第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長沙市2025屆高三下學(xué)期最后一卷數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?2,?1,0,1,2}，B={x|y=ln(2x?x2)}A.{x|0<x<2} B.{x|1<x<2} C.{1} D.{1,2}2.已知復(fù)數(shù)z=?i，則|z2025?A.2 B.2 C.1 D.3.已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且當n≥2時有an?1an+1=e2n，則數(shù)列A.420 B.220 C.210 D.1904.已知某個群體中對某活動持滿意態(tài)度的人數(shù)比例為90%，從該群體中隨機抽取10人，設(shè)這10人中持滿意態(tài)度的人數(shù)為X，隨機變量Y=2X+3，則D(Y)=(

)A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.85.已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α?β=π2 B.2α+β=π2 C.6.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的上頂點，直線BA.55 B.12 C.17.已知點A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義A，B兩點間的曼哈頓距離D(A,B)=|x1?x2|+|y1A.22?1 B.22+18.已知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域均為R，且y=f(4+x)為偶函數(shù)，y=g(x+4)+1為奇函數(shù)，若?x∈R，均有f(x)+g(x)=x2+1，則f(7)?g(7)=A.575 B.598 C.621 D.624二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知A，B，C為三個隨機事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若P(B|A)=P(B)，則P(A|B)=P(A)

B.P(A|B)+P(A|B)=0

C.若B，C互斥，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)

D.若P(AB)>010.已知函數(shù)f(x)=sin(exA.f(x)是周期函數(shù) B.f(x)的最小值是?1

C.f(x)的圖象有對稱軸 D.f(x)的圖象有對稱中心11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1A.若{an}是遞增數(shù)列，且3a1，4a2，5a3成等差數(shù)列，則p=35

B.若p=13，且{a2n?1}是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，則an=5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過點A(1,4)，且在x軸、y軸上的截距的絕對值相等的直線共有

條.13.已知向量e=(1,0)，a=(1,n)，25b=a+24e，則當tan<14.在空間直角坐標系O?xyz中，點A(20,0,0)，B(0,20,0)，C(0,0,20)，已知若點P(a,b,c)在平面ABC內(nèi)，則a+b+c=20，則在三棱錐O?ABC內(nèi)部(不包括表面)的整點(橫、縱、豎坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為

.(用數(shù)字作答)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且AC=6，BD=4，F(xiàn)為CD的中點，CE⊥平面CBD，且CE=2.現(xiàn)沿BD將△ABD翻折至△A1BD的位置，使得平面A1BD⊥平面CBD，且點A1和E(Ⅰ)證明：A1O//(Ⅱ)求直線EF和平面A1BF16.(本小題15分)某公司是從事無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種無人機性能都很好，但對操控人員的水平要求較高.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種無人機操作成功的概率分別為23和1(Ⅰ)該公司分別收集了甲種無人機在5個不同地點測試的兩項指標xi，y地點1地點2地點3地點4地點5x24568y34445試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x的線性相關(guān)程度.?(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度較高，否則線性相關(guān)程度不高)(Ⅱ)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作，在初次操作時，隨機選擇這兩種無人機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該種無人機，若初次操作不成功，則第二次使用另一種無人機進行操作，求操作成功的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．附：r=i=1n(x17.(本小題15分)

如圖，動圓與半圓x2+y2=4(y≥0)相切(內(nèi)切或外切)，也與(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡方程．(Ⅱ)直線l的斜率為13，且與(Ⅰ)中所得的軌跡由左至右分別交于點A，B，C，D，是否存在l滿足|AD|=2|BC|?若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由．18.(本小題17分)若對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)的任意非零實數(shù)x1，x2，恒有f(x1)f(x2)x1x2>0，則稱(Ⅰ)若g(x)的圖象在點(π2,g((Ⅱ)若f(x)是定義在R上的“理想”函數(shù)，且a≥?1，(ⅰ)求a的取值范圍;(ⅱ)若當a取最大值時，?(x)=g(x)+2f(x)?cosx是定義在(?π219.(本小題17分)

設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，其中每個數(shù)的絕對值均不大于1，且所有數(shù)的和為0.記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和，1≤i≤m，cj(A)為A的第j列各數(shù)之和，1≤j≤n，并記k(A)為|r1(A)|，|r2(A)|，?，11?0.50?0.5?1

表111cab?1

表2(Ⅰ)設(shè)數(shù)表A如表1所示，求k(A)的值;(Ⅱ)設(shè)數(shù)表A如表2所示，求k(A)的最大值;(Ⅲ)給定正整數(shù)t，對于所有的2行(2t+1)列數(shù)表A，求k(A)的最大值．

參考答案1C

2B

3C

4B

5D

6A

7D

8C

9ACD

10BC

11ABC

123

135

14969

15解：(Ⅰ)證明∵A1B=A1D，∴A1O⊥BD，

又平面A1BD⊥平面CBD，平面A1BD∩平面CBD=BD，

∴A1O⊥平面CBD，又CE⊥平面CBD，∴A1O//CE．

又A1O?平面BCE，CE?平面BCE，

∴A1O//平面BCE．

(Ⅱ)由題及(Ⅰ)可知，以O(shè)為坐標原點，OD，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(0,0,3)，B(?2,0,0)，C(0,3,0)，D(2,0,0)，F(xiàn)(1,32,0)，E(0,3,2)，BA1=(2,0,3)，BF=(3,3216解：(Ⅰ)x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，

i=15(xi?x)(yi?y)=6，i=15(xi?x)2=(2?5)2+(4?5)2+(5?5)2+(6?5)2+(8?517解：(Ⅰ)設(shè)動圓圓心為M(x,y)，作MN⊥x軸于點N．

?①若動圓與半圓外切，則IMOI=2+IMNI，∴x2+y2=y+2，

兩邊平方得x2+y2=y2+4y+4，化簡得y=14x2?1(y>0)．

?②若動圓與半圓內(nèi)切，則IMOI=2?IMNl，∴x2+y2=2?y，

兩邊平方得x2+y2=y2?4y+4，化簡得y=?14x2+1(y>0)．

綜上，當動圓與半圓外切時，動圓圓心的軌跡方程為y=14x2?1(y>0);

當動圓與半圓內(nèi)切時，動圓圓心的軌跡方程為y=?14x2+1(y>0)．

(Ⅱ)假設(shè)滿足題意的l存在，可設(shè)l的方程為y=13x+b．

依題意，可得l與曲線y=14x2?1(y>0)交于A，D兩點，與曲線y=?14x2+1(y>0)交于B，C兩點．

由y=13x+b,y=14x2?1與y=18(Ⅰ)由題可知g′(x)=cosx?bcosx+bxsinx，則g′(π2)=bπ2，

又g(π2)=1，所以g(x)的圖象在點(π2,g(π2))處的切線方程為y?1=bπ2(x?π2)，將(0,0)代入，得b=4π2．

(Ⅱ)(i)由題可知f′(x)=acosx?1．

?①當?1≤a≤1時，f′(x)≤0恒成立f(x)在R上單調(diào)遞減，又f(0)=0，故x≠0時，恒有f(x)x<0，符合題意．

?②當a>1時，f′(0)=a?1>0，故存在x0>0，使得f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，

則f(x0)>f(0)=0，又f(2a)=a(sin2a?2)<0，

故當x1∈(0,x0)，x2=2a時，f(x1)f(x2)x1x2<0，不符合題意．

綜上，實數(shù)a的取值范圍為[?1,1]．

(ii)由題可知?(x)=sinx?bxcosx+2(sinx?x)cosx=cosx?[tanx?(b+2)x+2sinx]，

令φ(x)=tanx?(b+2)x+2sinx，x∈(?π2,π2)，

則φ′(x)=1cos2x+2cosx?b?2，

令μ(x)=φ′(x)，則μ′(x)=2sinx(1cos3x?1)，

因為當x∈(?π2,0)時，μ′(x)<0，當x∈(0,π2)時，μ′(x)>0，

故μ(x)即φ′(x)在(?19解：(Ⅰ)由題可知r1(A)=1.5，r2(A)=?1.5，c1(A)=1，c2(A)=0.5，

c3(A)=?1.5，∴k(A)=0.5．

(Ⅱ)先用反證法證明k(A)≤1:

若k(A)>1，則|c1(A)|=|a+1|=a+1>1，∴a>0.同理可知b>0，∴a+b>0．

由題可知所有數(shù)的和為0，即a+b+c=?1，∴c=?1?a?b<?1，與題目條件矛盾，∴k(A)≤1.

易