機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.1機(jī)器人靜力學(xué)

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10325.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力學(xué)的概念32025/6/1已知機(jī)器人末端負(fù)載（靜力學(xué)不考慮桿件質(zhì)量）求解機(jī)器人靜止?fàn)顟B(tài)下，各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩機(jī)器人靜力學(xué)分析方法假定關(guān)節(jié)為鎖定狀態(tài)從末端到基座逐級(jí)列出各連桿的靜力平衡方程逐級(jí)求解關(guān)節(jié)負(fù)載關(guān)節(jié)負(fù)載中包含運(yùn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力關(guān)節(jié)負(fù)載的符號(hào)定義fi：連桿i-1施加在連桿i上的力ni：連桿i-1施加在連桿i上的力矩45.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力的迭代求解52025/6/1力平衡方程單個(gè)連桿的靜力平衡方程力矩平衡方程其中：ifi為連桿i-1作用在連桿i上的力在{i}中的描述ifi+1為連桿i+1反作用于連桿i的力（或末端桿件所受外力）在{i}中的描述其中：ini為連桿i-1作用在連桿i上的力矩在{i}中的描述ini+1為連桿i+1反作用于連桿i的力矩（或末端桿件所受外力矩）在{i}中的描述iPi+1×ifi+1為ifi+1附加作用于連桿i的力矩在{i}中的描述靜力的迭代求解62025/6/1將旋轉(zhuǎn)矩陣代入，重寫(xiě)靜力平衡方程靜力迭代公式上式即為靜力迭代公式，可根據(jù)末端負(fù)載逐次迭代計(jì)算各桿件之間的作用力（包含運(yùn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力）問(wèn)題：如何求解關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力/力矩思路：連桿i-1對(duì)連桿i的作用力ifi或力矩ini矢量中，沿移動(dòng)關(guān)節(jié)導(dǎo)路的力分量或繞旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸的力矩分量顯然由驅(qū)動(dòng)器提供關(guān)節(jié)力/力矩應(yīng)為關(guān)節(jié)負(fù)載與關(guān)節(jié)軸線矢量的點(diǎn)積（沿關(guān)節(jié)軸線分量）移動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩靜力的迭代求解72025/6/1建立各連桿坐標(biāo)系，如右圖實(shí)例：右圖所示2R平面機(jī)器人，已知末端力矢量3f3，以及當(dāng)前位形的關(guān)節(jié)角，求關(guān)節(jié)力矩

寫(xiě)出從末端到基座各坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣、坐標(biāo)原點(diǎn)矢量、負(fù)載矢量將上述已知量從末端{(lán)3}到基座{0}，逐次代入下式，計(jì)算關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩靜力的迭代求解82025/6/1

對(duì)于關(guān)節(jié)2，已知?jiǎng)t靜力的迭代求解92025/6/1

對(duì)于關(guān)節(jié)1，已知?jiǎng)t靜力的迭代求解102025/6/1

最終，得到：寫(xiě)成矩陣形式：思考：當(dāng)θ2=0°或180°，且fy=0時(shí)會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？此時(shí)，無(wú)論fx多大，關(guān)節(jié)力矩始終為零！數(shù)學(xué)上，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣奇異！靜力的迭代求解112025/6/1

回顧坐標(biāo)系{3}中表達(dá)的速度雅可比矩陣：JT在末端坐標(biāo)系中，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣是速度雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置這不是巧合！125.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄力雅可比矩陣132025/6/1虛功原理當(dāng)受力物體的位移趨向無(wú)窮小時(shí)，不同廣義坐標(biāo)系下力做的功相等虛功等于廣義力與廣義微位移的點(diǎn)積功是標(biāo)量，可在不同廣義坐標(biāo)系下描述利用虛功原理可建立不同廣義坐標(biāo)系下的力、位移映射關(guān)系對(duì)6自由度機(jī)器人而言，其中：F為笛卡爾空間的廣義力，6×1維δX為笛卡爾空間微位移，6×1維τ為關(guān)節(jié)空間的廣義力，6×1維δΘ為關(guān)節(jié)空間的微位移，6×1維力雅可比矩陣142025/6/1根據(jù)雅可比矩陣的定義可得：虛功原理δΘ是廣義坐標(biāo)的變分，可任意取，上式成立則必然有：上式是在末端坐標(biāo)系中的結(jié)論，如果已知相對(duì)于{0}坐標(biāo)系的雅可比矩陣，則用下式：力雅可比矩陣的特性152025/6/1力雅可比矩陣建立了從笛卡爾空間的力F到關(guān)節(jié)空間的力τ之間的映射關(guān)系從末端力到關(guān)節(jié)力的映射直接基于正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型獲得，而無(wú)需求逆運(yùn)算，這一特性有利于在控制中實(shí)現(xiàn)末端力控制或補(bǔ)償末端負(fù)載力雅可比矩陣同樣存在奇異性，對(duì)應(yīng)著機(jī)器人的奇異位形在奇異位形，微小的關(guān)節(jié)力矩將對(duì)應(yīng)著極大的末端力，幾何上對(duì)應(yīng)著機(jī)構(gòu)死鎖位置（連桿間壓力角為90°）165.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換172025/6/1假定在一個(gè)剛體上存在兩個(gè)坐標(biāo)系{A}、{B}，已知在{A}中定義的力矢量和{A}的速度矢量問(wèn)題：如何獲得在坐標(biāo)系{B}中定義的力矢量和{B}的速度矢量由前述定義，可知如下表達(dá)：6×1維速度矢量6×1維力矢量思路：需要考慮由于{A}、{B}坐標(biāo)原點(diǎn)偏移引起的線速度變化和附加力矩可以利用連桿速度和力迭代計(jì)算的方法，區(qū)別僅在于沒(méi)有關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)力速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換182025/6/1回顧速度迭代公式：

于是，可得：寫(xiě)成矩陣形式：速度矢量的變換其中，叉乘算子為：速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換192025/6/1把上式寫(xiě)成緊湊形式：速度矢量的變換反之，如果已知坐標(biāo)系{B}的速度矢量，則：注意速度伴隨變換矩陣與坐標(biāo)變換矩陣的區(qū)別和聯(lián)系速度伴隨變換矩陣速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換202025/6/1回