§9.4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()2.下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是()A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系C.利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，則我們可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病D.對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大3.(2024·棗莊模擬)某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136經(jīng)計(jì)算得到χ2≈4.881，根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)(已知χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中x0.005=7.879)，則可以認(rèn)為()A.兩種療法的效果存在差異B.兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0.005C.兩種療法的效果沒有差異D.兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0.0054.古語云：“朝霞不出門，晚霞行千里”，其大意是如果早晨起來看到天邊有朝霞的話，今天的天氣可能不佳，會下雨，要引起重視，若是傍晚看到天邊的晚霞，第二天很有可能是一個好天氣，天氣晴朗.某學(xué)習(xí)小組針對“朝霞不出門”這一句的可信度進(jìn)行了觀測統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表.有朝霞無朝霞合計(jì)當(dāng)天有雨8816當(dāng)天無雨21214合計(jì)102030參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(臨界值參照表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828則下列說法正確的是()A.如果有朝霞，當(dāng)天下雨的概率超過95%B.能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為有朝霞與當(dāng)天下雨有關(guān)C.能在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為有朝霞與當(dāng)天下雨有關(guān)D.連續(xù)三天中必有一天出現(xiàn)朝霞二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·湛江模擬)某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：性別是否患過某流行疾病合計(jì)患過該疾病未患過該疾病男20ba+b女c50c+d合計(jì)a+c80110下列說法正確的有()參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(附表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.aa+B.χ2>6.635C.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)D.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)6.(2024·長春模擬)暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.在被調(diào)查者中，下列說法正確的是()參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)三、填空題(每小題5分，共10分)7.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量χ2有兩個臨界值：3.841和6.635.當(dāng)χ2≥3.841時，至少有95%的把握說明兩個事件有關(guān)，當(dāng)χ2≥6.635時，至少有99%的把握說明兩個事件有關(guān)，當(dāng)χ2<3.841時，認(rèn)為兩個事件無關(guān).在一項(xiàng)打鼾與心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了200人，經(jīng)計(jì)算χ2=20.87.根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們可認(rèn)為打鼾與患心臟病之間是的(填“有關(guān)”或“無關(guān)”).

8.在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α=的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828四、解答題(共28分)9.(13分)由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和某傳媒公司聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，受到了青年觀眾的喜愛.為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下2×2列聯(lián)表.非常喜歡喜歡合計(jì)A3015B合計(jì)已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的概率為0.35.(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛程度為“非常喜歡”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？(6分)(2)完成上述表格，依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)？(7分)附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.82810.(15分)某學(xué)校開展消防安全教育活動，邀請消防隊(duì)進(jìn)校園給師生進(jìn)行培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后抽取了部分學(xué)生進(jìn)行消防安全知識測試(滿分100分)，所得分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表①所示，并按照學(xué)生性別進(jìn)行分類，所得數(shù)據(jù)如表②所示.表①得分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)50100200400250表②男生女生得分不低于80分4ab得分低于80分ab(1)估計(jì)這次測試學(xué)生得分的平均值；(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(7分)(2)依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異？(8分)參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(參考數(shù)據(jù)：α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828每小題5分，共10分11.某課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān)，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并計(jì)算得出χ2≈6.816，經(jīng)查閱χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)的小概率值和相應(yīng)的臨界值，知x0.01=6.635，則下列判斷正確的是()A.若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.010B.每100個數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生C.數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別無關(guān)12.(2024·宜春模擬)為了調(diào)查學(xué)生對網(wǎng)絡(luò)課程是否喜愛，研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同人數(shù)的男、女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)男生中有80%喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，女生中有40%不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，且依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別無關(guān).已知被調(diào)查的男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)為20k(k∈N*)，則k=.

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(臨界值表：α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828

答案精析1.D[觀察等高堆積條形圖發(fā)現(xiàn)x1x1+2.D[對于A，獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗(yàn)二者是否是線性相關(guān)，故錯誤；對于B，獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能100%確定兩個變量相關(guān)，故錯誤；對于C，99%是指“吸煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性，并非吸煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯誤；對于D，根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知該選項(xiàng)正確.]3.C[零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異.由χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異.]4.B[由題中2×2列聯(lián)表知，如果有朝霞，則當(dāng)天下雨的概率約為80%，故A選項(xiàng)錯誤；由題得χ2＝30×(8×12?8×2)2有朝霞的天數(shù)占總天數(shù)的13，但并不意味著連續(xù)三天中必有一天出現(xiàn)朝霞，故D選項(xiàng)錯誤.5.ABC[根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得a＝20，b＝30，c＝10，d＝50，代入計(jì)算可得aa+b＝2經(jīng)計(jì)算可得χ2＝110×(20×50?30結(jié)合附表數(shù)值以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際意義，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)，C正確，D錯誤.]6.BD[設(shè)男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為x+20，由題意得x+x+20＝180，解得x＝80，即在被調(diào)查者中，男生、女生人數(shù)分別為80，100，可得到如下2×2列聯(lián)表，性別鍛煉情況合計(jì)經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男483280女4060100合計(jì)8892180由表可知，A顯然錯誤；男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多48－40＝8，B正確；在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為4888≈0.5455，在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為3292≈0.3478，0.54550.3478≈1.6零假設(shè)H0：是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān)，則χ2＝180≈7.115>6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，D正確.]7.有關(guān)解析因?yàn)棣?＝20.87>6.635，所以至少有99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān).可認(rèn)為打鼾與患心臟病之間是有關(guān)的.8.0.05解析完善2×2列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100零假設(shè)為H0：給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果.因?yàn)棣?＝100×(10×30?40所以根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.9.解(1)由題意得來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾有0.35×100＝35(人)，所以應(yīng)從A地區(qū)抽取30×20100＝6從B地區(qū)抽取35×20100＝7(人)(2)完成2×2列聯(lián)表如下：非常喜歡喜歡合計(jì)A301545B352055合計(jì)6535100零假設(shè)為H0：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).χ2＝100×(30×20?35根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).10.解(1)依題意，抽取的學(xué)生人數(shù)為50+100+200+400+250＝1000，則估計(jì)這次測試學(xué)生得分的平均值為55×501000+65×1001000+75×2001000+85×4001000(2)依題意得4解得a＝100,b＝250,男生女生合計(jì)得分不低于80分400250650得分低于80分100250350合計(jì)5005001000零假設(shè)為H0：男生和女生對消防安全知識的掌握情況無差異.則χ2＝1000≈98.901>10.828＝x0.001，故依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即能判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.11.C[因?yàn)棣?≈6.816>6.635＝x0.01，所以數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01，即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”，故C