專(zhuān)題7.1條件概率與全概率公式【五大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1條件概率的計(jì)算】 1【題型2

條件概率性質(zhì)的應(yīng)用】 3【題型3利用全概率公式求概率】 5【題型4利用貝葉斯公式求概率】 7【題型5條件概率與全概率公式的綜合應(yīng)用】 9【知識(shí)點(diǎn)1條件概率】1．條件概率(1)條件概率的定義

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱(chēng)P(BA)=為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.

(2)性質(zhì)

設(shè)P(A)>0，為樣本空間，則

①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；

③設(shè)和B互為對(duì)立事件，則P(A)=1P(BA).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).【題型1條件概率的計(jì)算】【例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A．12 B．58 C．34【解題思路】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)為事件B，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)為事件B，則P(A)=36=所以P(B|A)=P(AB)故選：C.【變式11】（2023下·廣東肇慶·高二校考期中）已知PA=0.5，PB=0.3，PB∩AA．110 B．13 C．1【解題思路】直接利用條件概率公式計(jì)算.【解答過(guò)程】由題可得PB|A故選：C.【變式12】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢(xún)、交通宣傳四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則PA|BA．14 B．34 C．19【解題思路】由條件概率和獨(dú)立事件的公式直接求解處理即可.【解答過(guò)程】由題意得PB=3故P(A|B)=P(AB)故選：D.【變式13】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（）A．事件A與B相互獨(dú)立B．事件A與C相互獨(dú)立C．PD．P【解題思路】按相互獨(dú)立的定義可判斷AB，用條件概率公式可判斷CD.【解答過(guò)程】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診包含C4事件A含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為A3則PA同理PB事件AB含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為A22=2事件AC含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為C22+對(duì)于A，PAPB=1對(duì)于B，PAPC=1對(duì)于C，PB|A對(duì)于D，PC|A故選：D.【題型2

\o"條件概率性質(zhì)的應(yīng)用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166013/_blank"條件概率性質(zhì)的應(yīng)用】【例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．PB．若PA+PB=1，則C．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B互斥，則P【解題思路】利用條件概率的概率公式以及獨(dú)立事件與對(duì)立事件的概率公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可得到答案；【解答過(guò)程】對(duì)A，PB對(duì)B，若A，B對(duì)立，則PA對(duì)C，根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；對(duì)D，若A，B互斥，則PA故選：C.【變式21】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知PBA=13，PA．56 B．910 C．215【解題思路】由條件概率的計(jì)算公式求解即可.【解答過(guò)程】由題意，知P(AB)=P(B故選：C.【變式22】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知事件A，B，C滿(mǎn)足A，B是互斥事件，且PA∪BC=12，PBC=A．16 B．112 C．14【解題思路】根據(jù)條件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.【解答過(guò)程】由題意，PBC=PBCPC所以PA故選：A．【變式23】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知PB>0，A1①PA②PA③PA④PAA．①②③④ B．② C．②③ D．②④【解題思路】利用條件概率公式及概率性質(zhì)辨析【解答過(guò)程】①若A1B=?則PA②因?yàn)锳1A2=?所以③若A1B=?或A2④若A1B=?或A2故選：B.【知識(shí)點(diǎn)2全概率公式】1．全概率公式及應(yīng)用(1)全概率公式

一般地，設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱(chēng)此公式為全概率公式.

(2)全概率公式的意義

全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時(shí)，可以先找到樣本空間Ω的一個(gè)劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個(gè)部分，分別計(jì)算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求解.2．貝葉斯公式設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時(shí)，一般已知和未知條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實(shí)，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P()已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計(jì)算得到；

(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況的無(wú)條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P().【題型3\o"利用全概率公式求概率"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166014/_blank"利用全概率公式求概率】【例3】（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在2023亞運(yùn)會(huì)中，中國(guó)女子籃球隊(duì)表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運(yùn)會(huì)冠軍，該隊(duì)某球員被稱(chēng)為3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為34，非3分球投中的概率為45，且她每次投球投3分球的概率為23A．34 B．12 C．2330【解題思路】根據(jù)全概率公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分”，由全概率公式：PA故選：C.【變式31】（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看．小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、乙兩家影院觀影的概率分別為25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為1A．2350 B．12 C．25【解題思路】設(shè)出事件，根據(jù)條件概率公式得到PAB【解答過(guò)程】設(shè)小明第一天去甲影院為事件A，第二天去甲影院為事件B，小明第一天去乙影院為事件C，第二天去乙影院為事件D.故PA由PBA=故PB則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為PC故選：D.【變式32】（2023下·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（

）

A．1115 B．1130 C．115【解題思路】根據(jù)條件概率的定義，結(jié)合全概率公式，可得答案.【解答過(guò)程】記事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則P(A)=P(A由全概率公式得P(A)P(B故選：B．【變式33】（2023下·福建泉州·高二?？计谀┘?、乙兩個(gè)袋子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球.若用事件A1,A2和A3分別表示從甲袋中取出的球是紅球，白球和黑球，用事件BA．1730 B．35 C．922【解題思路】由全概率公式可得.【解答過(guò)程】易知PAPB|所以P(B)=P=2故選：A.【題型4\o"利用貝葉斯公式求概率"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166014/_blank"利用貝葉斯公式求概率】【例4】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為13和23，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為34，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為1A．37 B．47 C．15【解題思路】利用貝葉斯概率公式求解即可.【解答過(guò)程】記小孔同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求PA故選：A．【變式41】（2023上·江蘇常州·高三校考開(kāi)學(xué)考試）根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)=0.95，P(A|C)=0.95.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即PA．0.087 B．0.950 C．0.050 D．0.475【解題思路】根據(jù)條件概率的性質(zhì)及變式可求得P(A|C)，由已知可求得【解答過(guò)程】解：因?yàn)镻(A|C因?yàn)镻C=0.005，所以所以由全概率公式可得PA因?yàn)镻AC所以P(C|A)=P(A|C)P所以P(C|A)=19故選：A.【變式42】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來(lái).某考生知道正確答案的概率為13，在亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，若他答對(duì)了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是（

A．13 B．23 C．34【解題思路】利用全概率公式以及貝葉斯公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)A表示“考生答對(duì)”，B表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得PA又由貝葉斯公式得PB故選：B.【變式43】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：PAiB=PAiA．37150 B．975 C．1837【解題思路】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B，事件B的概率為【解答過(guò)程】設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B，事件①PA0=②PA1=③PA2=根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為PA2故選：C.【題型5條件概率與全概率公式的綜合應(yīng)用】【例5】（2023上·山東日照·高二日照一中校考階段練習(xí)）如圖，有三個(gè)外形相同的箱子，分別編號(hào)為1，2，3，其中1號(hào)箱裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．小明先從三個(gè)箱子中任取一箱，再?gòu)娜〕龅南渲腥我饷鲆磺?，記事件Ai（i=1，2，3(1)求P(B)的值：(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來(lái)自幾號(hào)箱的概率最大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）因先從三個(gè)箱子中任取一箱，再?gòu)娜〕龅南渲腥我饷鲆磺驗(yàn)楹谇颍渲杏腥N可能，即黑球取自于1號(hào)，2號(hào)或者3號(hào)箱，故事件B屬于全概率事件，分別計(jì)算出P(Ai)（2）由“小明取出的球是黑球，判斷該黑球來(lái)自幾號(hào)箱”是求條件概率P(A【解答過(guò)程】（1）由已知得：P(A1)=P(A2)=P(A3由全概率公式可得：P(B)=P(B（2）因“小明取出的球是黑球，該黑球來(lái)自1號(hào)箱”可表示為：A1B,其概率為“小明取出的球是黑球，該黑球來(lái)自2號(hào)箱”可表示為：A2B,其概率為“小明取出的球是黑球，該黑球來(lái)自3號(hào)箱”可表示為：A3B,其概率為綜上，P(A【變式51】（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┠吵鞘杏屑?、乙兩個(gè)網(wǎng)約車(chē)公司，相關(guān)部門(mén)為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車(chē)用戶(hù)（后面簡(jiǎn)稱(chēng)用戶(hù)，并假設(shè)每位用戶(hù)只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車(chē)出行）對(duì)甲，乙兩個(gè)公司的乘車(chē)費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車(chē)舒適度等因素的評(píng)價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：①用戶(hù)選擇甲公司的頻率為0.32，選擇乙公司的頻率為0.68：②選擇甲公司的用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意的頻率為0.62，選擇乙公司的用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意的頻率為0.78；③選擇甲公司的用戶(hù)對(duì)乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意的頻率為0.68，選擇乙公司的用戶(hù)對(duì)乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意的頻率為0.61；④選擇甲公司的用戶(hù)對(duì)乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意的頻率為0.21，選擇乙公司的用戶(hù)對(duì)乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意的頻率為0.32.將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.(1)分別求出網(wǎng)約車(chē)用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意、乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意、乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意的概率，并比較用戶(hù)對(duì)哪個(gè)因素滿(mǎn)意的概率最大，對(duì)哪個(gè)因素滿(mǎn)意的概率最小.(2)若已知某位用戶(hù)對(duì)乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意，則該用戶(hù)更可能選擇哪個(gè)公司的網(wǎng)約車(chē)出行？并說(shuō)明理由.【解題思路】（1）利用全概率公式可計(jì)算出用戶(hù)網(wǎng)約車(chē)用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意、乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意、乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意的概率，即可得出結(jié)論；（2）利用條件概率公式計(jì)算出該用戶(hù)對(duì)甲、乙兩個(gè)公司網(wǎng)約車(chē)舒適度滿(mǎn)意率，比較大小后可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)事件M:用戶(hù)選擇甲公司的網(wǎng)約車(chē)出行，事件A:用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意，事件B:用戶(hù)對(duì)乘車(chē)舒適度滿(mǎn)意，事件C:用戶(hù)對(duì)乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意.則PAPBP所以，用戶(hù)對(duì)等待時(shí)間滿(mǎn)意的概率最大，對(duì)乘車(chē)費(fèi)用滿(mǎn)意的概率最小.（2）解：由題知，PMPM所以，PM【變式52】（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開(kāi)辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元．ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題進(jìn)行探究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球．(1)從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，求2個(gè)球都是紅球的概率；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球．若抽到的是紅球，求它是來(lái)自乙箱的概率．【解題思路】（1）利用條件概率公式求摸出的2個(gè)球是紅球的概率；（2）利用全概率公式和貝葉斯公式求紅球來(lái)自乙箱的概率.【解答過(guò)程】（1）記事件A表示“抽出的2個(gè)球中有紅球”，事件B表示“兩個(gè)球都是紅球”，則PA=1?C故P（2）設(shè)事件C表示“從乙