高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.2.若角終邊上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，所以.故選：B.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上最大值為”的充分不必要條件.故選：A.4.若，，，則它們大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．故選：D.5.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意得且，解得，故，令得，則，所以的過(guò)定點(diǎn).故選：B.6.分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，在另外兩個(gè)頂點(diǎn)之間畫一段劣弧，由這樣的三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖所示.已知某勒洛三角形的周長(zhǎng)是，則該勒洛三角形的面積是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，的長(zhǎng)度為，解得，以為圓心，所得的扇形的面積為，等邊的面積為，勒洛三角形的面積為.故選：A.7.若，，則的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，，則.故選：A.8.若函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【解析】由，得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，又時(shí)，是增函數(shù)，即，記，因此時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的正解的個(gè)數(shù)，即的正解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，它在上是減函數(shù)，，，，，當(dāng)時(shí)，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時(shí)，的圖象與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以在上，它們只有三個(gè)交點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.將函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)C.的一個(gè)對(duì)稱中心是D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是【答案】AC【解析】對(duì)于A，的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，是的對(duì)稱中心，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋瑒t，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，故A正確；對(duì)于B，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的最小值為8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題得，故，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有最小值8，即，即，又單調(diào)遞增且，所以，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)B.C.若，使得成立，則D.函數(shù)（且的與函數(shù)的的所有交點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為20【答案】BD【解析】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，由單調(diào)遞增可得在以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于對(duì)稱，，即B正確；對(duì)于C，由，，即，即在有解，因?yàn)?，所以，所以，所以可得，解得，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，畫出函數(shù)以及的如下圖所示：易知也關(guān)于對(duì)稱，的周期為4，一個(gè)周期與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與在共20個(gè)交點(diǎn)，即，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】.13.函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的如圖所示，則______.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)圖像，可得，解得，再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，結(jié)合的范圍，可得，所以，所以.14.若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的最大值為______.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，所以函?shù)值域?yàn)?，故，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）證明：取任意，，且，有，由，可得，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由在上單調(diào)遞增，可得在上，，依題意得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若，且，求的值；（2）若，且，，求的值.解：（1），由，得，又，所以，所以.（2）由得，所以，又，所以.由于，故，，，所以，，故，，所以，又因?yàn)?，?17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）由題意得：，即，所以，其中，所以，解得：.（2）由（1）得，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故的最小值為，等價(jià)于，解得：；或，無(wú)解.綜上：.18.已知函數(shù)，其中，.（1）若，且是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，求的最小值；（2）若，且存在，，使成立，求的取值范圍；（3）若，，且不等式對(duì)恒成立，求的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，由已知得，得，由，故當(dāng)時(shí)，有最小正值3.（2）當(dāng)時(shí)，，其最大值為，由已知條件，存在，，令，則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，則，即，所以的取值范圍為.（3）時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：不等式對(duì)恒成立，由，則，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，解得，又由，解得，所以.19.雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).（1）證明：；（2）求證：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)且；（3）令，對(duì)任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）證明：右邊，左邊.所以.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增.又，由于，而，所以.又，所以由零點(diǎn)存在定理得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，，所以，則在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則在上無(wú)零點(diǎn).綜上，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，且，則.由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故.