《幾何圖形軌跡（最值）問題》知識(shí)梳理幾何圖形軌跡最值問題是中考的熱點(diǎn)問題,題型豐富,變化靈活,綜合性強(qiáng),考查的知識(shí)點(diǎn)眾多,涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想,考查了學(xué)生的添加輔助線,依題畫圖,建構(gòu)知識(shí)體系等能力,一般都是各題型的壓軸題,發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀和推理能力的核心素養(yǎng)。初中數(shù)學(xué)的幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題其實(shí)都來自兩個(gè)基本圖形：定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短定點(diǎn)到定線：點(diǎn)線之間，垂線段最短在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了以下基礎(chǔ)圖形和結(jié)論：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊平行線之間，垂線段最短點(diǎn)圓最值：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）線圓最值：心垂線截距最短解決幾何最值問題的主要方法是轉(zhuǎn)化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變換（比如等值變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱；比例變換：三角函數(shù)、相似圖形性質(zhì)）等手段把所求量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出符合幾何最值問題理論依據(jù)的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)而解決問題。學(xué)習(xí)過程：模塊一：動(dòng)點(diǎn)軌跡在直線上【例題精講】例1：如圖，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊A.532 B.52 C.例2：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+變式思考：（1）本題若求“2AM+BM”的最小值（2）本題若求“AM+BM+CM(3)若四邊形□ABCD是菱形，AB=5，對角線BD的長為45，點(diǎn)M為BD上一點(diǎn)，則小結(jié)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡明確是直線（或線段，射線）時(shí)，找到變化過程中的不變量是解決問題的關(guān)鍵，可以利用對稱，平移，三角函數(shù)等知識(shí)，化同為異，化折為直的思維方法解決。模塊一：跟進(jìn)練習(xí)1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，2、如圖，□ABCD中，∠DAB=60°,AB3、如圖，△ABC中，AB=AC=10，tan?A=2，BE⊥ACA.25 B.45 C.4、如圖①,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P(1)畫出當(dāng)F從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡;(2)如圖②,連接PB求PB的最小值.5、如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45,BD⊥AC交AC于點(diǎn)D.6、如圖所示，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC=60°，△ABC沿射線BD的方向平移得到△A'小結(jié)：求不在同一條直線上的兩條線段長的和的最小值，一般是通過軸對稱轉(zhuǎn)化為求一條直線上的兩條線段的長度和.模塊二：動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓（弧）【例題精講】例3：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°BC=12,AC=9，以點(diǎn)CA.315 B.410 C.55 D.63例4：如圖，點(diǎn)A,B在圓O上，OA=OB=6.OA⊥OB.C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且變式思考：（1）本題若求“PC+1（2）本題若求“PC+3小結(jié)：相似轉(zhuǎn)化法求最值。當(dāng)明確動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)（阿氏圓問題），求“PA+kPB”型的最值問題，通過構(gòu)造共角共邊的相似三角形，轉(zhuǎn)化成兩線段和的最小值。模塊二跟蹤練習(xí)1、如圖所示，∠ACB=60°，半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM,PN分別垂直于∠2、已知半圓直徑為8，P點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，求3、點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2）點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC上的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（A.2+1 B.2+124、如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PD5、正方形ABCD邊長為4，P為內(nèi)切圓周上動(dòng)點(diǎn)，求2PA+PB的最小值6、菱形ABCD邊長為2，∠ABC=60°，圓A的半徑為3，BC與圓相切于點(diǎn)E，點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PB模塊三：隱形軌跡問題【例題精講】例5：如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF分析：找到點(diǎn)F的軌跡是本題的首要任務(wù)，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點(diǎn)定角，即找到過某一定點(diǎn)的定角，點(diǎn)的軌跡即可確。你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？例6：如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E,F分別是邊AC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,連接BE，AF交于點(diǎn)P你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？小結(jié)：如果題目中并未直接給出動(dòng)點(diǎn)軌跡，這時(shí)需要我們?nèi)シ治龊蛯ふ覄?dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定軌跡后，再根據(jù)軌跡確定屬于哪種最值問題，進(jìn)行分析和計(jì)算。主從聯(lián)動(dòng)問題---其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等或相似，找到對應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。隱圓問題---利用定點(diǎn)定長，定邊對定角，定角動(dòng)弦，四點(diǎn)共圓，找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，從而尋找圓心與半徑，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)圓，線圓最值問題。模塊三跟蹤練習(xí)1、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，.2、如圖①，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，PD=3，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90（1）畫出求Q的運(yùn)動(dòng)軌跡。（2）如圖②，連接DQ，求DQ的最大值3、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)BC重合），過點(diǎn)D作DE⊥AD，交射線4、△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F，如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF=_______；現(xiàn)將△5、如圖，