華二東校2024-2025學年第二學期高三年級數(shù)學沖刺卷52025.5一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，則.

2．已知（其中為虛數(shù)單位），則.

3．某圓錐底面半徑為4，屆為3，則此圓錐的側(cè)面積為.

4．已知知的終邊過點，則.

5．等差數(shù)列的前項和為，若，則.

6．一個總體分為兩層，其個體數(shù)之比為4：1，應分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體個數(shù)為.

7．已知實數(shù)滿足，則的最小值是.

8．設，若，則.9．設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小取值等于.

10．已知平面向量與滿足，且，若向量滿足，則的取值范圍為.

11．如圖，公路一側(cè)有一塊空地，其中.市政府擬在中間開挖一個人工湖，其中都在邊上（不與重合，在之間），且.為節(jié)省投入資金，人工湖的面積盡可能小，設，則的最小面積為.

12．已知定義在正整數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，對于任意的正整數(shù)，都有也是正整數(shù)，且恒成立，則.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，13-14每題4分，15-16每題5分）．13．已知是空間中兩條不同的直線，平面是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）.

A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則

14．下列說法不正確的是（）.

A．一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14 B．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則C．若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關程度越越 D．對具有線性相關關系的變量，且回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是-4

15．設等比數(shù)列的前項和為，設甲：，甲：是嚴格增數(shù)列，則甲是甲的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

16．定義：如果曲線段可以一筆畫出，那么稱曲線段為單軌道曲線，比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段由兩條單軌道曲線構成，那么稱曲線段為雙軌道曲線．

對于曲線有如下命題：存在常數(shù)，使得曲線為單軌道曲線；：存在常數(shù)，使得曲線為雙軌道曲線.則下列判斷正確的是（）.

A．和均為真命題 B．和均為假命題 C．為真命題，為假命題 D．為假命題，為真命題

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）．

17．（本題滿分14分，共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.）設常數(shù)，函數(shù)．

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在時有零點，求實數(shù)的取值范圍．

18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，是線段上一點．

（1）設為的中點，求證：；

（2）設，若直線和平面所成角的正弦值為，求的值．

19．（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分5分．某人下午5：00下班，他記錄了自己連續(xù)20天乘坐地鐵和連續(xù)20天乘坐公交到家的時間，如下表所示：以頻率估計概率，每天乘坐地鐵還是公交相互獨立，到家時間也相互獨立．

（1）某天下班，他乘坐公交回家，試估計他不遲于5：49到家的概率；

（2）他連續(xù)三天乘坐地鐵回家，記這三天中他早于5：50回家的天數(shù)為，求的分布及數(shù)學期望；

（3）某天他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘公交，結果他是5：48到家的，試求他是乘地鐵回家的概率.

20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知雙曲線的右頂點，離心率，且斜率為1的直線交于、兩點．

（1）在雙曲線的方程；

（2）證明：為直角三角形；

（3）若雙曲線上一點若直線與兩條漸近線相交，交點為，且分別在第一象限和第四象限，若，求面積的取值范圍．

21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．對于定義在區(qū)間上，且圖像為連續(xù)曲線的函數(shù)，當時，時表示函數(shù)在集合上的最小值，表示函數(shù)在集合上的最大值.若使得對任意成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上有＂－性質(zhì)＂．

（1）若，直接寫出的表達式；

（2）設，若函數(shù)在上有＂3－性質(zhì)＂，求m的取值范圍；

（3）已知，且對任意，函數(shù)在區(qū)間上具有＂－性質(zhì)＂，在區(qū)間上具有＂－性質(zhì)＂.證明：對任意，都有.

華二東校2024-2025學年第二學期高三年級數(shù)學沖刺卷52025.5一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，則.

【答案】

【解析】．故答案為：．

2．已知（其中為虛數(shù)單位），則.

【答案】-1

3．某圓錐底面半徑為4，屆為3，則此圓錐的側(cè)面積為.

【答案】

4．已知知的終邊過點，則.

【答案】

5．等差數(shù)列的前項和為，若，則.

【答案】14

6．一個總體分為兩層，其個體數(shù)之比為4：1，應分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體個數(shù)為.

【答案】40

7．已知實數(shù)滿足，則的最小值是.

【答案】9

8．設，若，則.

【答案】31【解析】令，則，

令，可得，令，可得，

所以．故答案為：319．設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小取值等于.

【答案】2

10．已知平面向量與滿足，且，若向量滿足，則的取值范圍為.

【答案】【解析】易知的夾角為，則以為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，，設.由于，即，化簡得，即對應的點在以為圓心，半徑為的圓上，而表示圓上的點到原點的距離．圓心到原點的距離為，故的取值范圍是．

11．如圖，公路一側(cè)有一塊空地，其中.市政府擬在中間開挖一個人工湖，其中都在邊上（不與重合，在之間），且.為節(jié)省投入資金，人工湖的面積盡可能小，設，則的最小面積為.

【答案】【解析】在中，，

在中，，,

因為，所以時面積最小，最小值為．

12．已知定義在正整數(shù)集上的嚴格增函數(shù)，對于任意的正整數(shù)，都有也是正整數(shù)，且恒成立，則.

【答案】54【解析】由題意，，意，若，則，不合題意，舍．

若，則，符合題意.

若，則，由單調(diào)性可知，，故，與已知矛盾.所以，，同理：.

則有，

由單調(diào)性及，可知，，

則應有，

下證：當時，，顯然成立.假設，

則，由歸納法可知，對都成立，

當時，，

而，

當時，，,

綜上：,

∵.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，13-14每題4分，15-16每題5分）．13．已知是空間中兩條不同的直線，平面是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）.

A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則

【答案】C【解析】若，則或，故錯誤；

若，則或，故錯誤；

若，則，又，∴存在直線且，則，得，故正確；若，則或與相交，故錯誤.

14．下列說法不正確的是（）.

A．一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14 B．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則C．若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關程度越越 D．對具有線性相關關系的變量，且回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是-4

【答案】A【解析】對A：因為，所以第60百分位數(shù)為，A錯誤；

對B：若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，則，B正確；

對C：若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，C正確；

對于D，樣本點的中心為，所以，

因為滿足線性回歸方程，所以，所以，D正確．故選：A

15．設等比數(shù)列的前項和為，設甲：，甲：是嚴格增數(shù)列，則甲是甲的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】D【解析】不妨設，則，滿足，但是嚴格減數(shù)列，充分性不成成，

當時，是嚴格增數(shù)列，但，必要性不成成，

故甲是乙的既不充分也不必要條件．故選：D

16．定義：如果曲線段可以一筆畫出，那么稱曲線段為單軌道曲線，比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段由兩條單軌道曲線構成，那么稱曲線段為雙軌道曲線．

對于曲線有如下命題：存在常數(shù)，使得曲線為單軌道曲線；：存在常數(shù)，使得曲線為雙軌道曲線.則下列判斷正確的是（）.

A．和均為真命題 B．和均為假命題 C．為真命題，為假命題 D．為假命題，為真命題

【答案】A【解析】記，

易得，因此曲線關于軸，軸成軸對稱，關于原點成中心對稱，

從幾何上講，曲線是到兩定點和的距離乘積為的點的軌跡，

由可得，因此它在軸上方和下方分別是兩個函數(shù)的圖象，這兩個函數(shù)圖象在軸上有公共點（方程的解相同），

由得，時，或，

所以曲線與軸有公共點，曲線是在軸兩側(cè)的兩個曲線構成，是雙軌道曲線，

當時，，結合對稱性知，曲線是一個封閉曲線，是單軌道曲線，（實際上上述過程中只要對取一個特定值討論即可）命題均正確，故選：A.

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）．

17．（本題滿分14分，共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.）17．設常數(shù)，函數(shù)．

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在時有零點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）的值為-1．（2）【解析】（1）【法1】函數(shù)的定義域為．因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以．

設，則得，即，即，代入，得，解得．此時．

又因為，即，

所以是奇函數(shù)．因此所求實數(shù)的值為-1．

【法2】函數(shù)的定義域為.

因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以．即，

即，即，即對任意都成數(shù)，所以，解得．因此所求實數(shù)的值為-1．

（2）設，即關于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解．

設，因為，所以，

于是原問題等價于關于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解．

當時，方程不成數(shù)，所以，于是方程可化為，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像有公共點．

因為函數(shù)為增函數(shù)，則得該函數(shù)的值域為，

所以，解得，即所求的實數(shù)的取值范圍是．18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，是線段上一點．

（1）設為的中點，求證：；

（2）設，若直線和平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題設知．

因為平面平面，平面平面，所以平面．

因為平面，所以.

因為為等邊三角形，是的中點，所以.

因為平面，所以平面．所以．

（2）取的中點的中點，連接，則．

由（1）知平面，所以平面，所以．

如圖建立空間直角坐標系，則

所以，

設平面的法向量為，則即

令，則．于是．

因為直線和平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或．因為，所以．

19．（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分5分．某人下午5：00下班，他記錄了自己連續(xù)20天乘坐地鐵和連續(xù)20天乘坐公交到家的時間，如下表所示：以頻率估計概率，每天乘坐地鐵還是公交相互獨立，到家時間也相互獨立．

（1）某天下班，他乘坐公交回家，試估計他不遲于5：49到家的概率；

（2）他連續(xù)三天乘坐地鐵回家，記這三天中他早于5：50回家的天數(shù)為，求的分布及數(shù)學期望；

（3）某天他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘公交，結果他是5：48到家的，試求他是乘地鐵回家的概率.

【答案】（1）（2）分布列列解析，期望（3）

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，他乘坐公共汽車回家的20天內(nèi)，不遲于到家的天數(shù)有，所以估計他乘坐公共汽車回家，不遲于5：49到家的概率為

（2）根據(jù)題意，他乘坐地鐵回家，每天早于5：50回家的概率為則隨機變量可取值為，

可得；,則隨機變量的分布如下：

所以．（3）設事件：乘地鐵回家，則：乘汽車回家，到家時間在5：45-5：49之間，則，

又由他是拋硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，所以，所以，即他是乘地鐵回家的概率為.

20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知雙曲線的右頂點，離心率，且斜率為1的直線交于、兩點．

（1）在雙曲線的方程；

（2）證明：為直角三角形；

（3）若雙曲線上一點若直線與兩條漸近線相交，交點為，且分別在第一象限和第四象限，若，求面積的取值范圍．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】（1）∵，∴雙曲線的方程為：；

（2）由已知可得，直線的方程為：，即，

聯(lián)立，

設點設，則，

∵，

∴為直角三角形；

（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，故設直線方程為：，

設，∵，

∴,∵點在雙曲線上，∴，∴，

∴③，

又∵，∴④，3分聯(lián)立⑤，⑥

∵分別在第一象限和第四象限，∴，

由④式得：，⑦，

將⑤⑥代入⑦得：，,

.6分

令，

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)