重難點(diǎn)07利用勾股定理解決最短路徑問題

m題型解讀

國典題精練

【題型1用計(jì)算法求平面中的最短問題】

【例題1】（2024春》皇中區(qū)校級月考）如圖，某工廠C前面有一條筆直的公路，原來有

兩條路/C,8c可以從工廠C到達(dá)公路，經(jīng)測量/C=600%,8c=800加，/8=1000掰，現(xiàn)

需要修建一條路，使工廠C到公路的路程最短，請你幫工廠C設(shè)計(jì)一種方案，并求出新建

的路的長.

公路B

【分析】過/作CD，/反修建公路CD,則工廠C到公路的距離最短，首先證明△NBC

是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式求得CD的長，

【解答】解：過/作垂足為。，如圖：

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

11

■:S“CB=]4B?CD=-AC-BC,

11

-x600X800=-x1000X08,

解得：AD=480,

答：新建的路的長為480%.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理逆定理以及三角形的面積公式，關(guān)鍵是證明△NBC是直角

三角形.

【變式1-1】（2024春?榮縣校級月考）如圖，Rt4/BC中，/B=90：48=3,3c=4,

點(diǎn)尸是NC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則線段2尸長度的最小值為（）

A.3B.2.5C.2.4D.2

【分析】根據(jù)勾股定理得出NC=5,當(dāng)依，/C時(shí)，依的值最小，利用面積法求解即可.

【解答】解：在RtZkNBC中，Z5=90°,4S=3,BC=4,

'.AC-7AB2+BC2=5,

:當(dāng)P3_LNC時(shí)，8P的值最小，

11

此時(shí)：△NBC的面積為：-AB-BC=~ACBP,

：.5PB=3X4,

：.PB=2A,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，學(xué)會(huì)利用面積法求高是解題

的關(guān)鍵.

【變式1-2】如圖，學(xué)校2前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走/團(tuán)2c兩條路可到達(dá)

公路.經(jīng)測量，2c=600加，A4=800m,AC^lOOQm.現(xiàn)需修建一條從學(xué)校2到公路距

離最短的小路，則這條小路的長（即圖中8。的長）為m.

【分析】方法一：利用勾股定理逆定理易知△NBC為直角三角形，設(shè)NO=xc〃z,則CD=

（1000-x）cm,在RtZUBD和RtASCZ）中，利用雙勾股定理求解.

方法二：利用勾股定理逆定理易知△/BC為直角三角形，再直接利用三角形的面積公式

即可求解.

【解答】解：方法一：：BC=600加，BA=800m,^C=1000m.且/g2+8c2=/c2,

...△A8C為直角三角形，

'：BD±AC,

MABD和△3。均為直角三角形，

設(shè)加，則CD=(1000-x)cm,

在RtA4BD,AD2+BD2^AB2,X2+5P2=8002(1),

在RtABCD中，CD2+BD2^BC2,即(1000-x)2+BD2^6002(2),

①-②得，x2-(1000-x)2=8002-6002,

解得：x=640,

22

.'.AD=640mfBD=V800—640=480(m).

222

方法二：'：BC=600mf艮4=800m,AC=1000m.5.AB+BC=AC,

???△/BC為直角三角形，

11c

:.S“BC二萬"8,BC=-X80X60=2400(m2),

,:BDJLAC,

11

*'?^AABC=yC?8。=]X100xBD=24000,

.\BD=4S0m.

故答案為：480.

【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形面積公式，解題關(guān)鍵是利

用勾股定理的逆定理證明△ZBC是直角三角形.

【變式1-3】(2024秋?丹徒區(qū)期末)如圖，△/2C中，4B=AC=5,BC=6,點(diǎn)D是4B

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段CD的最小值為

【分析】先利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出8〃=3,再利用勾股定理求出N〃=4,

然后利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)4作8c于點(diǎn)〃，

AB—AC—5,BC—6,

1

：.BH=CH=-BC=3,

：.AH=7AB2—BH2=5/52^32=4,

由垂線段最短可知，當(dāng)CZ)_L45時(shí)，線段CD的值最小，

11

：.-AB-CD=-BC-AHf

A5CD=6X4,

24

：.CD=~,

24

故答案為：y.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握等腰三角形的性

質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-4】(2024秋?大名縣期末)如圖，在△48。中，AC=2LBC=13,D是4c邊

上一點(diǎn)，BD=V2,AD=16.

(1)求證：BDLAC；

(2)若月是邊45上的動(dòng)點(diǎn)，求線段。￡的最小值.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解決問題即可.

（2）根據(jù)垂線段最短解決問題即可.

【解答】解：（1）-：AC=219AD=16,

：.CD=AC-AD=5,

U：BD2+CD2=122+52=169=802,

；?NBDC=90°,

：.BD±AC.

（2）當(dāng)Z）E_L45時(shí)，DE最短,

'?AB=V>1D2+BD2-V162+122=20,

11

?/?AD?DB=3?AB?DE,

16x12

?'?DE=—-—=96

線段DE使的最小值為9.6.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考常考題型.

【變式1-5】如圖所示，/、3兩塊試驗(yàn)田相距200米，C為水源地，/C=160加，BC=

120m,為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到/、2

乙方案；過點(diǎn)C作N5的垂線，垂足為X,先從水源地C修筑一條水渠到所在直線上

的”處，再從〃分別向/、8進(jìn)行修筑.

(1)請判斷△N3C的形狀(要求寫出推理過程)；

(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計(jì)算說明.

【分析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出△4BC是直角三角形；

(2)由△N8C的面積求出C",得出4C+BCVCH+4H+BH,即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)△4BC是直角三角形；理由如下：

AC2+BC2=1602+1202=40000,^52=2002=40000,

：.AC1+BC1=AB1,

△/BC是直角三角形，NACB=9Q°；

(2)甲方案所修的水渠較短；理由如下：

；4ABC是直角三角形，

11

/.△NBC的面積--AB-CH=-AC-BC,

ACBC160x120

???8=下一=200=96(旭)，

'：CHLAB,

：.ZAHC=90°,

?9-AH=yJAC2-CH2=V1602-962=128(m),

：.BH=AB-AH=72m,

?：AC+BC=160加+120m=280m,CH+AH+BH=96m+200冽=296m,

：.AC+BC<CH+AH+BH,

，甲方案所修的水渠較短.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握

勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△/8C是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-6】(2024春?南昌縣期末)入冬前，我區(qū)對部分舊城區(qū)暖氣管道進(jìn)行修繕，在修

繕過程中發(fā)現(xiàn)某地原有管道彎曲太多，容易帶來安全隱患，決定進(jìn)行改造.管道N-2

改造方案如圖所示(實(shí)線為改造前，虛線為改造后，所有實(shí)線均平行或垂直).

(1)求改造前原有管道的長度是多少？

(2)求改造后N、8之間的管道長度減少了多少？

100m

A------------------------------->

(20m

120m八

30m

【分析】(1)直接把圖中管道的長度相加即可；

(2)過點(diǎn)B作5CLNM于點(diǎn)C,根據(jù)利用勾股定理求出AB的長即可.

【解答】解：(1)由圖可知，

改造前原有管道的長度=170+30+120+70+100+20=510(m).

答：改造前原有管道的長度是510加；

(2)過點(diǎn)8作河于點(diǎn)C,

由圖可知，AC=170-(120-100)=170-20=150(m)；

8c=30+(70-20)=30+50=80(m),

'-AB=V/1C2+BC2=V1502+802=170(w).

510-170=340(m).

答：改造后/、3之間的管道長度減少340m.

D100m

AAf

20m

B

H

G

120m

30m

A

170mCM

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

【變式1-7】小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以往從黃

石/坐客車到武昌客運(yùn)站比現(xiàn)在可以在Z坐城際列車到武漢青山站C,再從青山站C

坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站2.設(shè)/2=80加，BC=2Qkm,N4BC=12（T.請你幫

助小明解決以下問題：

（1）求/、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)：721=4.6）

（2）若客車的平均速度是60癡/〃，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40回建，城際列車的平

均速度為180和;，，為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案？請說明

理由.（不計(jì)候車時(shí)間）

【分析】（1）過點(diǎn)C作45的垂線，交的延長線于E點(diǎn)，利用勾股定理求得/C的長即

可；

（2）分別求得乘車時(shí)間，然后比較即可得到答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)C作的垂線，交的延長線于E點(diǎn)，

VZABC=120°,8c=20,

.'.BE—10,CE=10V3

在△/CE中，

V^C2=8100+300,

：.AC=20V21=20x4.6=92km；

801

（2）乘客車需時(shí)間力1=忘OU=1孑D（小時(shí)）；

92201

乘列車需時(shí)間七2=訴+右=1而（小時(shí)）;

loU4Uzf\J

???選擇城際列車.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形.

【題型2用平移法求平面中的最短問題】

【例I題2】如圖，相鄰的兩邊互相垂直，則從點(diǎn)8到點(diǎn)/的最短距離為（）

A

11

~~b

~~I2

A.13B.12C.8D.5

【分析】如圖，連接48,構(gòu)造直角△/??利用勾股定理解決問題即可.

【解答】解：如圖，連接構(gòu)造直角

A

：j4'^a、、＞、、、

H..........4'B

由題意AH=1+2+2=5,571=4+4+4=12,

；?4B=7AH2+BH2=V52+122=13.

故選：A,

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三

角形解決問題.

【變式2-1】（2024春?涼城縣期末）如圖為某樓梯的側(cè)面，測得樓梯的斜長N8為5米,

高8c為3米，計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要米.

【分析】在Rta/BC中，根據(jù)勾股定理即可求出/C的長，再根據(jù)地毯的長度=/C的長

度+8C的長度，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.

【解答】解：在RtzX/BC中，48=5米，2c=3米，/ACB=90°,

：.AC=^AB2-BC2=4（米），

：.AC+BC=3+4=1（米）.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及生活中的平移現(xiàn)象，結(jié)合實(shí)際生活掌握“地毯

的長度=/C的長度+8C的長度”是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】（2024春?梁山縣期中）如圖，已知/B=/C=/D=NE=90°,且48=

CD=3,BC=4,DE=EF=2,則N,尸兩點(diǎn)間的距離是（）

【分析】過點(diǎn)尸作/GL/8交的延長線于點(diǎn)G,根據(jù)題意求出NG、尸G,根據(jù)勾股定

理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：過點(diǎn)尸作尸GL/3交48的延長線于點(diǎn)G,

則/G=/B+CD+EF=8,FG=BC+DE=6,

由勾股定理得，AF=^AG2+FG2=^，

故選：D.

E

4

D/

tt

ff

G

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為

c,那么a2+b2—c2.

【變式2-3】如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們設(shè)計(jì)的機(jī)器人，在平坦的操場上進(jìn)行走

展示.輸入指令后，機(jī)器人從出發(fā)點(diǎn)/先向東走10米，又向南走40米，再向西走20

米，又向南走40米，再向東走70米到達(dá)終止點(diǎn)2.求終止點(diǎn)8與原出發(fā)點(diǎn)/的距離

AB.

出發(fā)點(diǎn)10

4二

、

20心、、、

S

40''、、

-----------二B

70終止點(diǎn)

【分析】直接構(gòu)造直角三角形進(jìn)而利用勾股定理得出答案.

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)/作/CUC8于C,

則在RtZUBC中,ZC=40+40=80（米），

BC=10-20+10=60（米），

故終止點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離/5=、602+802=100（米），

答：終止點(diǎn)3與原出發(fā)點(diǎn)N的距離為100加.

出發(fā)點(diǎn)10

-

（、

206'、、

■,、、

、、

40：、、、

■、

---------------

C70終止點(diǎn)

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

【變式2-4】（2024秋?豐城市校級期末）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、

寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道

至少需要元.

D2m

【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角^ABC

中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的

單價(jià)即可求解.

【解答】解：由勾股定理得AB=，AC2—Bl=V132—52=12（m）,

則地毯總長為12+5=17（m）,

則地毯的總面積為17x2=34（平方米），

所以鋪完這個(gè)樓道至少需要34x20=680（元）.

故答案為:680.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【題型3用對稱法求平面中的最短問題】

【例題3】（2024秋?武侯區(qū)校級月考）如圖，4、8兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，4、8兩村

到河的距離分別是/C=l而，BD=-3km,CD=3km,現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向/、B

兩村輸送自來水，請你在河CD邊選擇水廠位置。，使水廠到兩村的距離之和最小，并

求出鋪設(shè)水管的長度.

B

<I

A

QjiD

【分析】過4‘作4,ELBD交于點(diǎn)瓦因?yàn)锳'關(guān)于CD對稱，則C=

1km,又因?yàn)樗倪呅蜟DE為矩形，則C=DE=lkm,CD=A'E=3km,推出BE

BD+DE=4km,A'B=y/A'E2+BE2=5/cm.

【解答】解：過⑷作卬ELBD交于點(diǎn)￡,

'：A,A'關(guān)于CD對稱，

J.AC^A'C=lkm,

又四邊形HCDE為矩形，

.".A'C=DE=\km,CD=A'E—?>km,

BE=BD+DE—4km,

在直角三角形HBE中由勾股定理得：A'B=y/A'E2+BE2=5fcm,

答：設(shè)水管的長度的長度為5的?.

B

_____________

A7E

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的

長度.也考查了最短路徑問題.

【變式3-1】（2024春?濰坊期末）如圖，等邊三角形/2C的周長為12,是BC邊上的

高，廠是4D上的動(dòng)點(diǎn)，E是48邊上一點(diǎn)，若AE=2,則AF+即的最小值為

【分析】要求EF+8尸的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化CE的值，從而找出其最小值

求解.

【解答】解：連接CE,與交于點(diǎn)E

；AD是BC邊上的高，

：.4D是BC的垂直平分線，

:.BF=CF,

：.CE=EF+BF,

J.EF+BF的最小值即為CE的長；

?.?等邊的周長為12,AE=2,

等邊△4BC的邊長為4,

：.BE=AB-AE=4-2=2,

為48邊的中點(diǎn)，

J.CELAB,

在RtZ\3C￡中，

CE=\IBC2-BE2=V42-22=2V3，

：.EF+BF的最小值為2百，

故答案為：2西.

【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟

知等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3-2】(2024春?雄縣期末)如圖，高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn)，它們到高速

公路所在直線MN的距離分別為AA，=2km,BB，=4km,且AE=8km.

(1)要在高速公路上A，、之間建一個(gè)出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最

小.請?jiān)趫D中畫出P的位置，并作簡單說明.

(2)求這個(gè)最短距離.

B

A

_____□____________□_____

MA'B'N

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出P點(diǎn)位置；

（2）結(jié)合勾股定理得出即可.

【解答】解：（1）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)C,連接AC交MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即

為所建出口，

此時(shí)A、B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長.

B

___h_____p____

P

MA'\\IB'N

、（I

C"在此處鍵入公式。

（2）作AD1BB，于點(diǎn)D,在Rt^ADC中，AD=A,B,=8km,DC=6km.

.1.AC=VT1￡）2+CD2=V82+62=10km,

二這個(gè)最短距離為10km.

【點(diǎn)評】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對稱解決最短問題.

【變式3-3】（2024秋?新吳區(qū)期中）如圖，牧童在離河邊3府的N處牧馬，小屋位于他

南6碗東9左機(jī)的3處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋.他要完成此過程所

走的最短路程是多少？并在圖中畫出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）.

小河

I

0b.....5小屋

【分析】先作N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接H瓦構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得

出答案.

【解答】解：如圖，作出力點(diǎn)關(guān)于九W的對稱點(diǎn),連接N'B交MN于點(diǎn)、P,

則從/延AP到P再延PB到B,

AP+BP=A'B,

在中，由勾股定理求得

A'B-7DA'2+DB2=J(3+3+6/+92=15km,

答：他要完成這件事情所走的最短路程是15km.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理和軸對稱在實(shí)際生活中的運(yùn)用，需要同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，題

目是一道比較典型的題目，難度適中.

【變式3-4】如圖所示，在aABC中，ZACB=9O°,AC=BC=2,D是BC的中點(diǎn)，E是

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且不與A,B重合，是否存在一個(gè)位置，使DE+CE的值最??？若不

存在，說明理由；若存在，試求出最小值.

【分析】過點(diǎn)C作C01AB于0,延長C0到C：使0C=0C；連接DC,交AB于E,連

接CE,止匕時(shí)DE+CE=DE+EC=D。的值最?。辉俑鶕?jù)勾股定理求出DC即可.

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)C作COLAB于0,延長CO到C，，使0C=0C；

連接DC,交AB于E,連接CE,此;時(shí)DE+CE=DE+EC=DC的值最??；

連接BC,由軸對稱的性質(zhì)得：ZC,BE=ZCBE=45°,

.?ZCBC'=9O°,

.,.BC'_LBC,NBCC'=ZBC'C=45°,

.?.BC=BC'=2,

???D是BC邊的中點(diǎn),

???BD=1,

根據(jù)勾股定理得：DC=」BC'2+BD2=A/22+12=V5；

-.DE+CE的最小值為遙.

【變式3-5】（2024春?永善縣期中）如圖，河CD的同側(cè)有/、3兩個(gè)村，且48=2而

km,4、3兩村到河的距離分別為NC=2局，BD=6km.現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠分

別向/、8兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元.請你在河岸CD上選

擇水廠位置0,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用w（元）.

【分析】作A點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為A',連接A'B交CD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AF±BD于

點(diǎn)F,過點(diǎn)4作A'E±BD交BD的延長線于點(diǎn)E,分別利用勾股定理求出AF和A'B的長

即可.

【解答】解：如圖所示，作/點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為⑷，連接交CD于點(diǎn)。，

過點(diǎn)A作AFVBD于點(diǎn)F,過點(diǎn)4作A'E±BD交BD的延長線于點(diǎn)E,

B

此時(shí)/。+5。最小，

""AC—2km,BD=6km,

:.BF=4km,DE—1km,

AB=2-\[13km,

.'.AF=J(2V13)2—42=6(km),

在中，由勾股定理得：

A'B-y/A'E2+BE2=5/62+(6+2)2=10(km),

：.AO+BO=\Q(km),

，鋪設(shè)水管的總費(fèi)用少=10X2000=20000(元).

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-6】(2024春?愛輝區(qū)期末)如圖，在矩形/BCD中，8c=8,ZABD=30°,若

點(diǎn)M、N分別是線段50、N8上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求/M+九W的最小值.

【分析】作/點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)H,過4作交AD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)、N,

則AM+MN的最小值為A'N的長.

【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)A',過4作A'N±AB交BD于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)

N,

由對稱性可得，AM^A'M,

：.AM+MN=A'M+MN^A'N,

J.AM+MN的最小值為A'N的長,

VZABD=30°，

：.ZDAE=3Q°，

,:BC=8,

；.DE=4,

.,./￡=4百，

在RtZUN'N中，ZA'AN=60°,

.?.4N=4'/?亨=8百X亨=12,

二/M+MN的最小值為12.

A'

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法、垂線段最短

是解題的關(guān)鍵.

【題型4用展開圖求長方體中的最短問題】

【例題4】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，一長方體木塊長/8=6,寬8C=5,高BBi

=2.一只螞蟻從木塊點(diǎn)/處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)Ci位置最短路徑的長度為（）

A.V89B.V85C.V125D.V80

【分析】連接NQ,求出的長即可，分為三種情況：畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出每

種情況時(shí)/Q的長，再找出最短的即可.

【解答】解：展開成平面后，連接ZCi，則/Ci的長就是繩子最短時(shí)的長度，

22

如圖1,由勾股定理得：ACX=76+(2+5)=V85(cm)；

如圖2,由勾股定理得：AQ=V(5+6)2+22=5V5(cm)；

如圖3,同法可求/Ci=552+(2+6)2=府(cm)；

VV85<V89<5V5;

，最短路徑的長度為

故選：B.

圖3

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，本題具有一定的代表性,

是一道比較好的題目，注意：要分類討論.

【變式4-1】(2024春?芙蓉區(qū)校級期末)如圖是棱長為4c加的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在

N點(diǎn)，若在8點(diǎn)處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路

程是cm.

【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，將點(diǎn)力和點(diǎn)8所在的各面展開，展開為矩形，AB

為矩形的對角線的長即為螞蟻沿正方體表面爬行的最短距離.

【解答】解：將點(diǎn)/和點(diǎn)3所在的面展開為矩形，為矩形對角線的長，

,矩形的長和寬分別為8cm和4cm,

'.AB=V82+42=4近c(diǎn)m.

故螞蟻沿正方體的最短路程是

【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是將螞蟻所走的最短路程轉(zhuǎn)化為求矩形的對角線的長.

【變式4-2】如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)8處有一滴糖漿，容器外/點(diǎn)處

的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5c%,寬為3cm,高為4c加，點(diǎn)/

距底部1cm,請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）

A.3V17cmB.10cmC.5-75cmD.VT13cm

【分析】將容器側(cè)面展開，建立/關(guān)于跖的對稱點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知

B的長度即為所求.

【解答】解：將容器的側(cè)面展開，如圖所示：

作/關(guān)于斯的對稱點(diǎn)H,連接B,則2即為最短距離,

由題意得：EC=4cm,AC=\cm,8c=5+3=8(cm),

,'.AE=A'E=EC-AC=4-1=3(cm),

：.A'C=A'E+EC=3+4=7(cm),

由勾股定理得：A'B7A'C2+BC2="2+82=(cm).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的

性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思

維能力.

【變式4-3】(2024秋?荏平區(qū)期末)如圖，一個(gè)長方體盒子的長、寬、高分別為9cm,

7cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)/沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)3,那么它爬行的最短

路程是cm.

【分析】分為三種情況展開，根據(jù)勾股定理求出線段的長度，再進(jìn)行比較即可.

【解答】解：①如圖1,展開后連接則就是在表面上從4到8的最短距離,

在中，由勾股定理得：AB->JAM2+BM2=V(9+7)2+122=V400-20

(cm)；

②如圖2,展開后連接N8,則N8就是在表面上從N到8的最短距離,

在RtdADB中,由勾股定理得：AB=ylAD2+BD2=>/92+(12+7)2=V442(cm)；

在Rt4ANB中，由勾股定理得：AB=VXW2+BN2=772+(12+9)2=V490=7V10

（。加）.

???螞蟻爬行的最短路程是20cm.

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能畫出展開

圖形并能求出符合條件的最短路線.

【變式4-4】如圖，長方體的底面長和寬分別為4c機(jī)和2c加，高為5c機(jī).若一只螞蟻從P

點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)。點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為cm.

【分析】要求長方體表面兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開;

接下來利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及直角三角形勾股定理來解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意，畫出側(cè)面展開圖.

'：PA=2X(4+2)=12,QA=5,

PQ-V52+122—13(cm).

故螞蟻爬行的最短路徑長為13cm.

故答案為：13.

【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，以及如何把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形.

1

【變式4-5】邊長分別為4c加，3c機(jī)兩正方體如圖放置，點(diǎn)尸在EiQ上，且=

%,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)/爬到點(diǎn)尸，需要爬行的最短距離是

【分析】求出兩種展開圖尸/的值，比較即可判斷;

【解答】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA=夜2+42=V65cm,

故需要爬行的最短距離是痛57.

【點(diǎn)評】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中

考常考題型.

【變式4-6】（2024春?乾安縣期末）如圖，有一個(gè)三級臺(tái)階，每一級的長、寬、高分別是

50cm>30cm、10c%,點(diǎn)/和點(diǎn)2是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對的頂點(diǎn)，有一只壁虎從/點(diǎn)出

發(fā),沿著臺(tái)階面爬向8點(diǎn)去吃可口的食物;請你想一想,這只壁虎至少需要爬cm.

B

【分析】首先畫出4到3的最短路徑的展開圖，然后利用勾股定理求出答案.

【解答】解：如圖所示：^c=10X3+3X30=120cm,BC=50cm,ZACB=90°,

由勾股定理得：AB=Vi4C2+BC2=V1202+502=130（c冽），

故答案為：130.

B

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是畫出求/到8的最短路徑的展開圖.

【變式4-7】在一個(gè)長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個(gè)長為6

分米，寬為5分米，深為2分米的長方體后，得到一個(gè)如圖所示的幾何體.一只螞蟻要

從該幾何體的頂點(diǎn)A處，沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點(diǎn)B處吃食物，

求它需要爬行的最短路徑的長.

【分析】將長方體展成平面圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可確定螞蟻爬行的最短路線為

AB,利用勾股定理求出N8的長度即可.

48=+2+6+2+1）2+52=13（分米）.

情形2：平面展開圖如圖所示:

VV149<13,

答：它需要爬行的最短路徑的長是VI而分米.

【點(diǎn)評】本題考查的是平面展開路徑問題，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是明確螞蟻爬行

的不同路線.

【變式4-8】（2024秋?南海區(qū)期中）如圖，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和

地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角N處沿著木柜表面爬到柜角G處，若4B=3,

BC=4,CCi=5；

（1）請你在下面網(wǎng)格（每個(gè)小正方形邊長為1）中，畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能

路徑；

（2）求螞蟻爬過的最短路徑的長；

（3）我們發(fā)現(xiàn)，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計(jì)算線段的有關(guān)問題，這

種方法稱為“面積法”.請“面積法”求點(diǎn)為到最短路徑的距離.

I---------1—I---------1—I---------1—I--------1—I----------1

IIIIIIIIII

I____I____I______I____I______I____I______I____L_J

備用圖

【分析】（1）有兩種方案，分別畫出圖形即可;

（2）求出兩種方案中NCi的長，可得結(jié)論；

（3）利用面積法求解即可.

【解答】解：（1）有兩個(gè)方案：如圖所示，

-1

（2）方案一中，AQ=V32+92=3V10.

22

方案二中，ACX=V7+5=V74，

.,.V74<3V10，

，螞蟻爬過的最短路徑的長為V7展

（3）方案二中，設(shè)/C1交AB1于點(diǎn)E,過點(diǎn)約作為?，/。于點(diǎn)尸.

'：AB//BxCi，

B\ECrEBiCi4

EB=~AE=AB=3

4204—4774

：.B\E=-X5=—,=yxV74=---，

11

V-XBiCi義EB\=《xB1FXEC2,

.20

.R10V74

?.B1Fr—4V74-—-—

------3/

7

點(diǎn)Bi到最短路徑的距離是

【點(diǎn)評】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把立體幾

何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

【變式4-9】（2024春?新市區(qū)校級期中）如圖1,長方體的底面邊長分別為3加和2加，高

為1m,在盒子里，可以放入最長為m的木棒；

（2）如圖2,在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)/開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞

圈到達(dá)點(diǎn)C,那么所用細(xì)線最短需要加；

（3）如圖3,長方體的棱長分別為/5=8C=6c%,AA!=14cm,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)

G以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱CiC向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)/以相同

的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉昆蟲甲？

圖③

【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;

（2）將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知所用細(xì)線最短長度；

（3）利用昆蟲是在側(cè)面上爬行，兩種爬行路線的最短路徑相等，利用勾股定理求出即可.

【解答】解：（1）可以放入最長為132+22+12=W4（冽）的木棒；

故答案為：V14；

（2）如圖所示：將長方體展開，連接/C,

--AC-J(3+2+3+2)2+1,2=,101(BI).

故答案為：Viol；

（3）因?yàn)槔ハx是在側(cè)面上爬行，可以看出，下面兩圖的最短路徑相等，

設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C1沿棱C1C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)/按路徑N—E一凡

爬行捕捉到昆蟲甲需X秒鐘，如圖1在RtZX/CF中，

⑵）2=122+（14-2X）2,

、85

解得：X=-?

圖②

【點(diǎn)評】此題主要考查了平面展開-最短路徑問題以及三角形的相似等知識(shí)，立體圖形中的最短

距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長來進(jìn)行解決，最短路徑問題利用平面展開圖分

別求出是解決問題的關(guān)鍵.

【題型5用展開圖求圓柱體中的最短問題】

【例題5】(2024秋?成華區(qū)校級期中)如圖，有一圓柱，其高為2的，它的底面半徑為

\cm,在圓柱下底面/處有一只螞蟻，它想吃到上底面與/相對的點(diǎn)8處的食物，則螞

蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程為C加.(Tt取3)

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長方形，再然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.

【解答】解：如圖所示：N2即為螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線，

B

/

?

?

Z

?

Z

..,圓柱的底面半徑為1cm,

11

.9.AC=~X2TTX1=-x2x3xl=3(cm),

又?：BC=2cm,

?'?AB=V71C2+BC2=V32+22=V13(cm),

???螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是Vile加，

故答案為：V13cw.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1】（2024秋?芝聚區(qū)期末）如圖，已知圓柱底面的周長為12cm,圓柱高為8cm,

在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)/和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲,則這圈金屬絲的周長最小為.

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)

果，在求線段長時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2/C的

長度.

:圓柱底面的周長為12cw,圓柱高為8°加,

,'.AB=Scm,BC=BC'=6cm,

.*.^C2=82+62=100,

.'.AC—10cm,

這圈金屬絲的周長最小為2AC=20cm.

故答案為：20cm.

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形

的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面

為平面”，用勾股定理解決.

【變式5-2】（2024秋?煙臺(tái)期末）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上,

高三丈，周八尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是:

如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為3丈，底面周長為

8尺，有葛藤自點(diǎn)力處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)8處，則問題中葛藤的最

短長度是丈.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在中，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖所示：表示葛藤的最短長度，

由題意可知：8c=3（丈），NC=8X5+10=4（丈），

在RtZUBC中，AB=y/AC2+BC2=V32+42=5（丈）.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開一最短路徑問題，能夠根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】國慶節(jié)期間，重慶南開中學(xué)用彩燈帶裝飾了藝術(shù)樓大廳的所有圓柱形柱

子.為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從N點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的8點(diǎn),

如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最

短長度為（）

A.夕米B.“I米C.米D.5米

【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果,

在求線段長時(shí)，借助于勾股定理.

【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，

則彩燈帶長為2個(gè)長方形的對角線長，

??,圓柱高3米，底面周長2米，

：.AC2=22+l.52=6.25,

：.AC=2.5（米），

???每根柱子所用彩燈帶的最短長度為5m.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)

矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩

形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

2

【變式5-4】（2024秋?高新區(qū)校級期末）如圖，圓柱底面半徑為一cm,高為9cm,點(diǎn)力,

71

2分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且B在同一條豎直直線上，用一根棉線從/點(diǎn)順

著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為cm.

【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利

用兩點(diǎn)之間線段最短解答.

【解答】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從“順著圓柱側(cè)面繞3圈到8的運(yùn)動(dòng)最

短路線是：ACfCDfDB；

即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，/沿著3個(gè)長方形的對

角線運(yùn)動(dòng)到3的路線最短；

:圓柱底面半徑為一“7,

71

2

???長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2nX-=4(cm)；

71

又,:圓柱高為9cm,

???小長方形的一條邊長是3cm；

根據(jù)勾股定理求得+42=5(cm)；

：.AC+CD+DB=\5(cm)；

故答案為：15.

------------

一''3

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，

此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高.本題就是把圓柱的側(cè)面展開

成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

【變式5-5】如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的。型池，該。型池可以看作是一個(gè)長方體去

掉一個(gè)半圓柱而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4加的半圓，其邊緣/2=CD=

20〃?，點(diǎn)E在CO上，CE=4m,一滑行愛好者從N點(diǎn)滑行到￡點(diǎn)，則他滑行的最短距離

為________m(ir的值為3).

【分析】滑行的距離最短，即是沿著NE的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究,

展開后，AD、E三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，4E為斜邊，40和DE為直角邊，寫出/。和

的長，根據(jù)題意，寫出勾股定理等式，代入數(shù)據(jù)即可得出/E的距離.

【解答】解：將半圓面展開可得：

ND=4n米，DE=￡?C-C￡=16米，

在RtZXADE中,

[￡=[162+（4兀尸=20（米）.

即滑行的最短距離約為20米，

故答案為：20.

【點(diǎn)評】本題主要考查了最短路徑問題，解題時(shí)注意：U型池的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形,

此矩形的寬等于半徑為4加的半圓的長，矩形的長等于4