高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州福清市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.，使得 D.，使得【答案】C【解析】“，”的否定是“，使得”.故選：C2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.3.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，所以不等式的解集為.故選：C.4.“”是“函數(shù)是上的增函數(shù)”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)是上的增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.5.用長的鐵絲折成一個矩形，則該矩形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)該矩形相鄰的兩邊長為，則，即.由，，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故該矩形面積的最大值為.故選：A.6.下列四個函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，A，因?yàn)榈亩x域，與的定義域不同，與不是同一函數(shù)；B，因?yàn)榈亩x域，與的定義域相同，但，與的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；C，因?yàn)榈亩x域，與的定義域相同，且，與的對應(yīng)關(guān)系相同，表示同一函數(shù)；D，因?yàn)榈亩x域，與的定義域不同，與不是同一函數(shù).故選：C.7.命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若命題“，”為真命題，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知D正確，ABC錯誤.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】根據(jù)圖象可知，陰影部分表示集合是，所以AB選項(xiàng)正確、C選項(xiàng)錯誤.而，不符合題意，D選項(xiàng)錯誤.故選：AB10.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，即，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，即，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，，所以，，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，即，故D錯誤.故選：AC.11.已知，函數(shù)，若滿足關(guān)于的方程，則下列命題為真命題的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】因?yàn)闈M足關(guān)于的方程，所以，所以在處取得最小值.由A選項(xiàng)，得在處取得最大值，A選項(xiàng)為假命題；由B選項(xiàng)，得在處取得最小值，B選項(xiàng)為真命題；C選項(xiàng)，當(dāng)時，，C選項(xiàng)為真命題；D選項(xiàng)，因?yàn)樵谔幦〉米钚≈担?，是真命題.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知，則的最大值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值.故答案為：.13.，則________.【答案】0【解析】根據(jù)集合的元素具有互異性，由集合,得，,則，,所以，

故答案為:0.14.已知函數(shù)，則__________（用含a的式子表示）；若在定義域上是減函數(shù)，則a的取值范圍為__________.【答案】①.②.【解析】由題意可知：，所以；若在定義域上是減函數(shù)，則，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，，（1）若，求實(shí)數(shù)a的值.（2）請寫出所有滿足A的集合M.解：（1）集合，對于集合，當(dāng)時，，滿足；當(dāng)時，集合，而，則或，可得或；綜上所述：實(shí)數(shù)a的值為0或或1．（2）因?yàn)椋褹，可知集合M必含有元素1，2，元素3，4，5中至少含有1個，所以集合M可以是，，，，，，.16.已知，.（1）比較與的大?。唬?）若，求ab的最小值.解：（1）因?yàn)?，因?yàn)椋?，則，可得a2+a-2ab-（2）由，得，因?yàn)?，即，整理可得，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故ab的最小值為9．17.已知，，x∈R，表示，的最小者，記為.（1）請?jiān)谌鐖D所示的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，并寫出解析式；（2）請判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明單調(diào)區(qū)間及值域（無需說明理由）；（3）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）令，即，解得或；令，即-x+1>x-12，解得；綜上所述：，函數(shù)的圖象如圖所示：（2）由圖象可知：是R上的減函數(shù)，且單調(diào)遞減區(qū)間為，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；值域?yàn)镽．（3）因?yàn)?，且是R上的減函數(shù)，則，即，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.設(shè).（1）求證：；（2）證明：為奇函數(shù)；（3）試判斷在上的單調(diào)性，并說明理由.（1）證明：因?yàn)?，所以．?）證明：由題意可知：的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)．（3）解：在0,+∞上為增函數(shù)，證明如下：，，且，則因?yàn)?，則，，，可得，即，故在0,+∞上為增函數(shù)．19.若一個集合僅有2個元素，且這2個元素之和等于這2個元素之積，則稱該集合為2元“完美集”.例如就是一個2元“完美集”，這是因?yàn)?（1）請?jiān)賹懗鲆粋€不同于的2元“完美集”（無需寫出求解過程）；（2）求證：對任意一個2元“完美集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；（3）是否存在某個2元“完美集”，其元素均為正整數(shù)？若存在，求出所有符合條件的2元“完美