解答題專項?數(shù)列中的綜合問題高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考情分析:數(shù)列是高考考查的重要內(nèi)容,也是高考解答題的必考點.從近幾年的高考試題來看,數(shù)列解答題的命題趨勢是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活,以考查數(shù)列的基本知識、基本方法為主,滲透綜合應(yīng)用能力的考查.題目涉及的主要知識點、難度、新穎度有很大的變化空間.對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較深入的考查.考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題

考點二數(shù)列的奇偶項問題

考點三數(shù)列與不等式的綜合問題(多考向探究預(yù)測)

考點四數(shù)列與概率的綜合問題例5(12分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;關(guān)鍵點:第一次誰先投籃不確定.(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

[規(guī)范解答]解

(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)…………...

2分

全概率公式=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.63分

[對點訓(xùn)練3](12分)(2019·全國Ⅰ,理21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.(ⅰ)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.解

(1)X的所有可能取值為-1,0,1……………….

1分P(X=-1)=(1-α)β,……………2分P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),……………………4分P(X=1)=α(1-β).

…………….6分所以X的分布列為X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列.

…………...8分

考點五數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用例6(2024·福建廈門期末)某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進行技術(shù)改造,預(yù)測從2025年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術(shù)改造,2025年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計2025年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術(shù)改造的年純利潤為an萬元;進行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為bn萬元,求an和bn;(2)設(shè)從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利