專題7.1條件概率與全概率公式【五大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1條件概率的計算】 1【題型2

條件概率性質(zhì)的應用】 3【題型3利用全概率公式求概率】 5【題型4利用貝葉斯公式求概率】 7【題型5條件概率與全概率公式的綜合應用】 9【知識點1條件概率】1．條件概率(1)條件概率的定義

一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(BA)=為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

(2)性質(zhì)

設P(A)>0，為樣本空間，則

①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；

③設和B互為對立事件，則P(A)=1P(BA).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).【題型1條件概率的計算】【例1】（2023·全國·模擬預測）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A．12 B．58 C．34【解題思路】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件B，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【解答過程】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件B，則P(A)=36=所以P(B|A)=P(AB)故選：C.【變式11】（2023下·廣東肇慶·高二?？计谥校┮阎狿A=0.5，PB=0.3，PB∩AA．110 B．13 C．1【解題思路】直接利用條件概率公式計算.【解答過程】由題可得PB|A故選：C.【變式12】（2023上·遼寧沈陽·高二校考階段練習）甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活動共有關懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳四個項目，每人限報其中一項，記事件A為“四名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”，則PA|BA．14 B．34 C．19【解題思路】由條件概率和獨立事件的公式直接求解處理即可.【解答過程】由題意得PB=3故P(A|B)=P(AB)故選：D.【變式13】（2023上·全國·高三專題練習）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（）A．事件A與B相互獨立B．事件A與C相互獨立C．PD．P【解題思路】按相互獨立的定義可判斷AB，用條件概率公式可判斷CD.【解答過程】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊進行義診包含C4事件A含有的樣本點個數(shù)為A3則PA同理PB事件AB含有的樣本點個數(shù)為A22=2事件AC含有的樣本點個數(shù)為C22+對于A，PAPB=1對于B，PAPC=1對于C，PB|A對于D，PC|A故選：D.【題型2

\o"條件概率性質(zhì)的應用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166013/_blank"條件概率性質(zhì)的應用】【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知A，B分別為隨機事件A，B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列說法正確的是（

）A．PB．若PA+PB=1，則C．若A，B獨立，則PD．若A，B互斥，則P【解題思路】利用條件概率的概率公式以及獨立事件與對立事件的概率公式，對四個選項進行分析判斷，即可得到答案；【解答過程】對A，PB對B，若A，B對立，則PA對C，根據(jù)獨立事件定義，故C正確；對D，若A，B互斥，則PA故選：C.【變式21】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知PBA=13，PA．56 B．910 C．215【解題思路】由條件概率的計算公式求解即可.【解答過程】由題意，知P(AB)=P(B故選：C.【變式22】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且PA∪BC=12，PBC=A．16 B．112 C．14【解題思路】根據(jù)條件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.【解答過程】由題意，PBC=PBCPC所以PA故選：A．【變式23】（2023·高二課時練習）已知PB>0，A1①PA②PA③PA④PAA．①②③④ B．② C．②③ D．②④【解題思路】利用條件概率公式及概率性質(zhì)辨析【解答過程】①若A1B=?則PA②因為A1A2=?所以③若A1B=?或A2④若A1B=?或A2故選：B.【知識點2全概率公式】1．全概率公式及應用(1)全概率公式

一般地，設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱此公式為全概率公式.

(2)全概率公式的意義

全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一個劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求解.2．貝葉斯公式設，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P()已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；

(4)求解的目標是用A的某種情況的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P().【題型3\o"利用全概率公式求概率"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166014/_blank"利用全概率公式求概率】【例3】（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習）在2023亞運會中，中國女子籃球隊表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運會冠軍，該隊某球員被稱為3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為34，非3分球投中的概率為45，且她每次投球投3分球的概率為23A．34 B．12 C．2330【解題思路】根據(jù)全概率公式即可求解.【解答過程】設事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分”，由全概率公式：PA故選：C.【變式31】（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習）2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看．小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、乙兩家影院觀影的概率分別為25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為1A．2350 B．12 C．25【解題思路】設出事件，根據(jù)條件概率公式得到PAB【解答過程】設小明第一天去甲影院為事件A，第二天去甲影院為事件B，小明第一天去乙影院為事件C，第二天去乙影院為事件D.故PA由PBA=故PB則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為PC故選：D.【變式32】（2023下·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（

）

A．1115 B．1130 C．115【解題思路】根據(jù)條件概率的定義，結(jié)合全概率公式，可得答案.【解答過程】記事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則P(A)=P(A由全概率公式得P(A)P(B故選：B．【變式33】（2023下·福建泉州·高二校考期末）甲、乙兩個袋子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲袋中有2個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有3個紅球，1個白球和1個黑球，先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球.若用事件A1,A2和A3分別表示從甲袋中取出的球是紅球，白球和黑球，用事件BA．1730 B．35 C．922【解題思路】由全概率公式可得.【解答過程】易知PAPB|所以P(B)=P=2故選：A.【題型4\o"利用貝葉斯公式求概率"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166014/_blank"利用貝葉斯公式求概率】【例4】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識別支付系統(tǒng)后臺數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為13和23，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為34，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為1A．37 B．47 C．15【解題思路】利用貝葉斯概率公式求解即可.【解答過程】記小孔同學周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求PA故選：A．【變式41】（2023上·江蘇常州·高三校考開學考試）根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)=0.95，P(A|C)=0.95.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即PA．0.087 B．0.950 C．0.050 D．0.475【解題思路】根據(jù)條件概率的性質(zhì)及變式可求得P(A|C)，由已知可求得【解答過程】解：因為P(A|C因為PC=0.005，所以所以由全概率公式可得PA因為PAC所以P(C|A)=P(A|C)P所以P(C|A)=19故選：A.【變式42】（2023·全國·高二專題練習）一道考題有4個答案，要求學生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為13，在亂猜時，4個答案都有機會被他選擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是（

A．13 B．23 C．34【解題思路】利用全概率公式以及貝葉斯公式即可求解.【解答過程】設A表示“考生答對”，B表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得PA又由貝葉斯公式得PB故選：B.【變式43】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：PAiB=PAiA．37150 B．975 C．1837【解題思路】根據(jù)題意，先分析求解設從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件B的概率為【解答過程】設從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件①PA0=②PA1=③PA2=根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為PA2故選：C.【題型5條件概率與全概率公式的綜合應用】【例5】（2023上·山東日照·高二日照一中校考階段練習）如圖，有三個外形相同的箱子，分別編號為1，2，3，其中1號箱裝有1個黑球和3個白球，2號箱裝有2個黑球和2個白球，3號箱裝有3個黑球，這些球除顏色外完全相同．小明先從三個箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球，記事件Ai（i=1，2，3(1)求P(B)的值：(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱的概率最大？請說明理由．【解題思路】（1）因先從三個箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球為黑球，其中有三種可能，即黑球取自于1號，2號或者3號箱，故事件B屬于全概率事件，分別計算出P(Ai)（2）由“小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱”是求條件概率P(A【解答過程】（1）由已知得：P(A1)=P(A2)=P(A3由全概率公式可得：P(B)=P(B（2）因“小明取出的球是黑球，該黑球來自1號箱”可表示為：A1B,其概率為“小明取出的球是黑球，該黑球來自2號箱”可表示為：A2B,其概率為“小明取出的球是黑球，該黑球來自3號箱”可表示為：A3B,其概率為綜上，P(A【變式51】（2023·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃┠吵鞘杏屑?、乙兩個網(wǎng)約車公司，相關部門為了更好地監(jiān)管和服務，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計當?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為0.32，選擇乙公司的頻率為0.68：②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.62，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.78；③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.68，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.61；④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.21，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.32.將上述隨機事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.(1)分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.(2)若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由.【解題思路】（1）利用全概率公式可計算出用戶網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，即可得出結(jié)論；（2）利用條件概率公式計算出該用戶對甲、乙兩個公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.【解答過程】（1）解：設事件M:用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件A:用戶對等待時間滿意，事件B:用戶對乘車舒適度滿意，事件C:用戶對乘車費用滿意.則PAPBP所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.（2）解：由題知，PMPM所以，PM【變式52】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中．某學習小組設計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球．(1)從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球．若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率．【解題思路】（1）利用條件概率公式求摸出的2個球是紅球的概率；（2）利用全概率公式和貝葉斯公式求紅球來自乙箱的概率.【解答過程】（1）記事件A表示“抽出的2個球中有紅球”，事件B表示“兩個球都是紅球”，則PA=1?C故P（2）設事件C表示“從乙