分析】（1）根據(jù)平移和平行四邊形的性質(zhì)證明，，即可求證；（2）當(dāng)秒時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定，即可得出四邊形是菱形；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，在根據(jù)含的直角三角形可得，再根據(jù)勾股定理可得，，從而得出．【詳解】（1）證明：∵平行四邊形，∴，，∴，根據(jù)平移的性質(zhì)得到：，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)秒時，四邊形是菱形．∵，∴，∴，∵∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．（3）解：能．∵是矩形，，∴，，∵，∴，∴，∴，即當(dāng)四邊形是矩形，．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，平移和全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形，平行四邊形，矩形和菱形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．(1)四邊形是菱形，證明見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等角對等邊，熟知菱形的性質(zhì)與判定定理，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由矩形的性質(zhì)得到，則有，證明得到，則可證明四邊形是平行四邊形，再證明，得到，據(jù)此可得結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，證明如下：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴．6．(1)=，116(2)(3)75；【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線等分線段定理、全等三角形的判斷和性質(zhì)等知識點(diǎn)，構(gòu)造得到是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出和關(guān)于對稱，便可得出兩個三角形的面積關(guān)系；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后由通過等量代換即可解答．（2）先通過勾股定理求出的長，然后由平行線分線段成比例得出，求出的長度進(jìn)而求出，再通過菱形關(guān)于對角線對稱的性質(zhì)得出，然代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算即可解答．（3）通過構(gòu)造得到，再由B、E、G三點(diǎn)共線時確定最小時點(diǎn)E的位置，然后由為等腰直角三角形求解即可．【詳解】（1）解：∵菱形，∴和關(guān)于對稱，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，即．∴．故答案為：=；116．（2）解：在中，，∵，∴，∴，即，∵，∴，解得：，如圖：連接，則，由（1）可知，．∴．（3）解：如圖：過點(diǎn)D作，截取，連接．∵菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，即，∵菱形，∴垂直平分，∴，∵，∴．在和中，，∴．∴．由于B、G兩點(diǎn)為定點(diǎn)，E為動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，最小，即最?。撸?，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，當(dāng)最小時，．故答案為：75；．7．(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義可得出，根據(jù)等角對等邊得出，則，根據(jù)一組對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形可出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合鄰邊相等即可得證；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出、，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形，（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，∵，，，∴，∴，，在中，由勾股定理得，，∵，∴，∴．8．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）首先得到，，然后證明出，，即可證明；（2）首先得到，然后求出，然后利用三線合一證明即可；（3）如圖所示，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，求出，，然后由求出，然后解直角三角形求出，然后利用平行四邊形面積公式求解即可．【詳解】（1），，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2），，互相平分，，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，；（3）如圖所示，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，，，，∴菱形，，，，，∵，為等邊三角形，，，，，四邊形BEFG的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)勾股定理，解直角三角形和三線合一性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．9．(1)四邊形為菱形(2)【分析】（1）先判定四邊形為平行四邊形，再證明，可證四邊形為菱形；（2）過作于，先求出，再由勾股定理求出，設(shè)，在中，由勾股定理求出，最后根據(jù)菱形面積公式求出面積．【詳解】（1）四邊形為菱形．，，四邊形為平行四邊形，，由作圖得：平分，，，，四邊形為菱形．（2）過作于，平分，，，，，四邊形為菱形，，設(shè)，在中，，即：，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，菱形的判定定理，勾股定理，等角對等邊，掌握菱形的判定定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得證；（2）由題中條件證得的對角線，再由菱形的判定定理即可得證；（3）由菱形的面積列方程求出，在中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形；（3）解：由（2）可知，四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、菱形的判定、菱形面積公式及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．(1)，，；(2)是直角三角形．【分析】本題主要考查了完全平方公式，勾股定理的逆定理，熟練掌握完全平方公式和勾股定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式以及圖形之間的關(guān)系用含和的代數(shù)式表示出、、的值即可；由可知：，，，從而可得，根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形．【詳解】（1）解：正方形，的邊長分別為，，，圖中陰影部分的面積為，圖中陰影部分的面積為，故答案為：，，；（2）解：是直角三角形，證明：由可知：，，，，，，又，，是直角三角形．12．（1）；（2）大正方形的面積為13；（3）不正確，圖見解析，最小值為．【分析】（1）根據(jù)小正方形面積求出，再根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求出結(jié)果即可；（2）由題意可知，中間小正方形的邊長為，得到，，得到，即可得解；（3）將長方體盒子側(cè)面，展開成平面圖形，求出此時，然后再比較大小即可．【詳解】解：（1）∵小正方形的面積為16，∴.∵每個直角三角形較小銳角為30°∴根據(jù)句股定理，得∴大正方形的邊長為.∴大正方形的面積為.(2)由題意可知，中間小正方形的邊長為，∴，即①:∵＝21，即②，①＋②得，，∴，∴大正方形的面積為13.（3）不正確.將長方體盒子側(cè)面，展開成平面圖形，如圖⑤所示，連接.在Rt△ABG中，AG＝∵，又＞b＞0，∴∴＞0，∴，即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，主要考查了勾股定理的幾何證明，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握勾股定理．13．(1)①18；②11．(2)【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、完全平方公式等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用完全平方公式以及整體思想成為解題的關(guān)鍵．（1）①先說明，然后運(yùn)用三角形面積公式求解即可；②結(jié)合①可得，則、，則，整理后得到，然后代入計算即可；（2）設(shè)正方形的邊長為a，則小正方形的邊長為，的面積，由題意可得，由可得，整理得，然后求解即可．【詳解】（1）解：①∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，四邊形是矩形，∴，即∴，∴，∴三角形的面積為；②∵若正方形和正方形的邊長分別為，∴結(jié)合①可得，則，∵，∴．（2）解：設(shè)正方形的邊長為a，則小正方形