PAGE1-第16課時(shí)直線與平面垂直的判定對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P43學(xué)問(wèn)點(diǎn)一直線與平面垂直的判定1．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直，則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，則l⊥α；④若直線l與平面α內(nèi)隨意一條直線垂直，則l⊥α；⑤若直線l與平面α內(nèi)多數(shù)條直線垂直，則l⊥α．A．1B．2C．3D．4答案B解析由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④，故選B．2．PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC答案C解析由PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，可知PA⊥BC，故解除A．由題意可知BC⊥AC，PA⊥BC．因?yàn)镻A?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故解除B．結(jié)合B，依據(jù)直線與平面垂直的定義知BC⊥PC，故解除D．故選C．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二直線與平面所成的角3．線段AB的長(zhǎng)等于它在平面α內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析如右圖所示，AC⊥α，AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，它是AB與平面α所成的角．4．若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線()A．平行B．相交C．異面D．以上皆有可能答案D解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線平行；A1B1，B1C1與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線相交；A1B1，BC與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線異面．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三直線與平面垂直的證明5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O．求證：(1)PO⊥面ABCD；(2)AC⊥面PBD．證明(1)∵四邊形ABCD為菱形，AC∩BD＝O，∴O為AC的中點(diǎn)，又PA＝PC，∴PO⊥AC．同理可證PO⊥BD．又AC?面ABCD，BD?面ABCD，AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD．(2)由(1)知AC⊥PO，又四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又BD?面PBD，PO?面PBD，PO∩BD＝O，∴AC⊥面PBD．6．如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)．求證：BD⊥平面ACD．證明取CD的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G．∵F，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD．又E為AD的中點(diǎn)，AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1．∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG．∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P44一、選擇題1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，肯定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n，且n∥β答案B解析A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的隨意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的隨意直線，所以m⊥β，B符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B．2．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°答案B解析依據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°．3．給出下列條件(其中l(wèi)為直線，α為平面)：①l垂直于α內(nèi)的一五邊形的兩條邊；②l垂直于α內(nèi)三條不都平行的直線；③l垂直于α內(nèi)多數(shù)條直線；④l垂直于α內(nèi)正六邊形的三條邊．其中能夠推出l⊥α的條件的全部序號(hào)是()A．②B．①③C．②④D．③答案C解析假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α內(nèi)的平行直線，不能推出l⊥α．故選②④．4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(6),3)答案D解析畫出圖形，如圖所示，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐D－ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3)．5．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(2\r(6),5)C．eq\f(\r(15),5)D．eq\f(\r(10),5)答案D解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C1，B1D1，交于點(diǎn)O，連接OB．∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1．∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1?平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1．∵BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D．∴OB是BC1在平面BB1D1D內(nèi)的射影．∴∠C1BO是BC1與平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)．在矩形BB1C1C中，BC1＝eq\r(BC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)．∴sin∠C1BO＝eq\f(OC1,BC1)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．二、填空題6．在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心(如圖)，則EF與平面BB1O的關(guān)系是________．答案垂直解析由正方體性質(zhì)知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O．7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________．答案30°解析如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA即PC與平面ABCD所成的角，又tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(PA,\r(AB2＋BC2))＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°．8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等．若點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于________．答案eq\f(\r(2),3)解析如圖，設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，O為△ABC的中心，OA＝OB＝OC，則AA1＝A1B＝A1C．連接AB1，A1B，設(shè)AB1∩A1B＝E，則E為A1B的中點(diǎn)．取OB的中點(diǎn)D，連接ED，AD，則ED∥A1O．由題意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC．則∠EAD即為AB1與底面ABC所成的角．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的棱長(zhǎng)為a，則OA＝OB＝eq\f(\r(3),3)a．在Rt△AA1O中，A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝eq\f(\r(6),3)a，ED＝eq\f(1,2)A1O＝eq\f(\r(6),6)a．在正三角形AA1B中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，在Rt△ADE中，sin∠EAD＝eq\f(ED,AE)＝eq\f(\f(\r(6),6)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(2),3)，即AB1與底面ABC所成角的正弦值為eq\f(\r(2),3)．三、解答題9．在三棱錐P－ABC中，H為△ABC的垂心，且PH⊥面ABC，求證：AB⊥PC，BC⊥AP．證明連接AH，∵H為△ABC的垂心，∴AH⊥BC，又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，又PH∩AH＝H，∴BC⊥面PAH，又PA?面PAH，∴BC⊥AP，同理可證AB⊥PC．10．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)．(1)證明PQ∥平面ACD；(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．解(1)證明：∵P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)，∴PQ∥EB．又DC∥EB，因此PQ∥DC，因?yàn)镻Q?平面ACD，CD?平面ACD，從而PQ∥平面ACD．(2)如圖，連接CQ，DP．∵Q為AB的中點(diǎn)，且AC＝BC，∴CQ⊥AB．∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC