山東省威海市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．半徑為，圓心角為的扇形的面積為（

）A． B． C． D．2．下列角的終邊落在射線上的是（

）A． B． C． D．3．已知兩條不同的直線，兩個不同的平面，則（

）A．若則B．若則C．若則D．若則4．有一個正四棱臺形狀的油槽，最多裝油，已知它的兩底面邊長分別為和，則它的深度為（

）A． B． C． D．5．已知，向量，，則存在和，使得（

）A． B． C． D．6．一艘輪船從處出發(fā)，以海里/小時的速度沿西偏南的方向直線航行，分鐘后到達(dá)處.在處有一座燈塔，輪船在處觀察燈塔，其方向是東偏南，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，則，兩點(diǎn)間的距離為（

）A．海里 B．海里C．海里 D．海里7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．為偶函數(shù)D．8．在三棱錐中，平面，為等腰三角形且面積為，.若該三棱錐的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)，則（

）A． B．C． D．10．已知正六邊形的邊長為，中心為，則（

）A．B．C．在上的投影向量為D．若為正六邊形邊上的一個動點(diǎn)，則的最大值為11．已知正方體的棱長為，是線段上的動點(diǎn)，則（

）A．B．二面角的正切值為C．直線與平面所成最小角的正弦值為D．若是對角線上一點(diǎn)，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，則.14．在三棱錐中，平面，，且最長的棱長為，為棱的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，直線與所成角的余弦值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)證明：平面.16．如圖，在直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，.(1)用與表示；(2)求的取值范圍；(3)若點(diǎn)為的重心，是否存在，使得，，三點(diǎn)共線？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.17．如圖，在平行四邊形中，，沿其對角線將折起至，使所在平面與平面垂直.

(1)證明：平面平面；(2)若為上一點(diǎn)，∥平面，，求直線到平面的距離.18．已知函數(shù)，對，有.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求；(3)將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移個單位后，再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，在平面四邊形中，，若是上一點(diǎn)，，記，.(1)證明：；(2)若，，.（i）求的值；（ii）求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【分析】利用扇形面積公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，扇形的面積為.故選B.2．【答案】C【分析】在角的終邊上取點(diǎn)，利用角的三角函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)即得.【詳解】在射線上任取點(diǎn)，顯然點(diǎn)在第三象限，故該角也是第三象限角，排除A，B兩項(xiàng)；對于C，因，符合題意，故C正確；對于D，因，故D錯誤.故選C.3．【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線的位置關(guān)系，判斷A；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷C；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】對于A，若則可能平行，也可能異面，A錯誤；對于B，若則可能有，也可能有，B錯誤；對于C，若則有可能是，也可能，C錯誤；對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若則，D正確.故選D.4．【答案】B【分析】先將數(shù)據(jù)統(tǒng)一單位，代入棱臺體積計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果后再換算成即得.【詳解】因，而，設(shè)棱臺的深度為，由棱臺的體積公式可得，，解得.故選B.5．【答案】D【分析】利用向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算、運(yùn)算律應(yīng)用以及向量共線的充要條件判斷，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析、計(jì)算即得.【詳解】對于A，因，則，則，故，即不能成立，即A錯誤；對于B，，因，則，則，故，即B錯誤；對于C，由B項(xiàng)可得，同理，因，則，則，故，即C錯誤；對于D，由和可得，，即若取時，有，此時滿足，故D正確.故選D.6．【答案】A【分析】依題意，作出圖形，求出相關(guān)邊長和角，利用正弦定理求解即得.【詳解】如圖，由題意知,由正弦定理，，則.故選A.7．【答案】C【分析】由圖象分析取，，得，結(jié)合誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性分別判斷即可．【詳解】對于A，由圖象可知，取，，即，則，取，即，取，所以，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C，，設(shè)，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選C．8．【答案】C【分析】由三角形的面積公式可求得，設(shè)的外心為，進(jìn)而可求得，過作平面的垂線，可得外接球的半徑，進(jìn)而可求表面積.【詳解】因?yàn)闉榈妊切吻颐娣e為，所以，又，所以，所以，設(shè)的外心為，可得，過作平面的垂線，則球心在直線上，設(shè)球心為，可得在的垂直平分線上，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選C.9．【答案】BD【分析】化簡條件得，對于A，利用誘導(dǎo)公式化簡判斷；對于B，利用誘導(dǎo)公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；對于C,先逆用二倍角公式，再用誘導(dǎo)公式即得；對于D，將化成后，必須通過同角的三角基本關(guān)系式化成正弦和余弦,代值即得.【詳解】由，得，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選BD.10．【答案】BCD【分析】利用向量的數(shù)量積計(jì)算可判斷AD；易得判斷B；利用投影向量的定義求得投影向量判斷C.【詳解】由題意可得，故A錯誤；，故B正確；在的投影向量為，故C正確；對于D：設(shè)與的夾角為，，當(dāng)在方向上的投影向量的模最大時，的數(shù)量積最大，故點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的數(shù)量積最大，所以.故選BCD.11．【答案】ABD【分析】對于A，利用線面垂直得線線垂直，先證平面得，再證；對于B，找到并證明即二面角的平面角，即可求得；對于C，由線面所成角定義，將線面所成角的正弦值轉(zhuǎn)化為求的最大值問題易得；對于D，通過翻折平面，使得點(diǎn)翻轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線，且.即可求得.【詳解】對于A，如圖1，連接,在正方體中，由可得,則.因平面，平面,則，又,且平面,故平面，因平面,則得,又，故得，即A正確；對于B，如圖2，設(shè),連接,因，,則，易得,因平面,平面,則，因,故，又因點(diǎn)在線段上，即在平面內(nèi)，故即二面角的平面角，因,故，即B正確；對于C，如圖3，因點(diǎn)到平面的距離為2，故要使直線與平面所成角最小，只需使最大，因點(diǎn)在線段上，由圖知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，取最大值為，設(shè)直線與平面所成角為，此時最小，取得最小值為，故C錯誤；對于D，如圖4，將平面繞著旋轉(zhuǎn)到位置，使之與平面在一個平面內(nèi)，因是對角線上一點(diǎn)，要使最小，需使三點(diǎn)共線，且.設(shè),則，故，于是，故D正確.故選ABD.【方法總結(jié)】本題主要考查與正方體有關(guān)的空間角和線段和最小問題，屬于難題.解決空間角問題，高一階段關(guān)鍵在于根據(jù)定義找到平面角，然后借助于三角形和正、余弦定理求解；對于包含動點(diǎn)的線段和最小問題，一般考慮將其中一個平面翻折,使之與另一個平面共面，化空間距離的和為平面距離的和來求解.12．【答案】/—0.6【分析】先由條件得到，結(jié)合二倍角公式，化弦為切，代入求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：/—0.6.13．【答案】/【分析】應(yīng)用余弦定理結(jié)合正弦定理計(jì)算.【詳解】由正弦定理得，結(jié)合題設(shè)，所以，所以.故答案為：/.14．【答案】【分析】由已知可得，由已知可得時，體積最大值，進(jìn)而可求直線與所成角的余弦值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)時取最大值，取的中點(diǎn)，連接，所以，所以（或其補(bǔ)角）為直線與所成的角，因?yàn)?，，，所以，直線與所成角的余弦值為.15．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明即可；（2）先證明線面垂直再應(yīng)用平行得出結(jié)論.【詳解】（1）

取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，

又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形?/p>

所以，

又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)闉橹比庵云矫?，因?yàn)槊?，所以?/p>

因?yàn)闉榈冗吶切危?，又平面，所以平面，又，所以平?16．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算可得答案；（2）利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算可得答案；（3），，若，，三點(diǎn)共線，則，求出可得答案.【詳解】（1）；（2），且，即，所以，又因?yàn)?，所以；?）若點(diǎn)為的重心，則，又因?yàn)椋?，，三點(diǎn)共線，則使得，可得，解得，所以存在，使得，，三點(diǎn)共線.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證法一：由已知得，再結(jié)面面垂直的性質(zhì)可得平面，而，則平面，然后利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；證法二：由已知面面垂直可證得平面，則，由題意可得，再利用線面垂直的判定定理得平面，然后利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）連接交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)可得∥，∥平面，則將到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，可證得為等邊三角形，則，由線面垂直的判定可得平面，從而可求得結(jié)果.【詳解】（1）證法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?/p>

因?yàn)槠叫兴倪呅?，所以∥，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?證法二：因?yàn)椋?，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠叫兴倪呅?，所以∥，所以，即，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)椤纹矫?，所以到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椤纹矫?，平面，平面平面，所以∥，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，在中，，，所以，且，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以的長即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，所以到平面的距離為.

18．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為（）(2)(3)或【分析】（1）利用三角恒等變換得到，根據(jù)得到方程，求出，得到函數(shù)解析式，整體法得到函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)得到，湊角法，結(jié)合正弦和角公式得到答案；（3）根據(jù)伸縮和平移變換得到，令，故，令，從而得到，因?yàn)?，所以?dāng)時，，所以，解出答案.【詳解】（1），因?yàn)閷?，有，可得?dāng)時，取得最值，所以，，可得，，又，所以，所以，由，，可得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）由，，，可得，，所以，所以.（3）將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得，令，只需，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時，，所以，即，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.19．【答案】(1)證明見解析(2)（i）（ii）【分析】（1）結(jié)合圖形，先找到的數(shù)量關(guān)系式，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式推理即得；（2）（i）在中，運(yùn)用正弦定理得到，結(jié)合（1）結(jié)論，聯(lián)立解方程即可求得；（ii）在中，分別運(yùn)用正、余弦定理得到①，②兩式，結(jié)合③式，在中，利用余弦定理將用的三角函數(shù)表示，并運(yùn)用輔助角公式化成正弦型函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，在中，，可得，所以，?（2）（i）在中，由正弦定理得，可得，即（*），由（1）已證：，即，將（*）代入得，，即，解得或（舍去），