PAGEPAGE1習(xí)題課——雙曲線的綜合問題課后訓(xùn)練案鞏固提升一、A組1.設(shè)P是雙曲線x2a2-y29=1(a>0)上一點,雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,若|PF1|=A.1或5 B.7 C.8 D.9解析:因為雙曲線x2a2-y29=1的漸近線方程為y=±3ax依據(jù)雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=4,又|PF1|=3,從而解得|PF2|=7,或|PF2|=-1(舍去).答案:B2.設(shè)F1,F2是雙曲線C:x216-y2b2=1(b>0)的兩個焦點,P是雙曲線C上一點,若∠F1PF2=90°,且△PF1A.53 B.54 C.2 D解析:由已知得||解得b2=9,于是離心率e=16+94答案:B3.設(shè)F1,F2是雙曲線x24-y2=1的左、右焦點,點P在雙曲線上,當△F1PF2的面積為1時,PF1·A.0 B.1C.12 D.解析:不妨設(shè)P(xP,yP)(xP,yP>0),由12×2c×yP=1,得yP=55,∴P∴PFPF∴PF1·答案:A4.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使|OP|=|OF1|(O為坐標原點),且|PF1A.3-12 B.C.3+12 D.3解析:∵|OP|=|OF1|,|OF1|=|OF2|,∴PF1⊥PF2.設(shè)|PF2|=d,則|PF1|=3d,由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(3d)2+d2=(2c)2,∴d=c.又點P在雙曲線的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即3d-d=2a.∴雙曲線的離心率e=2c2a答案:D5.已知雙曲線C:x2-y24=1,過點P(1,1)作直線l,使l與C有且只有1個公共點,則滿意上述條件的直線l的條數(shù)為(A.1 B.2 C.3 D.4解析:由圖數(shù)形結(jié)合,可得與漸近線平行的直線l有2條,與雙曲線相切的直線l有2條,所以滿意條件的直線l共有4條.答案:D6.(2024安徽蚌埠高二月考)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)截直線x=-解析:將直線x=-1代入雙曲線x2a2-y2b2=1可得y=±b1a2答案:27.直線y=x+1與雙曲線x22-y23=1相交于A,解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程得y得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1·x2=-8,所以|AB|=(1+k2)[(答案:468.(2024四川綿陽高二月考)若點P在雙曲線x2-y29=1上,則點P到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是解析:雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0,由漸近線的性質(zhì),知當點P是雙曲線的一個頂點時,點P到漸近線的距離最大,雙曲線的頂點坐標是(±1,0),所以P到漸近線的最大距離為|±3又雙曲線與漸近線沒有交點,所以點P到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是0,答案:09.已知動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程.解:設(shè)動圓M的半徑為r,則由已知|MC1|=r+2,|MC2|=r-2(如圖所示).所以|MC1|-|MC2|=22.又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.由于22<|C1C2|,依據(jù)雙曲線的定義知,點M的軌跡是以C1(-4,0),C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支.因為a=2,c=4,所以b2=c2-a2=14.故點M的軌跡方程為x22-y214=10.(2024高新一中)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,(1)求雙曲線C的標準方程;(2)若點P在雙曲線C上,且|PF1|=2|PF2|,求△F1PF2的面積.解:(1)因為實軸長為22,所以2a=22,即a=2.又e=ca=2,所以從而b2=c2-a2=4-2=2.故雙曲線C的標準方程為x22-(2)因為|PF1|=2|PF2|,所以點P在雙曲線的右支上.則有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以|PF2|=22,|PF1|=42.又|F1F2|=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2=(2所以sin∠F1PF2=74故△F1PF2的面積為S△F1PF2=12|PF1=12×42×22×74二、B組1.已知雙曲線x2m-y27=1,直線l過其左焦點F1,交雙曲線左支于A,B兩點,且|AB|=4,F2為雙曲線的右焦點,△ABFA.8 B.9 C.16 D.20解析:由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,則|AF2|+|BF2|=16.依據(jù)雙曲線的定義,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.答案:B2.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,A,B為左、右頂點,點P為雙曲線C在第一象限的隨意一點,點O為坐標原點.若PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3,m=k1kA.(0,33) B.(0,3)C.0,39解析:因為e=ca=2,所以b=3a.設(shè)P(x,y則x2a2-y2b2=1,k又雙曲線漸近線為y=±3x,所以0<k3<3,故0<m<33.答案:A3.在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,F1,F2是兩焦點,點P在雙曲線上,若PF1·PF2解析:因為點P在雙曲線上,且PF1所以△PF1F2是直角三角形.又因為tan∠PF1F2=2,所以|PF2|=2|PF1|.而依據(jù)雙曲線的定義有|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,|PF1|=2a.于是|F1F2|=25a,即2c=25a,所以c=5a.于是b=2a,故a-ba答案:-14.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P.若點P解析:雙曲線x2a2-y不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線y=bax平行,其方程為y=ba(x-c),代入x2a2-y2b2=1求得點P的橫坐標為x=a2+c22c.由a2+c22c=2a,得ca2-答案:2+35.導(dǎo)學(xué)號59254027已知雙曲線的中心在原點,一條漸近線方程為y=43x,右焦點為F(5,0),雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2,P為雙曲線上一點(不同于A1,A2),直線A1P,A2P分別與直線l:x=95交于M,N兩點(1)求雙曲線的方程;(2)求證:FM·FN解:(1)由題意可設(shè)雙曲線的方程為x2a2