PAGEPAGE1第47講拋物線1.[2024·北京豐臺(tái)區(qū)一模]已知拋物線C的開(kāi)口向下,其焦點(diǎn)是雙曲線y23-x2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (A.y2=8x B.x2=-8yC.y2=2x D.x2=-2y2.[2024·四川達(dá)州四模]過(guò)拋物線y2=mx(m>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,|PQ|=54m,則m= (A.6 B.4 C.10 D.83.[2024·吉林市三調(diào)]以拋物線y2=8x上的隨意一點(diǎn)為圓心作圓與直線x=-2相切,這些圓必過(guò)肯定點(diǎn),則這肯定點(diǎn)的坐標(biāo)是 ()A.(0,2) B.(2,0)C.(4,0) D.(0,4)4.[2024·四川綿陽(yáng)三診]拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

5.[2024·河南六市一模]已知拋物線y2=2ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y24-x29=1相交于M,N兩點(diǎn),若∠MFN=120°,6.[2024·安徽蚌埠質(zhì)檢]已知F是拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若|FN|=2|OM|,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 ()A.42 B.-82C.±42 D.±827.[2024·山東菏澤模擬]已知等邊三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面積為93,則p= ()A.3 B.3C.32 D.8.[2024·遼寧六校期中]已知直線l1的方程為x-y-3=0,l2為拋物線x2=ay(a>0)的準(zhǔn)線,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到l1,l2的距離之和的最小值為22,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.1 B.2C.4 D.289.[2024·湖南株洲質(zhì)檢]已知拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線y=k(x-1)與C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四點(diǎn)(其中x1<x2<x3<x4),則AB·CD的值為 ()A.1 B.2C.k24 D10.已知拋物線y2=2px(p>0),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)△ABC的三條邊AB,BC,AC的中點(diǎn)分別為M,N,Q,且M,N,Q的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,若直線AB,BC,AC的斜率之和為-1,則1y1+1y2+1A.-12p BC.1p D.11.[2024·黑龍江大慶二檢]已知點(diǎn)A(4,0)及拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,若拋物線上的點(diǎn)P滿意|PA|=2|PF|,則|PF|=.

12.[2024·四川資陽(yáng)三診]拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A,B為拋物線上的兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F,過(guò)AB的中點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則|MN||13.[2024·湖南十四校一聯(lián)]在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)(x≥0)到點(diǎn)F(1,0)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)若Q(-4,2),過(guò)點(diǎn)N(4,0)作隨意一條直線交曲線C于A,B兩點(diǎn),試證明kQA+kQB是一個(gè)定值.14.[2024·海南階段性測(cè)試]已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B(B位于第一象限)兩點(diǎn).(1)若直線AB的斜率為34,過(guò)點(diǎn)A,B分別作直線y=6的垂線,垂足分別為P,Q,求四邊形ABQP的面積(2)若|BF|=4|AF|,求直線l的方程.15.[2024·北京豐臺(tái)區(qū)期末]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求C的方程.(2)設(shè)點(diǎn)A在曲線C上,x軸上一點(diǎn)B(在點(diǎn)F右側(cè))滿意|AF|=|FB|,平行于AB的直線與曲線C相切于點(diǎn)D,問(wèn)直線AD是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

課時(shí)作業(yè)(四十七)1.B[解析]雙曲線y23-x2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,-2),故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)也是(0,-2),從而得到拋物線方程為x2=-8y.故選2.D[解析]設(shè)拋物線y2=mx(m>0)的焦點(diǎn)為F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由拋物線的定義可知|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2+m2,∵線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且|PQ|=54m,∴6+m2=54m,∴m=83.B[解析]由題意得拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動(dòng)圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以動(dòng)圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn),即過(guò)點(diǎn)(2,0).4.0,18[解析]∵x2=12y,∴p=14,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,18.5.32613[解析]由題意知∠MFO=60°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a2,代入y24-x29=1,得|y|=21+a236,則6.C[解析]由題意知焦點(diǎn)F(4,0),∵|FN|=2|OM|,且∠FON=90°,∴由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知M是斜邊FN的中點(diǎn),∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x=0+42=2,當(dāng)x=2時(shí),點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y滿意y2=16x=32,故y=±42.故選C7.C[解析]依據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,不妨設(shè)直線OB:y=33x,與y2=2px聯(lián)立,得B(6p,23p),因?yàn)椤鰽OB的面積為93,所以34×(43p)2=93,解得p=32.8.C[解析]由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F0,a4,準(zhǔn)線l2的方程為y=-a4,點(diǎn)P到準(zhǔn)線l2的距離d2=|PF|.過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l1于點(diǎn)M,則點(diǎn)P到直線l1的距離d1=|PM|,所以d1+d2=|PF|+|PM|,易知當(dāng)點(diǎn)P為拋物線與FM的交點(diǎn)時(shí),|PF|+|PM|取得最小值,即|PF|+|PM|的最小值為點(diǎn)F到直線x-y-3=0的距離,則d1+d2的最小值為|0-a4-3|2=22,9.A[解析]易知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l0:x=-1.由拋物線的定義得|AF|=xA+1,∵|AF|=|AB|+1,∴|AB|=xA.同理,|CD|=xD.將y=k(x-1)代入拋物線方程,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴xAxD=1,則|AB|·|CD|=1.故選A.10.B[解析]設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3).∵△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,∴yA2=2pxA,yB2=2pxB,兩式相減并整理得(yA-yB)(yA+yB)=2p(xA-xB),而yA+yB=2y1,∴kAB=py1.同理可得kBC=py2,kAC11.22-1[解析]設(shè)P(x0,y0),則y02=4x0,|PF|=x0+1.∵|PA|=2|PF|,∴(x0-4)2+y02=2(x0+1),即4(x0+1)2=(x0-4)2+4x0,又x0>0,∴x0=-2+22,∴|PF|=12.22[解析]由拋物線的定義得|MN||AB|=|AF|+|BF|2|13.解:(1)由題意知點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離與到定直線x=-1的距離相等,∴點(diǎn)M的軌跡C是一個(gè)開(kāi)口向右的拋物線,且p=2,∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=4x.(2)證明:設(shè)過(guò)點(diǎn)N(4,0)的直線方程為x=my+4,由y2=4x,x=my+4,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-16,∴kQA+kQB=y1-2x1+4+y2-2x214.解:(1)由題意可得F(0,1),因?yàn)橹本€AB的斜率為34,所以直線AB的方程為y=34x+1,與拋物線方程聯(lián)立,得x2-3x-4=0,解得x=-1或4,所以點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-1,14,(4,4)所以|PQ|=|4-(-1)|=5,|AP|=6-14=234,|BQ|=|6-4|=2,易知四邊形ABQP為梯形,所以四邊形ABQP的面積為S=12×234+2×5=1558(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l:y=kx+1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.因?yàn)閨BF|=4|AF|,所以-x2x所以(x1+x2)2x1x2=x1x所以4k2=94,即k2=916,解得k=±因?yàn)辄c(diǎn)B位于第一象限,所以k>0,則k=34所以直線l的方程為y=34x+115.解:(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)C的方程為y2=2px(p>0),則p2=1,即p=所以C的方程為y2=4x.(2)直線AD過(guò)定點(diǎn)(1,0).設(shè)Am24,m,則Bm24