普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題北大附中廣州實驗學(xué)校王生PAGEE-mail:wangsheng@第1頁（共8頁）2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．在同一坐標(biāo)系中，表示直線與正確的是（）2． 已知 （） A． B．－ C． D．－3．圓錐曲線 （） A． B． C． D．4．等差數(shù)列中，已知，則n為 （） A．48 B．49 C．50 D．515．雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為 （） A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)若，則x0的取值范圍是 （） A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函數(shù)的最大值為 （） A． B． C． D．28．已知圓的弦長為時，則a= （） A． B． C． D．9．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（） A． B． C． D．10．函數(shù) （） A． B． C． D．11．已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2，P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0），若則的取值范圍是 （） A．（，1） B． C． D．12．一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為 （） A．3π B．4π C． D．6π二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上13．不等式的解集是14．展開式中的系數(shù)是15．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則16．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17．（本小題滿分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，點E為CC1中點，點F為BD1中點.（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點D1到面BDE的距離.18．（本小題滿分12分） 已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且是和的等比中項.求.19．（本小題滿分12分）已知c>0，設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減Q：不等式x+|x-2c|>1的解集為R.如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍20．（本小題滿分12分）在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動.臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h21．（本小題滿分14分） 已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.22．（本小題滿分14分）設(shè)為常數(shù)，且（1）證明對任意；（2）假設(shè)對任意有，求的取值范圍.2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.C12.A二、填空題：13．14．15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD16．72三、解答題：（I）證明：取BD中點M，連結(jié)MC，F(xiàn)M， ∵F為BD1中點，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四邊形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF為BD1與CC1的公垂線.（II）解：連結(jié)ED1，有由（I）知EF⊥面DBD1，設(shè)點D1到面BDE的距離為d，則S△DBC·d=S△DBD·EF.………………9分∵AA1=2·AB=1.故點D1到平面BDE的距離為.18．解：設(shè)，則復(fù)數(shù)由題設(shè)19．函數(shù)在R上單調(diào)遞減不等式20．解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向. 在時刻：（1）臺風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為 此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是 其中若在t時刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有 即 答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.21．根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：直線GE的方程為：②從①，②消去參數(shù)k，得點P（x,y）坐標(biāo)滿足方程整理得當(dāng)時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當(dāng)時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長當(dāng)時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值當(dāng)時，點P到橢圓兩個焦點（0，的距離之和為定值2.22．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分.（1）證法一：（i）當(dāng)n=1時，由已知a1=1－2a0（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，則那么也就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立.根據(jù)（i）和（ii），可知等式對任何n∈N，成立.證法二：如果設(shè)用代入，可解出.所以是公比為－2，首項為的等比數(shù)列.即（2）解法一：由通項公式等價于……①（i）當(dāng)n=2k－1，k=1，2，…時，①式即為即為……②②式對k=1，2，…都成立，有（ii）當(dāng)n=2k，k=1，2，…時，①式即為即為……③③式對k=1，2，…都成立，有綜上，①式對任意n∈N*，成立，有故a0的取值范圍為解